模型参考自适应控制

1 0
B
1
an1 ...
1
... 0 1 bn1
...
0
bn
2
... ... ...
n
a1
an1
1
b0
C 1 0 ... 0
• 如下定义正定李氏函数
•
V=xTPx+K~2>0
(7)
• 式中P为所选定的正定矩阵,为大于零的实数.
– 对函数V求导可得
V xPx xPx 2K~K~
– μ>0此时就有
Kc
er,
K p
x Ax K~Br
x (PA AP)x 2xPBK~r 2K~K~
参考模型总是稳定的，A为稳定阵，因此总可以选择正定矩阵
Q，使得 PA AP Q
故 V xQx 2xPBK~r 2K~K~
(8)
若令2xPBK~r 2K~K~ 0 即可推出 V负定。于是可得：
K~ - 1 xPBr
Kc
e(n)+an-1e(n-1)+...+a0=K~[bn-1r(n-1)+...+b0r] 选择状态变量：
x1 e, x2 x1 1r......, xn xn1 n1r
可得其状态方程实现：x Ax K~Br e Cx
(3)
(4) (5)
其中 0
A a0
I n1
a1
...
an1
i0
i0
下面基于李氏稳定性理论,设计比例调节器的增益Kc的自适应 规律.
• 首先定义如下广义误差 e=ym-y • 因此,误差e的传递函数为
E(s) r(s)
(Km
-
Kc Kp )
N (s) D(s)
K~
N (s) D(s)
其中增益误差K~为
K~=Km-KcKp 由式(3)可知,广义误差e满足如下微分方程
x'm=Amxm+Bmr
xm +
e
+ r
Kc
u +
+
x'=Ax+Bu x
Kv
自适应机构 图 3 用状态变量构成的模型参考自适应系统
• 设所选定参考模型的状态方程为
x`m=Amxm+Bmr xm(0)=xm0
(1)
其中Am为nn维稳定矩阵,Bm为nm维矩阵.
– 所选定的参考模型(Am,Bm)一般为渐近稳定的,且其状态完全 能控能观的.
Kp Km
ym
代入(1)得：
Kc
Kp Km
eym
'eym
此自适应规律只需要一个 积分器和一个乘法器。
缺点：不能保证稳定性，即e可能发散。
KmQ(s) ym
P(s)
+
r(t) Kc(t)
Kp(t)Q(s) y eP(s)
×
'/ s
α
图 2 增益可调的参考模型自适应系统 ·/s
例：G(s)
K pQ(s) P(s)
i 1
i 1
n
m
eT ( AmP PAm )e 2[eT P(Φx Ψr) iTi iT i ]
i 1
i 1
• Am为稳定，故必存在有正定矩阵Q满足李亚普诺夫方程：
AmP PAm Q
• 代入上式有：
n
m
V -eTQe 2[eT P(Φx Ψr) iTi iT i ]
i 1
的某种正性指标函数及这些误差的收敛过程,而不能确保所设 计的自适应控制系统闭环是全局渐近稳定的 • 上世纪60年代中期,Parks提出了用李氏稳定性理论对MRAS进 行设计的方法,确保了该类自适应系统的稳定性.
• 1 采用可调系统状态变量构成自适应规律的设计方法
• 对一般多变量线性系统，可采用如图3所示的控制器结构。
i 1
n
m
n
m
-eTQe 2[eT P( i xi iri ) iTi iT i ]
i 1
i 1
i 1
i 1
xi , ri 分别是向量x，r的第i分量，如果我们选择
n
m
n
m
eTP( i xi iri ) iTi iT i 0
即取
i 1
i 1
i 1
i 1
iT -ePxi ,i 1,2, , n
• 由图4,参考模型和参数可调被控系统的s域表达式分别为
Ym (s)
KmN (s) D(s)
r(s)
(1)
Y (s) KcKpN (s) r(s)
(2)
D(s)
其中D(s)和N(s)分别为如下已知的n阶的稳定首一多项式和n-1阶
多项式
n-1
D(s) sn aisi
Байду номын сангаас
n-1
N (s) bisi
二 采用局部参数最优化技术的设计方法
图1所示为具有可调增益的 MRAS的框图.图中,
➢ 开环稳定的被控 系统增益Kp随时 间,环境或系统 内外扰动缓慢变 化;
KmQ(s) P(s) ym +
自适应机构 e -
➢ Kc为可由自适应 规律调节的可调 增益(比例调节 器的比例系数).
r(t) Kc
KpQ(s)
• 定义李雅普诺夫函数
• V eT Pe Tr[ΦΦ Ψ Ψ ]
e Ame Φx Ψr
n
m
eT Pe iTi iT i
i 1
i 1
• 其中，i , i分别是Φ,Ψ 的第i列，P为对称正定矩阵，显然，V
正定，而
n
m
V eT Pe eT Pe (iTi iTi ) (iT i iTi )
e -
y
图 1 增益可调的参考模型自适应 控制系统
即e(t)所满足的微分方程为：P(D)e (Km KcK p )Q(D)r
微分算子：D
d dt
,
D
2
d2 dt 2
....
两边对Kc求导： P(D) e Kc
K pQ(D)r
ym
KmQ(s) P(s)
r
P(D) ym KmQ(D)r
比较可得：e Kc
iT -eP ri ,i 1,2, , m
则 V -eTQe为负定，从而广义误差系统为渐近稳定。
这种方法要求所有状态可测，这对许多实际对象往往不 现实，为此可采用按对象输入输出来直接设计自适应控制系 统。其中一种为直接法，它根据对象的输入输出来设计自适 应控制器，从而来调节可调参数，使可调系统与给定参考模 型匹配，另一种为间接法，利用对象的输入输出设计一个自 适应观测器，实时地给出对象未知参数和状态的估计，然后 利用这些估计值再来设计自适应控制器，使对象输出能跟踪 模型输出，或使其某一性能指标最优。
• 2 采用受控对象输入输出构成自适应规律的设计方法 • 系统结构如下页图4中所示。
KmN(s) D(s) ym +
自适应机构 e -
r
Kc
KpN(s)
D(s)
y
图 4 增益可调的参考模型自适应
• 设计任务:
控制系统
– 设对与计象参可时考调变模增或型益未相知一Kc的的致自开. 适环应增规益律Kp,,使且得被控控制系系统统的能输够出适动应态被特控性
1
K p
x PBr
• 由上式可知,该自适应规律除包含输出误差e之外,还包含它的 各阶微.
– 对实际控制系统来说,带有微分因素的控制规律对系统的环 境变化或扰动较敏感,容易引起系统的不稳定,而且实现纯 微分环节也较困难.
– 因此,该自适应规律在具体实现上有一定困难.
– 为此，可在选择P矩阵时使P满足PB=μCT =[μ 0 … 0]T，
P(s)
y
图 1 增益可调的参考模型自适应 控制系统
利用参数最优化技术求取自适应控制律。
1958年由MIT提出，故称为MIT法。
输出广义误差e=ym-y,目的为根据使得J为最小的前提下
选择Kc。
J t e2( )d t0
J
t
2e
e
d
Kc t0 Kc
根据梯度法(最速下降法)，如下选择Kc：
Kc
Kc
(0)
J Kc
Kc (0)
t e e t0 Kc
d
步长，>0
Kc的初值
两边对t求导：
Kc
e
e Kc
(1)
由r(t)到e(t)的开环传函Ge(s)为：
Ge (s)
e(s) r(s)
(Km
Kc K p )
Q(s) P(s)
KmQ(s) P(s) ym +
r(t) Kc
自适应机构
KpQ(s) P(s)
Am xm Bmr-Ax-Bu
Ame ( Am-A)x Bmr-Bu
Ame Bmr ( Am-A)x-B(Kv x Kcr)
Ame ( Am-A-BK v )x (Bm BK c )r
Ame Φx Ψr
• 现在问题为设计Kv和Kc，使得误差系统为渐近稳定。
从而有 lim e(t) 0 t
– 此外参考模型(Am,Bm)应体现对被控系统的输出响应和性能指 标的要求,如
• 超调量、快速性、周期性、阻尼比、动态速降和通频带宽 等指标可通过参考模型的选取来体现.
– 实际上,参考模型体现对被控系统输出响应和性能指标的理想 化要求.
• 被控系统的状态方程
• x`=Ax+Bu
x (0)=x0
• 设系统的广义状态误差向量 e xm x 则 e xm x
值Kc(0)KpR,此时输出的广义误差e满足：
a2e a1e e -KmKp' R2e a2e a1e e KmKp' R2e 0
Km K p ' R2
a1 a2
时，系统不稳定。
• 三 基于Lyapunov稳定性理论的设计方法
• 对于设计一个控制系统来说,首要的目标是稳定. • MIT方法的最大的缺点是只考虑到优化输出误差和参数误差
a2 s 2
Kp a1s
1
参考模型：Gm
(s)
a2 s 2
Km a1s
1
这时闭环自适应控制系统为：
P(D)e (Km Kc K p )Q(D)r
a2e
a1e e Kc
(Km
'eym
K
p
Kc
)r
设在t=0时，输入r(t)=R(阶跃),假定ym的动态响应比e的自适应调
整过程快得多，则当时间充分长以后，ym取稳态值KmR,yp取稳态