计算方法第六章数值积分与数值微分

取n 1，则x0 a , x1 b , h b a
牛顿-科特斯系数为
C (1) 0
1
(t
0
1)dt
1 2
C 1( 1 )
1
tdt
0
1 2
第二节 牛顿-科特斯求积公式
1
求积公式为 I1( f ) (b a)
C (1) i
Байду номын сангаас
f
( xi
)
i0
b
2
a[
f
(x0 )
f
(x1 )]
b a [ f (a) f (b)] 2
第一节 引言
1、问题的引出
（中值的含义？）
由积分中值定理知，对于积分 b f (x)dx，总存在一点 [a,b]
使
b
得 a
f
(x)dx
f
a
( )(b a)成立。
但是该式中的 不容易求出，为此可取其近似值。如：
b
左（下）矩形公式： a f (x)dx f (a)(b a)
a
b
右（上）矩形公式： a f (x)dx f (b)(b a)
b
中矩形公式：
b
a
f (x)dx
f
(a b)(b a) 2
ba
2
（提前替考研的学生复习高数了） 要求能看懂积分式含义，能画出图来， 左边是什么几何含义？右边是什么几何含义？
第一节 引言
以上都是对 取的近似值，直接取 f () 的近似也可以得到一些计
算公式。如：
取 f ( ) f (b) f (a)
i0
n
f
(xi )
b
a li (x)dx
y
i0
若计 Ai
b a
li
(
x)dx，则
b
n
I ( f ) f (x)dx a
Ai f (xi )
i0
o
这就是数值求积公式，其中 Ai 即为求积系数
要会推导公式 y= f(x)
y=p(x)
x
为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算
意义，就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立。
1 4
2 (t 1)(t 2)dt 1
0
6
C1(2)
1 2
2
t(t
2)dt
4
0
6
大体记一下这几个系数
C2(2)
1 4
2
t (t
1)dt
1
0
6
第二节 牛顿-科特斯求积公式
牛顿-科特斯系数表（只记得前两排就行了）
第二节 牛顿-科特斯求积公式
二、低阶牛顿-科特斯公式 当区间等分数较大时，牛顿-科特斯公式稳定性差，较为实用的是n=1,2,4时的公 式。 1. 梯形积分公式
i0
称为机械求积公式。其中xi (i=0,1,…,n)为求积节点，Ai为求积系数（也
称伴随节点的权，与被积函数无关）。这样就避开了求原函数的问题。
几何意义？
y
y= f(x)
y=p(x)
o
x
第一节 引言
2、代数精度
若求积公式
b
n
I(f )
a
f (x)dx
Ai f (xi ) In ( f )
xdx
0.5
解：
利用梯形公式
1 xdx 1 0.5 ( 0.5 1)
0.5
2
0.4267767
重要！ 会计算
利用辛普森公式 积分准确值
1 xdx 1 0.5 ( 0.5 4 0.75 1)
0.5
6
0.4309340
1 0.5
xdx
2
3
x2
3
1 0.5
0.4309644
第三节 复化求积公式
几何意义？
三个角度
第一节 引言
f ()
一 般 地 ， 在 积 分 区 间 [a,b] 取 节 点 a≤x0 ＜x1 ＜... ＜xn ≤b ， 然 后 用 f(xi)
(i=0,1,…,n)的线性组合近似积分，构造出以下公式：
b
n
I f (x)dx a
Ai f (xi )
这个公式大家要看懂，分段常数
➢ 当积分区间[a, b]较大，而节点个数n+1固定时，直接使用 牛顿-科特斯公式的余项将会较大，而如果简单增加节点 个数，高阶求积公式稳定性差。
➢ 为了提高公式的精度，又使算法简单易行，往往使用复合 方法：即将区间[a, b]分成若干个子区间，然后在每个小 区间上使用低阶牛顿-科特斯公式，最后将每个小区间上 的积分近似值相加。
复化梯形公式的余项
复习高数
若f″(x)在[a, b]上连续，由连续函数的介值定理，存在某一η∈(a, b)使得
n1
f (i )
i0
f ()
n
由此可以推导出其误差：
Rn ( f )
n1
h3
i0 12
f
''(i )
nh3 12
f ()
(b a) 12
h2
f
(
)
(b a)3 12n2
f ()
第三节 复化求积公式
一、复化梯形公式
将[a, b]进行n等分，节点xi=a+ih，i=0,1,…,n，h=(b-a)/n
对每个小区间[xi, xi+1]用梯形公式，然后累加。则有：
xi1 xi
f
(
x)dx
h 2
(
f
(
xi
)
f
(
xi1
))
h3 12
f ''(i )
i (xi , xi1)
Tn (
第六章 数值积分与数值微分
b
实际问题中经常需要计算定积分， I ( f ) f (x)dx a
如果知道f (x)的原函数F(x)，则由牛顿-莱布尼兹公式有
b
f (x)dx
F(x)b
F(b) F(a)
a
a
但是在工程技术和科学研究中，常会遇到以下情形:
(1) f (x)的解析式根本不存在， 只给出了f (x)的一些数值
辛普森公式是n=2的牛顿科斯特公式
辛普森求积公式 几何图P94
即
I2(
f
)
(b a)[1 6
f
(x0 )
4 6
f
(x1)
1 6
f
(x2 )]
b a [ f (a) 4 f ( a b ) f (b)] 辛普森公式重要！
6
2
上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式
Simpson公式的余项为：
(xi1/ 2 )
f
( xi 1 )]
n次插值多项式的数值积分至少具有n次代数精度。
第二节 牛顿-科特斯求积公式
一、牛顿-科特斯求积公式 使用拉格朗日插值多项式建立数值求积公式。
设函数f (x) C[a,b] 将积分区间[a,b]分割为n等份
各节点为 xi a ih, i 0,1, , n 其中h b a 为步长
n
f (x)的拉格朗日插值多项式 及余项分别为
i0
对任意次数不超过 m的代数多项式 Pk (x)(k m)都准确成立，即
b
n
a Pk (x)dx Ai Pk (xi ) k 0,1, , m
i0
但对m 1次多项式却不能准确成立，
b xm1dx a
n
Ai
x m 1 i
i0
则称该求积公式具有m次的代数精度。
了解即可
第一节 引言
➢ 上面提到的梯形公式与中矩形公式对于一次多项式（即线 性函数）能准确成立，而对于二次多项式不能准确成立。 因此它们都具有一次代数精度。
4.5
b
4
R(S) R(I2 ) a R2 (x)dx 3.5
b a (b a )4 f (4) ()
3 2.5
180 2
2
(b a)5
f (4) ()
1.5 1
2880
0.5
Simpson公式具有3次代数精度
0 -0.5
0
0.5
1
1.5
第二节 牛顿-科特斯求积公式
1
例6-3 试分别用梯形公式和辛普森公式计算积分
jk
取n
2，则x0
a
,
x1
b 2
a
,
x2
b
,h
ba 2
牛顿-科特斯系数为:
C0(2)
1 4
2
(t 1)(t 2)dt
0
1 6
C1( 2 )
1 2
2
t(t 2)dt
0
4 6
C2(2)
1 4
2
(t 1)tdt
0
1 6
求积公式为：
2
I2 ( f ) (b a)
C (2) i
f
(
xi
)
i0
积分第二中值定理
f ()
b
(x a)(x b)dx
2a
f () (b a)3
26
(b a)3 f ()
12
从余项可以得到：梯形求积公式具有1次代数精度
第二节
牛顿-科特斯求积Ck(n公) n式(k!1(n)nkk)!
n
(t
0 0 jn
j)dt
2.辛普森（Simpson）公式及其余项
n
Ln (x) f (xi )li (x) i0
Rn( x)
f (
(n
n
1)( )
1)!
n
1
(
x
)
第二节 牛顿-科特斯求积公式
由 f (x) Ln (x) Rn (x) ，对于定积分 I( f )
b
f (x)dx
a
b
有 I ( f ) a [Ln (x) Rn (x)]dx
要会推导公式
C(n) i
f
( xi
)
i0
i0
观察：积分系数和节点、区间无直接联系、固定
第二节 牛顿-科特斯求积公式
牛顿-科特斯系数的计算：
当n=1时
C0(1)
1
(t
0
1)dt
1 2
C1(1)
1
tdt
1
0
2
C(n) i
(1)ni ni!(n i)!
n
(t
0 0 jn
j)dt
ji
当n=2时
C0(2)
R(In ) a Rn(x)dx
即有 I( f ) In( f ) R(In ) I ( f ) In ( f )
第二节 牛顿-科特斯求积公式
Ai的计算 : 注意是等距节点
b
n
I ( f ) f (x)dx a
Ai f (xi )
i0
Ai
b
a li (x)dx
b
x xj dx
0 0 jn
ji
此时i是定值
第二节 牛顿-科特斯求积公式
(b a) (1)ni n (t j)dt
n i! (n i)!
0 0 jn
ji
Ai ˆ (b a) Ci(n)
Ci(n)称为牛顿-科特斯系数
所以牛顿-科特斯公式化为：
n
n
In ( f )
Ai f (xi ) (b a)
(2) f (x)的原函数F(x)求不出来，如 f (x)不是初等函数 (3) f (x)的表达式结构复杂，求 原函数较困难
对以上情形，牛顿-莱布尼兹公式很难发挥作用，只能建立积
分的近似计算方法。
极为稀疏的采样
第六章 数值积分与数值微分
本章主要内容： 第一节 引言 第二节 牛顿-科特斯求积公式 第三节 复化求积公式 第四节 数值微分
上式称为梯形求积公式，也称两点公式
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
第二节 牛顿-科特斯求积公式
梯形公式的余项为：
b
R(T ) R(I1) a R1(x)dx
Rn( x)
f (
(n
n
1)( )
1)!
n
1
(
x
)
b f ( ) (x a)(x b)dx a2
复化梯形公式的截断误差以1/n2的速度下降。
第三节 复化求积公式
二、复化辛普森公式
（做实验！重要！也要会推导！会计算！）
类似复化梯形公式的做法，把区间[a, b]分成n个相等的子区间：
[xi , xi1], i 0,1,2,..., n 1
则在每个子区间间上应用辛普森公式，则有：
h
Si
[f 6
(xi ) 4 f
f
)
n1 i0
h
2
(
f
(xi )
f
(
xi1
))
h3 12
f
''(i )
h 1 2
f
(a)
n1 i 1
f
(xi )
1 2
f
(b)
h n1 3 i0 12
f
''(i )
h 2
f
n1
(a) 2
i1
f
(xi )
f (b)
n1 h3 i0 12
f
''(i )
第三节 复化求积公式
a 0 jn xi x j
回忆：上节课学的 Lagrange插值基函数
ji
设x a th，由 x [a,b] 可知 t [0, n]
Ai
b
x xj dx
a 0 jn xi x j
ji
n
0
0 jn ji
(t (i
j)h j)h
h
dt
h (1)ni n
(t j)dt
i! (n i)!
2
b
ba
得到
a f (x)dx
[ f (a) f (b)] 2
该式称为梯形公式
矩形公式都是用了一个点上的函数值代替 f () ，而梯形公式是用了a, b
两个点上函数值的算术平均代替 f () 。可以推测，利用多个点上的函数 值的算术（加权）平均来代替 f () 可能会更好。
一个点代替两个点平均代替多个点平均代替
有拉格朗日插值多项式：
n
Ln (x) f (xi )li (x)
回忆：上节课学的 Lagrange插值
i0
li (x)(i 0,1,L , n)为插值基函数
用Ln (x)作为被积函数f (x)的近似，可以得到
第一节 引言
b
f (x)dx
a
bL
a
n(x)dx
b a
n
f (xi )li (x)dx
b n
b
a
f (xi )li (x)dx a Rn (x)dx
i0
n
b
b
f (xi ) a li (x)dx a Rn (x)dx
i0
n
b
Ai f (xi ) a Rn( x)dx
i0
其中Ai
b
a li (x)dx
n
令 In ( f ) Ai f (xi ) i0
b
➢ 一般地，要使机械求积公式有m次代数精度，只要它对于1， x，x2，…，xm 都能准确成立而对于xm＋1不一定成立即可。
举例：6-1，6-2
了解即可
第一节 引言
3、插值型求积公式
利用插值多项式来构造数值求积公式，具体步骤如下:
在积分区间[a,b]上取一组节点：
a x0 x1 xn b