狭义相对论的时空观

第3节 狭义相对论的时空观 一、 时空间隔变换

事件1 事件2 时空间隔

S ：),,,(1111t z y x ),,,(2222t z y x x x x ∆=-12，y y y ∆=-12 z z z ∆=-12，t t t ∆=-12

S '：),,,(1111t z y x '''' ),,,(2222t z y x '''' x x x '∆='-'12，y y y '∆='-'12

z z z '∆='-'12，t t t '∆='-'12

22111/1c u t u x x -'+'= 2

22

22/1c u t u x x -'+'=

1

1y y '= 22y y '= 11z z '= 22z z '=

221211/1c u x c u t t -'+'= 22222

2/1c

u x c u t t -'+'= 时空间隔变换：

22/1c u t u x x -'∆+'∆=∆ 2

2/1c

u t

u x x -∆-∆='∆

y y '∆=∆ y y ∆='∆ z z '∆=∆ z z ∆='∆

222/1c u x c u t t -'∆+'∆=∆ 222/1c

u x

c u t t -∆-∆='∆ 例：地面观察者测得地面上

甲已两地相距m 6100.8⨯一列火车从甲→已历时s 0.2，一飞船相对地面

以匀速c u 6.0=的速度 甲 m 100.8⨯ 已 x 飞行，飞行方向与火车运动方向相同

求：飞船上观察者测得火车从甲→已运行的路程、时间及速度 解：地面：S ，飞船：S '，c u 6.0=

从甲出发：事件1，到达已地：事件2 S ：m x 6100.8⨯=∆，s t 0.2=∆

速度：s m t x V /100.40.2100.866

⨯=⨯=∆∆= S '：22/1c u t u x x -∆-∆='∆=m 8

2

86104.46

.010.21036.0100.8⨯-=-⨯⨯⨯-⨯ 222/1c u x c u t t -∆-∆='∆=s 48.26.01100.81036.00.226

8

=-⨯⨯⨯- c s m t x V 59.0/10774.18-≈⨯-='

∆'

∆='0<

二、速度变换，S ：dt r d V =，dt dx V x =，dt dy V y =，dt dz

V z =

S '：t d r d V ''=' ，t d x d V x ''='，t d y d V y ''='，t

d z d V z ''

='

22/1c u t u x x -'+'= 2

2/1c

u t ud x d dx -'

+'=

y y '= y d dy '= z z '= z d dz '=

222/1c u x c u t t -'+'= 222/1c u x d c u t d dt -'

+'= x

x

x V c u u

V x d c u t d t ud x d dt dx V '

++'='+''+'==2

21 x y y V c

u V c u x d c u t d y d c u dt dy V '+'-='+''

-==2222221/1/1

x z z V c

u V c u x d c u t d z d c u dt dz V '+'

-='+''-==22

22221/1/1 逆变换：x

x x V c

u

u V V 21--='，x y y V c u V c u V 22

21/1--='

x

z

z V c

u V c u V 2221/1--='

说明：（1）c u <<，0/2→c u ，0/22→c u

u V V x x +'≈，y y V V '≈，z z V V '≈

（2）空间坐标变换及速度变换不满足 矢量加法的平行四边形法则 （3）与光速不变原理自动相符合 y y '

u c V x ='

x x ' z z '

c c c

u u

c V c u u V V x x x =++='++'=2211

例：两火箭相向飞行

地面上测得：

c 9.0

c V A 9.0= c V B 9.0-= 求：A 上观察者测得 B 的速度 解：地面：S ，火箭A ：S '，c V u A 9.0==，B 为研究对象 S ：c V V B x 9.0-==

S '：c c

c c

c

c c V c u u V V x x x 995.081.18.1)9.0(9.019.09.0122-=-=----=--='

按伽利略变换，c u V V x x 8.1-=-='

三、 同时的相对性， 222/1c

u x c u t t -'

∆+'∆=∆ （1） 如果两事件在S '系同时同地发生，即0='∆t ，0='∆x

则0=∆t ，即在S 系两事件同时发生

（2）如果两事件在S '系同时不同地发生，即0='∆t ，0≠'∆x 则0≠∆t ，即在S 系两事件不同时发生

“异地”的同时是相对的 y S

O x x '

z A B 0='∆t ，222/1c u x c u t t -'∆+'∆=∆=222

/1)(c

u x x c u

A B -'-' 例：北京、上海相距1000km 从两地同时各发一列火车 一飞船对地以c u 6.0=的 速度飞行，方向由北京→

上海 求：飞船上测得两地发车的时间差，哪一列火车先发出？ 解：地面S ，飞船S '，c u 6.0=

北京发车：事件1，上海发车：事件2 S ：m km x 6101000==∆，0=∆t

S '：222/1c u x c u t t -∆-∆='∆=s 0025.06.01101036.026

8

-=-⨯⨯- 012

<'-'='∆t t t ，12t t '<'，上海的车先发出