二元关系 4.5 偏序关系

下界 无 无 无
上确界 无 c f
下确界 无
{a,b,c}
{a,b,c,d}
无 无
{b,c,d,f} {a,c,f,i}
b a
f i
b a
h
i f
e
c a
g
d b
小结

偏序关系是“次序”关系，但不一定是“全序”关系 。 哈斯图是偏序集的简化图，通过“层次”关系来表达 元素的“大小”关系。


偏序集中的特殊元素可以通过哈斯图来寻找。
设偏序集<A, ≼ >, B A，b表示相应的特殊元素，

B的极小元——B中没有比b 小的元素 b∈B 且 x(x ∈B x ≺ b) B的最小元——B中所有的元素都比b大 b∈B 且 x(x∈B→b ≼ x) 极大元和最大元类似定义。


注：上述元素都在B中寻找。
偏序集中的重要元素
设偏序集<A, ≼ >, B A，b表示相应的特殊元素，
Hasse图
Ｒ1 ——全序集
Ｒ2
Hasse图
4
2 1
3 Ｒ4
Ｒ3
全序关系
定义 全序关系——任意两个元素都可比 设<A, ≼>是一个偏序集，若对任意x, y∈A，总有x ≼ y 或y ≼ x，二者必居其一，则称 “”为全序关系，或者 线序关系。称<A, ≤>为全序集，或者线序集，或者链 。
偏序集中的重要元素
24 36 24 12 6 12 6
关 系 图
简 化 36 的 关 系 图
——Hasse
2 2 3
3
图
Hasse图
简化的关系图——Hasse图（哈斯图） (1)自反性：每个顶点都有自回路，省去。
(2)反对称性：两个顶点间只可能有一个箭头，从小到
大(或从低到高)安置顶点，可省略箭头。 (3)传递性：由于有<x，y>，<y，z>∈R，则<x，z>∈R，
极大元：a, f, h；
没有最小元与最大元. B的下界和下确界都不存在； 上界有 d 和 f, 上确界为 d.
偏序集中的重要元素
性质：
(1) 对于有穷集，极小元和极大元一定存在，可能存在 多个。
(2) 最小元和最大元不一定存在，如果存在一定惟一。 (3) 最小元一定是极小元；最大元一定是极大元。 (4) 孤立结点既是极小元，也是极大元。
Hasse图
例3 画出例1中各关系的Hasse图： A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}, B＝{a,b,c}, S ={1, 2, 3, 4} Ｒ1＝｛<x，y>｜ x ≤ y，x，y∈A｝ Ｒ2＝｛<x，y>｜ x | y，x，y∈A｝ Ｒ3＝｛<s1，s2>｜s1s2， s1，s2∈P(B)｝ R 4={<Ti,Tj>|Ti=Tj或Ti必须在Tj之前完成且Ti,Tj ∈S} ={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<1,4>,<2,4>,<3,4>}
(3)设G={10, 011}, 求G的上确界和下确界。

B的上界—B中所有的元素都比b小 b∈A 且 x(x∈B→x ≼ b) B的上确界 下界和下确界类似定义。

上确界——B的上界的最小元

注：上述元素都在A中寻找。
偏序集中的重要元素
例4 设偏序集<A,≼>，求A的极小元、极大元、最小元 、最大元。设B＝{ b,c,d }, 求B的下界、上界、下确界、 上确界. 解： 极小元：a, b, c, g；
偏序关系
定义 设R 为非空集合A上的偏序关系, x, y∈A,则 x与y可比 x ≼ y∨y ≼ x
定义 设R 为非空集合A上的偏序关系, x, y∈A, 则 y盖住x x≺y 且不存在 z∈A 使得 x≺z≺y
Hasse（哈斯）图
例2 设A={2,3,6,12,24,36}，“≼”是A上的整除关系R， 画出其关系图。
b d c e
作业
2.设S={0,1},F是S中的字符构成的长度不超过3的串的集 合，即F={ λ , 0, 1, 00, 01, ... , 111}, 其中λ表示空串。在F上定义偏序关系R： <x,y> ∈ R x是y的前缀。 (1)请画出<F,R>的Hasse图。
(2)求出<F,R>的极小元和最大元。
作业
1.下图中给出了偏序集<A, ≼>的Hasse图。
(1)试分别以集合、关系矩阵、关系图三种方式写出该偏 序关系；
(2)求A的最大、最小元（若存在的话）； (3)求A的极大、极小元； (4)求子集{ b , c , d },{ c , d , e }和{ a , b , c}的上下界以及 上下确界。 a
(5) 下界、上界、下确界、上确界不一定存在，存在不 一定唯一。
(6) 下确界、上确界如果存在，则惟一。
偏序集中的重要元素
练习 <A， ≼ >的Hasse图如下所示，讨论当B取相应集 合时，其最大元，最小元，极大元，极小元，上界， 下界，上确界，下确界。 B1=ห้องสมุดไป่ตู้a,b}, B2={a,b,c}, B3={a,b,c,d}, B4={b,c,d,f}, B5={a,c,f, i }
(2) A上的整除关系， A={1,2,3,4,5,6} ：
Ｒ2＝{<x，y>｜ x|y，x，y∈A} ≼ (3)P(A)上的包含关系， A={1,2,3} ： Ｒ3＝{<s1，s2>｜s1s2， s1，s2∈P(A)} ≼ (4)任务集S={T1,T2, .... , Tn} 上的关系 ≼ R4={<Ti,Tj>|Ti=Tj或Ti必须在Tj之前完成}
故只画<x，y>，<y，z>对应的边，省略边<x，z>。
Hasse图
Hasse图的画法——“层次”与“连线” (1)极小元放在第一层（最底层）。 (2)若第n层已放好，则第n+1层的元素满足至少能盖住 第n层的一个元素。（层次） (3)若y盖住x ，则x，y之间连线。（连线） 注：哈斯图体现了偏序集中元素间的“大小”和“层次 ”关系。
离散数学
Discrete Mathematics
主讲：陈哲云
青岛理工大学计算机工程学院 2013.09
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第4章 二元关系
二元关系
4.1二元关系基本概念
4.2
(重点)
关系的运算 4.3 关系的性质 (重点) 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 (重点及难点) 4.6 函数的基本概念
偏序关系

偏序关系 Hasse图（重点） 重要元素（重点）

拓扑排序
偏序关系
定义 偏序关系： 设A上的二元关系R, 如果R是自反的, 反对称的，传递的 ，则称R为偏序关系，记为“≼”, <A, ≼ >称为偏序集。 若<x，y>∈R，称“x小于等于y”，记作x ≼ y。
偏序关系
例1 几个常见的偏序关系： (1)A上的小于等于关系，A={1,2,3,4,5,6}： Ｒ1 ={<x，y>｜ x≤y，x，y∈A} ≼
h
i f
e
c a
g
d b
B {a,b} {a,b,c} {a,b,c,d}
极小元 a,b a,b a,b b a
极大元 a,b c c,d f i
最小元 无 无 无 b a
最大元 无 c 无 f i
{b,c,d,f} {a,c,f,i}
h
i f
e
c a
g
d b
B {a,b}
上界 c,d,e,f,g,h,i c,e,f,h,i f, h,i f,h,i i
偏序关系
关于例1(4)的一个举例： 如完成室内闪光拍照的任务，任务集T包括任务： 1、打开镜头盖； 2、照相机调焦； 3、打开闪光灯； 4、按下快门按钮。 在T上定义关系R： <i,j>∈R如果i=j或者任务i必须在任务j之前完成。
则R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<1,4>,<2,4>,<3,4>}