§4 基变换与坐标变换.

课程：高等代数第6.4.1页

课程：高等代数第6.4.2页

课程：高等代数 第6.4.3页 {n βββ，，， 21}下的坐标是(n y y y ，，， 21)，则

⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=n n i n i i x x x x 211

21)(ααααα，，，， (4) =⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=∑=n n i n i i y y y y 21121)(ββββ，，，． (5) 把(3)代入(5)，得

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n y y y A y y y A 21212121)()))((ααααααα，，，，，，．(6) 因此，再注意到(4)，则由坐标的唯一性得到

⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21=⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛n y y y A 21 ． (7) 因此有

定理6.4.2 设V 是数域F 上n (＞0)维向量空间，A 是由V 的基{n ααα ，，21}到基{n βββ，，， 21}的过渡矩阵，则V 中向量α在基{n ααα ，，21}下的坐标(n x x x ，，， 21)与在{n βββ，，， 21}下的坐标(n y y y ，，， 21)由等式(7)联系着．

例1 取V 2的两个彼此正交的单位向量21εε，，作成V 2的一个基．令2

1,εε''分别是由ε1和ε2旋转角θ 所得的向量(图6-1)，则21εε''，也是V 2的一个基，且有

ξ

1ε'

⎩⎨⎧+-='+='θθθθcos sin sin cos 212211εεεεεε， 1ε 所以}{21εε，到{21

εε''，}的过渡矩阵是 ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ． 设V 2的一个向量α在}{21εε，下的坐标是(x 1，x 2)，在{21

εε''，}下的坐图6-1

α

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