无穷小量的比较
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无穷小的比较【可编辑全文】
1
.
解 当 x 0 时，
(1
x2
)1
3
1
~
1 3
x2,
cos
x
1
~
1 2
x2
,
故
lim
x0
(1 x2 )1 3 1 cos x 1
lim
x0
1 3
x
2
1 2
x
2
2 3
.
完
例 9 计算 lim 1 tan x 1 tan x .
x0
1 2x 1
解 由于 x 0 时， 1 2x 1 ~ x, tan x ~ x,
然成立.
常用等价无穷小
注: 当 x 0时, x为无穷小,在常用等价无穷小
中, 用任意一个无穷小 ( x) 代替 x, 等价关系依
然成立.
例如, x 1 时,有 ( x 1)2 0,从而 sin( x 1)2 ~ ( x 1)2 ( x 1).
完
例 4 证明：e x 1 ~ x( x 0).
原式
lim
x0
x x (2 x )3
0.
正解 当 x 0 时，sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 , 2
故
lim
x0
tan x sin sin3 2x
x
lim
x0
1 2
x
3
(2 x )3
1 16
.
完
例8
求
lim
x0
(1
x cos
2 )1 3 x1
2
(1 x) 1 ~ x ( R)
ex 1~ x
a x 1 ~ x ln a (a 0)
2_7 无穷小量的比较
( x − 1) 2 x −1 解：1） ∵ lim = lim = 0, 2 x →1 x − 1 x →1 x + 1 1 − cos 2 x + x 3 1 − cos 2 x x3 α 2) lim = lim = lim + lim 2 2 2 x→0 β x→0 x→0 x→0 x x x 2sin 2 x = lim + lim x = 2 − 0 = 2 ≠ 1 2 x→0 x→0 x
x
x
ln(1 + x ) x ∴ lim = lim = 1 x→0 x →0 x sin x
解: ∵ x → 0 时 , e − 1 ~ x
ex −1 x ∴ lim = lim =2 x→0 1 + x − 1 x →0 1 x 2
1 1+ x −1 ~ x 2
微积分二 微积分二⑥
14/38
( x + 1)sin2x 例3 lim x→0 arcsin x 解：当x → 0时, sin2 x ~ 2 x, arcsin x ~ x.
1 1 1 2 − (cos x − 1) ⋅ x 1 2 2 2 = = lim = lim 1 1 2 x → 0+ x → 0+ 2 2 x x ( x) 2 2
微积分二 微积分二⑥
19/38
0 lim ( 型) + x→0 x(1 − cos x ) 0 (1 − cos x )(1 + cos x ) 解2：原极限= lim 原极限= x → 0+ x (1 − cos x )(1 + cos x ) 1 − cos x = lim x → 0+ x ((1 − cos x ))(1 + cos x ) 1 2 x 1 2 = lim = 2 1 x → 0+ 2 x x (1 + cos x ) 2
无穷小量的比较(4)全
2、若 lim f (x) c, (c 0)则称f (x)与g(x)为同阶无穷小。 xx0 g(x)
3、若 lim f (x) 1,则称f (x)与g(x)为等价无穷小。 xx0 g(x)
记为 f (x) ~ g(x)
2024/10/27
2
1、当 x 0时, 1 cos x是sin x的_______无穷小。
x 1
x sin sin
xx
当x→0时不是有界量
故当x→0时，x sin 1/x和x2不能比较。
2024/10/27
4
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功 能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图：
按键
PCBA
开关键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类型，尽量选择 平头类的按键，以防按键下陷。
2024/10/27
9
2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议 留0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公 差，以防按键手感不良。
二、等价无穷小量在求极限问题中的作用
定理：设 (x) ~ (x), (x) ~ (x) , 且 lim '(x) 存在（或为无穷 '(x)
大）, 则lim (x) 也存在（或为无穷大），并且 (x)
lim (x) lim '(x) lim '(x) '(x) '(x) (x)
lim '(x)
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'(x)
6
例1. 求 lim tan2x . x0 sin 5x
解: 由于当x0, tanx ~ x, 从而tan2x ~ 2x.
3、若 lim f (x) 1,则称f (x)与g(x)为等价无穷小。 xx0 g(x)
记为 f (x) ~ g(x)
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2
1、当 x 0时, 1 cos x是sin x的_______无穷小。
x 1
x sin sin
xx
当x→0时不是有界量
故当x→0时，x sin 1/x和x2不能比较。
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4
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功 能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图：
按键
PCBA
开关键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类型，尽量选择 平头类的按键，以防按键下陷。
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2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议 留0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公 差，以防按键手感不良。
二、等价无穷小量在求极限问题中的作用
定理：设 (x) ~ (x), (x) ~ (x) , 且 lim '(x) 存在（或为无穷 '(x)
大）, 则lim (x) 也存在（或为无穷大），并且 (x)
lim (x) lim '(x) lim '(x) '(x) '(x) (x)
lim '(x)
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'(x)
6
例1. 求 lim tan2x . x0 sin 5x
解: 由于当x0, tanx ~ x, 从而tan2x ~ 2x.
高数无穷小量的比较
sin x ~ x , arcsin x ~ x,
tan x ~ x, arctan x ~ x,
1 2 1 − cos x ~ x , 2
α2
2
x2
ln(1 + x ) ~ x ,
x log a (1 + x) ~ , ln a
e − 1 ~ x,
x
n
a − 1 ~ x ln a
x
1 1 + x - 1 ~ x, n
β 阶无穷小. （4）若 lim k = C ≠ 0 , (k > 0) 则称 β 是 α 的k阶无穷小. α
例如 , 当 x → 0 时
x 3 = o( 6x 2 ) ; sin x ～ x ; tan x ～ x arcsin x ～x
又如 ，
1 − cos x lim = 2 x →0 x
故 时
β′ = lim α′
.
sin x . 例4 求 lim x→0 tan 2 x
解 因为当 x → 0时, sin x ~ x, tan 2 x ~ 2 x, 所以
x 1 sin x lim = lim = . x →0 tan 2 x x →0 2 x 2
tan x . 例5 求 lim 2 x →0 x + 3 x
注意：等价无穷小替换忌“加减” 注意：等价无穷小替换忌“加减”。即对于代数和 无穷小不能分别替换。 各 无穷小不能分别替换。
(1 + −1 例7. 求 lim . x →0 cos x − 1
解:
1 2 3 x )
例9Leabharlann (1 − cos x2)(2x − 1) lim x →0 ln(1 + x 2) ⋅ sin x 3
无穷小量的比较
因此
lim e x 1 x0 x
lim y y0 ln1(y)
yl im0 1y
1 ln1(
y)
lim 1 y0ln1( y)
1 y
1 ln e
1
即有等价关系: ex1~x
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2、常用等价无穷小量:
当 x0时 ,
x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx 1cosx~1x2
例： 求limtan22x. x0 1coxs
解 当 x 0 时 ,1 cx o ~ 1 x s 2 , ta 2 x ~ n 2 x . 2
原式
(2x)2 lim
x0
1 x2
8.
2
若式子的分子或分母为若干个因子的乘积，则可 对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷 小代换，而不会改变原式的极限．
解 lx im 0tanxx3sinx lx i0(m c1o xs sx ixn 1x c2o x)s lx i0c m 1o xlx s i0s m x ixn lx i01 m x c2o x s 12 ,
taxnsinx为x的三阶无 . 穷小
证明: 当x0时, n1x1～1n x .
x 0
1x21
5
lim
2x2 9 x2 2
x 0
1 2
x
2
例
sin xsina lim
求 xa x a
解: 令uxa 则xua
当 x a时 ， u 0
原 式 ＝ limsin(ua)sina
u 0
u
2cos u 2a sin u
＝lim
7无穷小量的比较
例1
x → 0 时的几个无穷小量的比较：
2
x (1) lim x→0 x 1 − cos x (3) lim x →0 sin 2 x
1 x sin x (5) lim x →0 x
( 2)
sin x + 2 x lim x →0 x
(4)
sin x lim x →0 x
1 − cos x (6) lim 2 x→0 x
备用
1 − cos(1 − cos 2 x) 求 lim . 4 x →0 x
x2 由 1 − cos x ~ ( x → 0), 得 2
等价无穷小替代
解
1 − cos(1 − cos 2 x) (1 − cos 2 x) 2 lim = lim 4 x →0 x →0 x 2 x4
(2 x) 2 = lim x →0 2x4
定理2. 定理 证:
～ ~
β = α + o(α) β lim = 1 α β β −α lim( −1) = 0, 即 lim =0 α α
β −α = o(α) , 即 β = α + o(α)
例如, 例如 x → 0 时 ,
~
tan x~ x , 故
x →0 时 ,
tan x = x + o(x)
= 1−1 = 0 .
例12
当 x → 0 时,
3 2
3
5 x 2 − 5 x 3 是 x 的几阶无穷小量?
2 3
解
5x − 5x = x
3
3
5 − 5x ,
f (x) lim k = C x
由于
lim
x →0
x
2 3
无穷小的比较
无穷小的比较是两个数都是无穷小，可以比较相对大小。
无穷小量是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数，序列等形式出现，无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。
确切地说，当自变量x无限接近x0或x的绝对值无限增大时，函数值fx与0无限接近，即fx，0或fx等于0，则称fx为当x，x0或x，∞时的无穷小量，特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。
无穷小的性质无穷小量不是一个数，它是一个变量，零可以作为无穷小量的唯一一个常量，无穷小量与自变量的趋势相关，若函数在某的空心邻域内有界，则称g 为当时的有界量。
有限个无穷小量之和仍是无穷小量，有限个无穷小量之积仍是无穷小量，有界函数与无穷小量之积为无穷小量，特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量，恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。
工具/原料
笔（各种笔均可）纸（各种纸均可）
方法/步骤1 引例无穷小的多样性，如何比较？ 2 回顾无穷小的定义明确多阶无穷小和等价无穷小的定义 3 学习无穷小的定理1 基于等价无穷小 4 学习无穷小的定理2 基于等价无穷小 5 由等价无穷小，简化的极限运算规则。
和差取大规则，和差替代规则 6 由等价无穷小，简化的极限运算规则。
因式替代规则7 学习例题，反复联系。
8 仔细认真，举一反三！。
无穷小量的比较
则当 x 0 时, 有 u 0,
ex 1 u lim lim lim u 0 x 0 u 0 ln(1 u ) x
u 0
1 ln(1 u)
1 u
1 lim ln(1 u)
1 u
1 1. ln e
当x 0时， e x 1 ~ x.
解
令 (1 x) 1 y,于是 ln(1 x) ln(1 y),
第五节 无穷小量的比较
A.
ห้องสมุดไป่ตู้
无穷小量的阶：
高阶、低阶、同阶(等价)、k阶无穷小
B.
利用等价无穷小量计算极限
A.无穷小量的阶
引例：当 x 0时， 3 x , x 2 , sin x 都是无穷小, 但 它们趋于零的速度不同：
x 0, lim x 0 3 x
2
sin x 1 lim , x 0 3 x 3
tan 2 x . 例3 求 lim x 0 1 cos x
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 lim 8. x 0 1 x2 2
2
例4 解
e 1 求 lim . x 0 x
x
令 e x 1 u, 即 x ln(1 u),
例. 当
时, 比较无穷小
与
的阶.
ln x 解: 因 lim x 1 ( x 1) 2 ln[1 ( x 1)] lim 2 x 1 ( x 1) x 1 lim x 1 ( x 1) 2 1 lim x 1 x 1
故 是比
x 0 时, ln(1 x) ～ x ,
无穷小量的比较
α ( x) β (x)
= 1时，称在
x
→
x0
时 α ( x)
（III）
是与 β (x) 等价的的无穷小量，记作α (x) β (x) ，（ x → x0 ）；
若存在正数 k
，使得 limx→x0
α ( x) (β (x))k
=
l ≠ 0 ，则称在 x → x0 时
α (x) 是关于 β (x) 的 k 阶的无穷小量。
（I） lim x→x0 f ( x)g( x) 存在当且仅当 lim x→x0 f1( x)g( x) 存在，且当极限存在
时， lim x→x0 f ( x)g( x)= lim x→x0 f1( x)g( x) 。
g(x)
g(x)
（II） limx→x0 f ( x) 存在当且仅当 limx→x0 f1( x) 存在，且当极限存在时，
lim x→0
n−1
n 1+ x +
n
n−2
n 1+ x +=1 +1 Nhomakorabea
所以 n 1+ x −1 x / n （ x → 0 ）。证毕。
注记 17.2. 设α (x) 为 x → x0 时的无穷小量，使用例子 17.3 相同的方法
可得
n
1
+
α(x)
−1
α(x) n
（
x
→
x0
）
定理 17.1. 设 f (x) f1(x) （ x → x0 ）。设 g(x) 在U o (x0;δ ) 内有定义，则
x3 = o( x2 ) （ x → 0 ）； x3 = o( x) （ x → 0 ）； x3 = o( x1/3) （ x → 0 ）；
高等数学-无穷小的比较
x x0 1
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
例1 求 lim tan2 2x .
x0 1 cos x
则
lim
lim 1 .
x x0
x x0 1
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
另例 ：
第六节
第一章
无穷小的比较
一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换
一、无穷小量的比较
定义 设 与 是同一过程中的无穷小量，即
lim 0，lim 0.
xx0
xx0
❖ 如果lim 0，则 是比 较高阶无穷小；
xx0 记作 ( ).
lim o( ) ? x x0
❖ 如果lim ，则 是比 较低阶无穷小. xx0
x0 (2 x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式 lim
1 0 (2 x)3 16
② 等价替换不能离开 “定理所允许的框架”
例3 lim(1 3 tan2 x)cot x .
x0
四、等价无穷小替换
定理3 (等价无穷小替换定理)
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
则 lim lim 1 .
x x0
x x0 1
证： lim
lim (
1 1 )
x x0
x x0 1 1
lim lim 1 lim 1 lim 1 .
无穷小的比较公式
无穷小的比较公式在数学中，无穷小是一种特殊的数值概念，它可以用来描述接近于零的量。
无穷小的比较公式是用来比较两个无穷小的大小关系的公式。
在本文中，将详细介绍无穷小的比较公式，并给出一些具体的例子。
1.高阶无穷小比低阶无穷小大2.函数与它的微分比无穷小大3.无穷小的乘积是无穷小4.极限运算首先来看第一种形式，即高阶无穷小比低阶无穷小大。
假设有两个无穷小量a和b，如果当x趋近于其中一点时，a/x和b/x的极限都为零，且a/x的阶数高于b/x的阶数，则有a比b大。
举个例子，考虑函数f(x)=x和g(x)=x^2，当x趋近于零时，f(x)/x 的极限为1，g(x)/x的极限为0，因为x^2的阶数比x的阶数高，所以可以得出x^2是一个比x大的无穷小。
第二个形式是函数与它的微分比无穷小大。
如果函数f(x)在其中一点处可微分，且其微分f'(x)在该点处不为零，那么当x趋近于该点时，f(x)与f'(x)的比值趋近于零，即f(x)/f'(x)的极限为零。
举个例子，考虑函数f(x)=x^2，它在x=0处可微分，且其导数f'(x)=2x在该点处不为零。
当x趋近于零时，f(x)/f'(x)=x^2/(2x)=x/2的极限为零。
因此，x^2是一个比2x大的无穷小。
第三个形式是无穷小的乘积是无穷小。
如果a是一个无穷小，b是一个有界函数，那么a乘以b也是一个无穷小。
考虑两个无穷小量a和b，其中a是一个无穷小，b是一个有界函数。
当x趋近于其中一点时，a的极限为零，而b的取值在一些区间内有限。
因此，a乘以b的极限仍为零，即a乘以b也是一个无穷小。
最后一个形式是极限运算。
如果有两个无穷小量a和b，且a比b大，那么a和b之间的任何有限运算后的结果仍然是一个无穷小。
举个例子，考虑两个无穷小量a=x，b=x^2、根据前面的分析，x^2是一个比x大的无穷小。
那么，无论我们对a和b进行加法、减法、乘法或除法，结果仍然是一个无穷小。
无穷小的比较
1
1
x0 x
ax 1
lim
1
x0 x ln a
(5) lim 1 cos x 1
x0 1 x2 2
x 0时sin x ~ x x 0时arcsinx ~ x
x 0时 ln(1 x) ~ x
x 0时ex 1 ~ x
x 0时ax 1 ~ x ln a x 0时1 cos x ~ 1 x2
4、利用等价无穷小计算下列极限:
例4 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
等价无穷小量只能在乘除中替换,在加减中不能替换
例5 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
A(A
0)
f(x)与g(x)为同阶无穷小.
1 称f(x)与g(x)等价无穷小,记f(x) ~ g(x)
若 lim f ( x) 不存在, 称f ( x)与g( x)不能比较的无穷小量. xX g( x)
例1 :当x 0时, x 1000x3与x相比是(C )无穷小.
(A)高 阶; (B)低 阶; (C)等 价; (D)同 阶.
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
数列极限
函数极限
lim
n
xn
a
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x x0
无穷大
lim f (x)
两者的 关系
极限存在的 充要条件
左右极限 无穷小的比较
无穷小
第四节无穷小量的比较
第一章
第四节
定义
函数
极限
连续
无穷小量的比较
设 ( x ) 和 b ( x ) 为 ( x → x0 或 x → ) 两
个无穷小量. 若它们的比有非零极限， 即
( x) lim c b ( x)
(c 0) ，
则称 (x ) 和 b (x ) 为同阶无穷小. 若 c = 1，则称 ( x ) 和 b (x ) 为等价无穷小量，并记为 ( x ) ~ b ( x )， ( x → x0 或 x → ) .
( x) b ( x) 1 和 lim 1， 1( x ) b 1( x )
( x) 1 ( x) b1 ( x) ( x) lim lim b ( x) 1( x ) b 1( x ) b ( x )
( x) 1 ( x) b1 ( x) lim lim lim 1( x ) b 1( x ) b ( x)
( x) 1 ( x) 且 lim 则 lim 存在(或无穷大量)， b1 ( x) b ( x) 也存在或(无穷大量)，并且
( x) 1 ( x) lim lim b ( x) b 1( x )
( x) 或 lim b ( x ) .
证 由定理 sin x 计 算 lim . 3 x 0 sin x
解
1 cos x sin x tan x sin x cos x . lim lim x 0 x 0 sin3 x sin3 x
1 1 cos x lim lim x 0 cos x x 0 sin 2 x
1 2 x 1 2 1 lim 2 . x 0 x 2
若直接用 x 代替 tanx 及 sinx， 则
第四节
定义
函数
极限
连续
无穷小量的比较
设 ( x ) 和 b ( x ) 为 ( x → x0 或 x → ) 两
个无穷小量. 若它们的比有非零极限， 即
( x) lim c b ( x)
(c 0) ，
则称 (x ) 和 b (x ) 为同阶无穷小. 若 c = 1，则称 ( x ) 和 b (x ) 为等价无穷小量，并记为 ( x ) ~ b ( x )， ( x → x0 或 x → ) .
( x) b ( x) 1 和 lim 1， 1( x ) b 1( x )
( x) 1 ( x) b1 ( x) ( x) lim lim b ( x) 1( x ) b 1( x ) b ( x )
( x) 1 ( x) b1 ( x) lim lim lim 1( x ) b 1( x ) b ( x)
( x) 1 ( x) 且 lim 则 lim 存在(或无穷大量)， b1 ( x) b ( x) 也存在或(无穷大量)，并且
( x) 1 ( x) lim lim b ( x) b 1( x )
( x) 或 lim b ( x ) .
证 由定理 sin x 计 算 lim . 3 x 0 sin x
解
1 cos x sin x tan x sin x cos x . lim lim x 0 x 0 sin3 x sin3 x
1 1 cos x lim lim x 0 cos x x 0 sin 2 x
1 2 x 1 2 1 lim 2 . x 0 x 2
若直接用 x 代替 tanx 及 sinx， 则
无穷小量的比较
(2) limα ′( x) f ( x) = limα ( x) f ( x),
α ′( x ) f ( x ) α ( x) f ( x) (3) lim = lim . β ′( x ) β ( x)
只须右端极限存在或为无穷大.
证: (1) 因为α(x) ~ α ′(x), β(x) ~ β ′(x),
… … … … …
1 n
1 n2
2 n
1 en
−1
定理1. 定理1. 设α(x), α ′(x), β(x), β ′(x)是某极限过程中的 无穷小量. f (x)是另一变量, 且, α (x) ~ α ′(x), β(x) ~ β ′(x), 则
α ′( x ) α ( x) (1) lim = lim , β ′( x ) β ( x)
+ x → x0 − x → x0
则称f (x)在x0处右(左)连续. 定理1. 定理1. f (x)在x0处连续⇔ f (x)在x0左连续且右连续.
x 2 + 3, x ≥ 0 例2. 设f ( x) = 问a为何值时, a − x, x < 0,
f (x)在x=0连续. 解: f (0)=3 2 f (0 + 0) = lim+ f ( x) = lim+ ( x + 3) = 3
e ax − e bx 解: lim sin ax − sin bx = lim x→0 x→0
ebx (e( a −b) x − 1) a+b a −b 2 cos x sin x 2 2
e bx (e ( a −b ) x − 1) = lim ⋅ lim a + b x→0 a −b x→0 2 cos x sin x 2 2
α ′( x ) f ( x ) α ( x) f ( x) (3) lim = lim . β ′( x ) β ( x)
只须右端极限存在或为无穷大.
证: (1) 因为α(x) ~ α ′(x), β(x) ~ β ′(x),
… … … … …
1 n
1 n2
2 n
1 en
−1
定理1. 定理1. 设α(x), α ′(x), β(x), β ′(x)是某极限过程中的 无穷小量. f (x)是另一变量, 且, α (x) ~ α ′(x), β(x) ~ β ′(x), 则
α ′( x ) α ( x) (1) lim = lim , β ′( x ) β ( x)
+ x → x0 − x → x0
则称f (x)在x0处右(左)连续. 定理1. 定理1. f (x)在x0处连续⇔ f (x)在x0左连续且右连续.
x 2 + 3, x ≥ 0 例2. 设f ( x) = 问a为何值时, a − x, x < 0,
f (x)在x=0连续. 解: f (0)=3 2 f (0 + 0) = lim+ f ( x) = lim+ ( x + 3) = 3
e ax − e bx 解: lim sin ax − sin bx = lim x→0 x→0
ebx (e( a −b) x − 1) a+b a −b 2 cos x sin x 2 2
e bx (e ( a −b ) x − 1) = lim ⋅ lim a + b x→0 a −b x→0 2 cos x sin x 2 2
微积分课件PPT06-无穷小量的比较
| sin x | 1 x (,) , ( 有界量 )
故 lim 1 sin x 0 . x x
有界量与无穷小量的乘积
例4
求
lim
x0
x3 x2
4
.
解 由于 lim x3 0 , ( 无穷小量 ) x 0
lim(x2 4) 4 ,
x 0
故
lim
x0
x3 x2
4
0
.
( 极限不为零 )
请请自自己己根根据据定定义义自自已已进进行行证证明明..
3.无穷大量的运算性质
若 lim f (x) , 则 lim | f (x) | .
无穷大量一定是同一 极限过程中的无界量.
反之不真
在某极限过程中, 无穷大量与某一有界量之和 仍是一个无穷大量.
在某极限过程中, 两个无穷大量之积 仍是一个无穷大量.
例8 两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?
考察 {xn} : 1, 2, 3, 4, , (1)n n,
{yn} : 1, 2, 3, 4, , (1)n1n, 显然, n 时, xn , yn . 此时
{xn yn}: 0, 0,, 0,
不是无穷大量
{xn yn}: 2, 4, 6, 8,
令 (x) f (x) a , 则 (x) 0 (x x0 ) , 且
f (x) a (x) (x x0 ) .
反之亦然.
由以上的分析, 你可得出 什么结论 ?
定理
由此可看出, 寻找函数极限运算法则 可归结为寻找无穷小量的运算法则.
3.无穷小量的运算法则
同一个极限过程中的有限个 无穷小量之和仍是一个无穷小量.
x0
cos x2
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。