图论常见模型2
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14
二分图带权覆盖集
首先，我们可以对所有费用取对数lg，这 样把积的关系转换成和的关系。 加入源点S和汇点T，在S和Xi之间连一条 容量为log(Ri)的边（其中Ri为在第i行的火 炮的费用），在Yi和T之间连一条容量为 log(Ci)的边。X和Y之间的原边容量设为正 无穷大。 求该网络的最大流……这个最大流的含义？
5
如图所示的割，容量为12+14=26
6
例题分析
Cops and Thieves
Ural 1277 题目大意：有许多小偷在S城市，他们要去F 城市的博物馆偷东西。有K个警察被布署在除 K 了S和F以外的城市上，要看守城市i需要Xi个 警察。问能否有一种方案可以使得S到F的所 有路上都有城市有警察看守。 城市数N<=100, 边数M<=10000
38
APIO 2007 Backup
贪心真的无效么？ 仔细观察各种反例…… 出现错误的地方在于，贪心选择的解无法 “退回”，则下一步的最优解往往恰恰是 上一步交替“取反”而得……
交错路！ 交错路！
匹配！ 匹配！
39
APIO 2007 Backup
图论模型——
把点按奇偶分为X集和Y集，问题即变为求含 K条边的最小权匹配
7
例题分析
Sample Input 1
10 5515 1 6 6 11 1 12 13 24 34 45
Sample Input 2
10 5515 1 4 4 11 1 12 13 24 34 45
Sample Output 1 No
Sample Output 2
YES
8
例题分析
6 2 1 1 4 11 1 5 1 1 4 2 11 1 5 4
图论常见模型(2)
roba269@gmail.com
1
最大流常见转化
无向图变为有向图
通常情况下，直接把容量为C的无向边变成两 个方向容量均为C的有向边即可 因为在任何一条边里流必定可以只向一个方向
2
最大流常见转化
点容量变边容量
拆点即可，注意一点只出，另一点只入
3
最大流常见转化
无向图的拆点
u v
3 6
3 4
9
例题分析
因为题目相当于限制“点”的流量，这不 符合最大流的要求。于是我们把每个点k拆 成两个点k和k’，这两个点之间的边容量为 该城市需要的警察数。 拆点以后k负责入度,k’负责出度。注意原图 是无向图，因此要在两个方向都添加边。
10
例题分析
最后以S为源，以F为汇求最大流，即是该 网络的最小割，也就是控制所有路径需要 的最少警察数。
11
例题分析
Paratroopers
TOJ 2634 题目大意：在一个M*N的方格上有一些敌人， 我方在每一行和每一列上都设有激光炮，每发 射一次就可以消灭该行或该列上所有敌人。每 个激光炮有一个>1.0的费用，最后的总费用是 所有开火的激光炮的费用的乘积。 问要消灭所有敌人，最少的费用是多少? M,N<=50
把格子黑白染色之后转成二分图，即转化为 带权独立集问题
19
二分图带权独立集
给定二分图，每个点上有一非负权值，求一 个独立集使得集合中点的权值和最大。 建图方式：添加源和汇，源和汇分别连到两 侧点集，容量为点的权值，原二分图中的边 权为正无穷。求最大流（最小割）可得最小 点权覆盖集，设权值为f。 除孤立点外，最小覆盖集与最大独立集互补。 故最终结果为 所有点权总和减去f
总花费为三部分之和，净利润为所有任务 的收益增去总的花费。求最小割，即使得 a+b+c最小，也即净利润最大。
30
最小费用流
概念：
每条边上有两个权值，容量c和费用w。 现在要求在最大流的基础上，使得 ∑f(u,v)*w(u,v)最小。 ∑f(u,v)*w(u,v)
实质：更一般的网络流问题
当费用为0时，为最大流问题 当容量为1时，为最短路问题
给定直线上的N个楼，现有K条网线，要求 给其中的2K个楼两两配对，使得网线的总 长度尽可能小。 N <= 100,000, K <= N/2
34
APIO 2007 Backup
如图最优解为连接1-2，3-4，总长为4
35
APIO 2007 Backup
容易发现，选的边一定不会互相覆盖，即 对于四个点a<b<c<d，若要求选两条边，则 (a-c, b-d)必定不是最优解，因为显然(a-b, cd)更优。 进一步地，选择的楼必定两两相邻 DP?
28
CEOI 2008 Order
回到原题，CEOI此题的不同之处是，允许 出现“租”的情况 中间边的容量不为无穷大？
29
CEOI 2008 Order
割与方案仍然对应
S集中的点表示要完成的任务以及要买的机器 若任务在S集，所需机器在T集，租金a则计入 割的容量中 若任务不在S集，“浪费”的收益b计入割容量 若机器在S集，买机器花费c计入割的容量
KM? —— ——不合适 考虑求最小费用路的最短增广路算法
每次选择最短路增广，共增广K次……
这样能比DP更快?? @@
40
APIO 2007 Backup
两个基本操作
选最短路 增广
回到线性模型——
可增广路一定是这样连续的一段 [不选,选,不选,选,不选]… 我们把这样的一段当做一个元素
41
APIO 2007 Backup
32
最小费用增广路相关
最小费用增广路用于求费用流的过程中。 这是一个有“贪心”思想的方法，每次找 费用之和最小的一条增广路进行增广，就 可以保证得到最大流时的费用是最小的。 实际上我们有更强的结论：设每次增广后 得到流值为f，则此时的费用是在所有流值 为f的流里能取得的最小费用。
33
APIO 2007 Backup
43
SPOJ COVER
匹配? 把每个点x拆成左右两个点(x1,x2)，对原图 中的边(x->y)，新图中添边(x1-y2) (x->y) (x1-y2) 则新图的一个匹配对应原图中的一种选法
二分图没有边共点 <-> 原图没有边共头共尾
44
SPOJ COVER
现在只要求选出K条边 转成最小费用流？用最短增广路求K次？
31
最小费用流
最小费用增广路算法
残量网络中费用的定义：对于原图中的边 w(u,v)，残量网络中w’(u,v) = w(u,v), w’(v,u) = w(u,v) 在残量网络中求最小费用路，即以w’为权值的 从s到t的最短路（利用Bellman-Ford）。 沿最小费用路增广，直到不能找到s-t路为止。 最后得到的就是最小费用流。
12
例题分析
Sample Input
445 2.0 7.0 5.0 2.0 1.5 2.0 2.0 8.0 11 22 33 44 14
Sample Output 16.0000 解释：位于1,4行和2,3列 的火炮开火 类二分图？ 如果没有费用的问 题……
13
二分图带权覆盖集
如果火炮的费用都是单位1…… 令X集为横坐标，Y集为纵坐标，如果(i,j) 位置有一个敌人，则在(Xi, Yj)之间连一条 边，于是最优解就是一个二分图最小覆盖。 费用如何处理？
复杂度O(MNK)…
45
SPOJ COVER
• 贪心初始流，然后进行调整? 我们没有利用到这个条件——
有向边的权值为它的两端点权值之和
如何利用?
46
SPOJ COVER
实际上可以发现，对一条增广路的增广， 就是加上该路两端的两个未配点的权值。 故寻找最小费用路变为寻找最小权值和的 未配点对(xi,yj)
把每个区间当作一个元素 初始时，全部为[i,i]类型，权值为长度 用相应数据结构(堆或者平衡树)维护
每次选择权值最小的一个元素(设权为v) 增广后，将其与其左右相邻的元素(设权为 v1,v2)合并，新的权值变为(v1+v2-v)
复杂度O(klogn)
42
SPOJ COVER
给N个点，每个点都有一个权值，某些点 之间存在有向边，有向边的权值为它的两 端点权值之和。现在要求从中选出K条边， 使得没有任何两条边共头或共尾，问K条 边的权值和最小为多少。 N<=10^4，边数M<=10^6，K<=100。
23
CEOI 2008 Order
24
NOI 2006 Profit
复习一个简化版问题——NOI 2006 Profit 每个用户群Ci需要两个中转站ai和bi，已知 建造每个中转站的花费以及为每个用户群 服务所得收入。求总利润的最大值。
总利润 ＝ 收入 － 花费
25
NOI 2006 Profit
新加S,T，对S和用户群连边，容量为该用 户群的收益，对通讯站和T连边，容量为该 通讯站的花费。对用户群和其所需通讯站 连边，容易为正无穷。 此网络的一个割对应一种方案： S集中的 点为选择服务的用户群及修建的通讯站， 割开的边是“不为某些用户服务故没有得 到的收益”+“建造某些通讯站的花费”
26
NOI 2006 Profit
20
互补的证明
对于一条边(u,v)，覆盖集要求 u∈ A∨ v∈ A 独立集要求
¬(u ∈ A ∧ v ∈ A) ⇔ (u ∉ A ∨ v ∉ A) ⇔ (u ∈ A ∨ v ∈ A)
即，若我们找到一个A满足覆盖集的要求， 则它的补集满足独立集的要求
21
最小割转化相关
最大权闭合子图
TOJ 2944 Mussy Paper NOI2006 Profit
36
APIO 2007 Backup
用opt[n][k]表示前n个点中选出k条边的最优 解，则有方程
opt[n][k] = min(opt[n-1][k], opt[n-2][k-1] + pos[n] - pos[n-1])
O(NK) TLE…
37
APIO 2007 Backup
贪心？ 每次选最短的两楼相连？ 很容易举出反例 (1,3,4,6,100) ……
1 1 2 S 2 3 3 用户群 T
S集中的点为 选择服务的用 户群及修建的 通讯站
4 通讯站
27
NOI 2006 Profit
割开的边是“不为某些用户服务故没有得 到的收益”+“建造某些通讯站的花费”， 记为F 记为所有用户服务的收入之和为Tot，则 Tot – F 即我们最后要求的结果 最小割保证求得的F最小，也就保证了TotF最大。
15
二分图带权覆盖集
最大流＝最小割 回忆最小割的定义：
因为X集和Y集之间边容量为正无穷，最小割 不可能“割开”这些边。即，对每条(Xi,Yj)边， 要么Xi,Yj都属于S集，要么都属于T集。 “割开”的边是什么呢?
16
二分图带权覆盖集
最小割的意义：
可以理解为，属于S集的Yj点，即表示第j列的 炮开火。同样，属于T集的Xi点，即表示第i行 的炮开火 一个割即对应一种消灭敌人的方案 最小割即是费用最小的方案 注意输出时要求emin_cut
最大密度子图
TOJ 2672 Hard Life
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ22
CEOI 2008 Order
给定一些任务，每个任务需要某些机器来 完成，完成每个任务可以有相应的收益。 机器可以买也可以租。不同的机器有不同 的价格，不同的机器对不同的任务分别有 不同的租金。机器只需买一次就可以无限 使用，如果租机器则只能用在当前这次。 求最大的收益。 机器数<=1200, 任务数<=1200
u
u’
v
v’
4
最小割
一个网络的割(cut)是指把网络的点集划分 为两部分S和T，使得s∈S,t∈T。 割的容量(capacity)是指所有起点在S集，终 (capacity) S 点在T集的边的容量的总和，即 ∑u∈S and v∈Tc(u,v) 最大流最小割定理：一个网络的最大流等 于最小割的容量。
47
SPOJ COVER
每次增广时，从左边选一个未配点xi，进 行BFS/DFS找交错路，找到右边所有符合 条件的未配点yj，则可以得出所有候选点 对。 从每点BFS复杂度为O(M)，每次要检验 O(N)个左侧未配点，增广K次…… 复杂度仍然O(MNK)?
48
SPOJ COVER
实际上，预先给左侧点排序，按照权值的 递增序依次检查未配点，则无须对每个点 都重新找增广路，直接遍历一次即可。
17
二分图带权覆盖集
1 2.0 7.0 s 5.0 3 2.0 4 ∞ ∞ 2 ∞ ∞ 3 8.0 4 2 2.0 2.0 t ∞ 1 1.5
18
二分图带权独立集
HDU 1569 方格取数(2)
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1569 给你一个m*n的格子的棋盘，每个格子里面有 一个非负数。从中取出若干个数，使得任意的 两个数所在的格子没有公共边，就是说所取数 所在的2个格子不能相邻，并且取出的数的和最 大。
二分图带权覆盖集
首先，我们可以对所有费用取对数lg，这 样把积的关系转换成和的关系。 加入源点S和汇点T，在S和Xi之间连一条 容量为log(Ri)的边（其中Ri为在第i行的火 炮的费用），在Yi和T之间连一条容量为 log(Ci)的边。X和Y之间的原边容量设为正 无穷大。 求该网络的最大流……这个最大流的含义？
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如图所示的割，容量为12+14=26
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例题分析
Cops and Thieves
Ural 1277 题目大意：有许多小偷在S城市，他们要去F 城市的博物馆偷东西。有K个警察被布署在除 K 了S和F以外的城市上，要看守城市i需要Xi个 警察。问能否有一种方案可以使得S到F的所 有路上都有城市有警察看守。 城市数N<=100, 边数M<=10000
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APIO 2007 Backup
贪心真的无效么？ 仔细观察各种反例…… 出现错误的地方在于，贪心选择的解无法 “退回”，则下一步的最优解往往恰恰是 上一步交替“取反”而得……
交错路！ 交错路！
匹配！ 匹配！
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APIO 2007 Backup
图论模型——
把点按奇偶分为X集和Y集，问题即变为求含 K条边的最小权匹配
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例题分析
Sample Input 1
10 5515 1 6 6 11 1 12 13 24 34 45
Sample Input 2
10 5515 1 4 4 11 1 12 13 24 34 45
Sample Output 1 No
Sample Output 2
YES
8
例题分析
6 2 1 1 4 11 1 5 1 1 4 2 11 1 5 4
图论常见模型(2)
roba269@gmail.com
1
最大流常见转化
无向图变为有向图
通常情况下，直接把容量为C的无向边变成两 个方向容量均为C的有向边即可 因为在任何一条边里流必定可以只向一个方向
2
最大流常见转化
点容量变边容量
拆点即可，注意一点只出，另一点只入
3
最大流常见转化
无向图的拆点
u v
3 6
3 4
9
例题分析
因为题目相当于限制“点”的流量，这不 符合最大流的要求。于是我们把每个点k拆 成两个点k和k’，这两个点之间的边容量为 该城市需要的警察数。 拆点以后k负责入度,k’负责出度。注意原图 是无向图，因此要在两个方向都添加边。
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例题分析
最后以S为源，以F为汇求最大流，即是该 网络的最小割，也就是控制所有路径需要 的最少警察数。
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例题分析
Paratroopers
TOJ 2634 题目大意：在一个M*N的方格上有一些敌人， 我方在每一行和每一列上都设有激光炮，每发 射一次就可以消灭该行或该列上所有敌人。每 个激光炮有一个>1.0的费用，最后的总费用是 所有开火的激光炮的费用的乘积。 问要消灭所有敌人，最少的费用是多少? M,N<=50
把格子黑白染色之后转成二分图，即转化为 带权独立集问题
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二分图带权独立集
给定二分图，每个点上有一非负权值，求一 个独立集使得集合中点的权值和最大。 建图方式：添加源和汇，源和汇分别连到两 侧点集，容量为点的权值，原二分图中的边 权为正无穷。求最大流（最小割）可得最小 点权覆盖集，设权值为f。 除孤立点外，最小覆盖集与最大独立集互补。 故最终结果为 所有点权总和减去f
总花费为三部分之和，净利润为所有任务 的收益增去总的花费。求最小割，即使得 a+b+c最小，也即净利润最大。
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最小费用流
概念：
每条边上有两个权值，容量c和费用w。 现在要求在最大流的基础上，使得 ∑f(u,v)*w(u,v)最小。 ∑f(u,v)*w(u,v)
实质：更一般的网络流问题
当费用为0时，为最大流问题 当容量为1时，为最短路问题
给定直线上的N个楼，现有K条网线，要求 给其中的2K个楼两两配对，使得网线的总 长度尽可能小。 N <= 100,000, K <= N/2
34
APIO 2007 Backup
如图最优解为连接1-2，3-4，总长为4
35
APIO 2007 Backup
容易发现，选的边一定不会互相覆盖，即 对于四个点a<b<c<d，若要求选两条边，则 (a-c, b-d)必定不是最优解，因为显然(a-b, cd)更优。 进一步地，选择的楼必定两两相邻 DP?
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CEOI 2008 Order
回到原题，CEOI此题的不同之处是，允许 出现“租”的情况 中间边的容量不为无穷大？
29
CEOI 2008 Order
割与方案仍然对应
S集中的点表示要完成的任务以及要买的机器 若任务在S集，所需机器在T集，租金a则计入 割的容量中 若任务不在S集，“浪费”的收益b计入割容量 若机器在S集，买机器花费c计入割的容量
KM? —— ——不合适 考虑求最小费用路的最短增广路算法
每次选择最短路增广，共增广K次……
这样能比DP更快?? @@
40
APIO 2007 Backup
两个基本操作
选最短路 增广
回到线性模型——
可增广路一定是这样连续的一段 [不选,选,不选,选,不选]… 我们把这样的一段当做一个元素
41
APIO 2007 Backup
32
最小费用增广路相关
最小费用增广路用于求费用流的过程中。 这是一个有“贪心”思想的方法，每次找 费用之和最小的一条增广路进行增广，就 可以保证得到最大流时的费用是最小的。 实际上我们有更强的结论：设每次增广后 得到流值为f，则此时的费用是在所有流值 为f的流里能取得的最小费用。
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APIO 2007 Backup
43
SPOJ COVER
匹配? 把每个点x拆成左右两个点(x1,x2)，对原图 中的边(x->y)，新图中添边(x1-y2) (x->y) (x1-y2) 则新图的一个匹配对应原图中的一种选法
二分图没有边共点 <-> 原图没有边共头共尾
44
SPOJ COVER
现在只要求选出K条边 转成最小费用流？用最短增广路求K次？
31
最小费用流
最小费用增广路算法
残量网络中费用的定义：对于原图中的边 w(u,v)，残量网络中w’(u,v) = w(u,v), w’(v,u) = w(u,v) 在残量网络中求最小费用路，即以w’为权值的 从s到t的最短路（利用Bellman-Ford）。 沿最小费用路增广，直到不能找到s-t路为止。 最后得到的就是最小费用流。
12
例题分析
Sample Input
445 2.0 7.0 5.0 2.0 1.5 2.0 2.0 8.0 11 22 33 44 14
Sample Output 16.0000 解释：位于1,4行和2,3列 的火炮开火 类二分图？ 如果没有费用的问 题……
13
二分图带权覆盖集
如果火炮的费用都是单位1…… 令X集为横坐标，Y集为纵坐标，如果(i,j) 位置有一个敌人，则在(Xi, Yj)之间连一条 边，于是最优解就是一个二分图最小覆盖。 费用如何处理？
复杂度O(MNK)…
45
SPOJ COVER
• 贪心初始流，然后进行调整? 我们没有利用到这个条件——
有向边的权值为它的两端点权值之和
如何利用?
46
SPOJ COVER
实际上可以发现，对一条增广路的增广， 就是加上该路两端的两个未配点的权值。 故寻找最小费用路变为寻找最小权值和的 未配点对(xi,yj)
把每个区间当作一个元素 初始时，全部为[i,i]类型，权值为长度 用相应数据结构(堆或者平衡树)维护
每次选择权值最小的一个元素(设权为v) 增广后，将其与其左右相邻的元素(设权为 v1,v2)合并，新的权值变为(v1+v2-v)
复杂度O(klogn)
42
SPOJ COVER
给N个点，每个点都有一个权值，某些点 之间存在有向边，有向边的权值为它的两 端点权值之和。现在要求从中选出K条边， 使得没有任何两条边共头或共尾，问K条 边的权值和最小为多少。 N<=10^4，边数M<=10^6，K<=100。
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CEOI 2008 Order
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NOI 2006 Profit
复习一个简化版问题——NOI 2006 Profit 每个用户群Ci需要两个中转站ai和bi，已知 建造每个中转站的花费以及为每个用户群 服务所得收入。求总利润的最大值。
总利润 ＝ 收入 － 花费
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NOI 2006 Profit
新加S,T，对S和用户群连边，容量为该用 户群的收益，对通讯站和T连边，容量为该 通讯站的花费。对用户群和其所需通讯站 连边，容易为正无穷。 此网络的一个割对应一种方案： S集中的 点为选择服务的用户群及修建的通讯站， 割开的边是“不为某些用户服务故没有得 到的收益”+“建造某些通讯站的花费”
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NOI 2006 Profit
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互补的证明
对于一条边(u,v)，覆盖集要求 u∈ A∨ v∈ A 独立集要求
¬(u ∈ A ∧ v ∈ A) ⇔ (u ∉ A ∨ v ∉ A) ⇔ (u ∈ A ∨ v ∈ A)
即，若我们找到一个A满足覆盖集的要求， 则它的补集满足独立集的要求
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最小割转化相关
最大权闭合子图
TOJ 2944 Mussy Paper NOI2006 Profit
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APIO 2007 Backup
用opt[n][k]表示前n个点中选出k条边的最优 解，则有方程
opt[n][k] = min(opt[n-1][k], opt[n-2][k-1] + pos[n] - pos[n-1])
O(NK) TLE…
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APIO 2007 Backup
贪心？ 每次选最短的两楼相连？ 很容易举出反例 (1,3,4,6,100) ……
1 1 2 S 2 3 3 用户群 T
S集中的点为 选择服务的用 户群及修建的 通讯站
4 通讯站
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NOI 2006 Profit
割开的边是“不为某些用户服务故没有得 到的收益”+“建造某些通讯站的花费”， 记为F 记为所有用户服务的收入之和为Tot，则 Tot – F 即我们最后要求的结果 最小割保证求得的F最小，也就保证了TotF最大。
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二分图带权覆盖集
最大流＝最小割 回忆最小割的定义：
因为X集和Y集之间边容量为正无穷，最小割 不可能“割开”这些边。即，对每条(Xi,Yj)边， 要么Xi,Yj都属于S集，要么都属于T集。 “割开”的边是什么呢?
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二分图带权覆盖集
最小割的意义：
可以理解为，属于S集的Yj点，即表示第j列的 炮开火。同样，属于T集的Xi点，即表示第i行 的炮开火 一个割即对应一种消灭敌人的方案 最小割即是费用最小的方案 注意输出时要求emin_cut
最大密度子图
TOJ 2672 Hard Life
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ22
CEOI 2008 Order
给定一些任务，每个任务需要某些机器来 完成，完成每个任务可以有相应的收益。 机器可以买也可以租。不同的机器有不同 的价格，不同的机器对不同的任务分别有 不同的租金。机器只需买一次就可以无限 使用，如果租机器则只能用在当前这次。 求最大的收益。 机器数<=1200, 任务数<=1200
u
u’
v
v’
4
最小割
一个网络的割(cut)是指把网络的点集划分 为两部分S和T，使得s∈S,t∈T。 割的容量(capacity)是指所有起点在S集，终 (capacity) S 点在T集的边的容量的总和，即 ∑u∈S and v∈Tc(u,v) 最大流最小割定理：一个网络的最大流等 于最小割的容量。
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SPOJ COVER
每次增广时，从左边选一个未配点xi，进 行BFS/DFS找交错路，找到右边所有符合 条件的未配点yj，则可以得出所有候选点 对。 从每点BFS复杂度为O(M)，每次要检验 O(N)个左侧未配点，增广K次…… 复杂度仍然O(MNK)?
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SPOJ COVER
实际上，预先给左侧点排序，按照权值的 递增序依次检查未配点，则无须对每个点 都重新找增广路，直接遍历一次即可。
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二分图带权覆盖集
1 2.0 7.0 s 5.0 3 2.0 4 ∞ ∞ 2 ∞ ∞ 3 8.0 4 2 2.0 2.0 t ∞ 1 1.5
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二分图带权独立集
HDU 1569 方格取数(2)
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1569 给你一个m*n的格子的棋盘，每个格子里面有 一个非负数。从中取出若干个数，使得任意的 两个数所在的格子没有公共边，就是说所取数 所在的2个格子不能相邻，并且取出的数的和最 大。