排列组合之分堆问题

排列组合之分堆问题（教师）

引例 将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？

⑴分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本；

⑵分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本；

⑶分给甲、乙、丙3人，每人2本；

⑷分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本；

⑸分成3堆，每堆2 本；

⑹分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本；

⑺分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本.

分析：①分书过程中要分清：是均匀的还是非均匀的；是有序的还是无序的.

②特别是均匀的分法中要注意算法中的重复问题.

解：⑴是指定人应得数量的非均匀问题：①学生甲从6本中取3 本有36C 种取法，②学生

乙从余下的3本中取2本有23C 种取法，③学生丙从余下的1本中取1本有11C 种取法. 所以方法数

为3216

31C C C ＝60； ⑵是没有指定人应得数量的非均匀问题：①从6本中取3 本作为一堆有36C 种取法，②从

余下的3本中取2本作为一堆有23C 种取法，③从余下的1本中取1本作为一堆有11C 种取法，④将

三堆依次分给甲乙丙三人有33P 种分法. 所以方法数为33112336

P C C C ⨯＝360； ⑶是指定人应得数量的均匀问题：①学生甲从6本中取2本有26C 种取法，②学生乙从余下的4本中取2本有24C 种取法，③学生丙从余下的2本中取2本有22C 种取法. 所以方法数为

222642C C C ＝90；

⑷是分堆的非均匀问题：①从6本中取3 本作为一堆有36C 种取法，②从余下的3本中取2

本作为一堆有23C 种取法，③从余下的1本中取1本作为一堆有11C 种取法. 所以方法数为321631C C C ＝60；

⑸是分堆的均匀问题：相当于①学生甲从6本中取2本有26C 种取法，②学生乙从余下的4

本中取2本有24C 种取法，③学生丙从余下的2本中取2本有22C 种取法.方法数为22264

2C C C ＝90.然后再取消甲乙丙的分配顺序，故方法数为22236423C C C A ÷＝15；

⑹是部分均匀地分给人的问题：方法数为

4113

6213

2

2

C C C P

A

⨯

＝90；

⑺是部分均匀地分堆的问题：方法数为

411

621

2

2

C C C

A

＝15.

以上问题归纳为：

分组（堆）问题有六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分.是排列、组合及其应用基本问题.在历年的各地高考试题中都有体现.

例1 ( 2006年重庆卷理8)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（）

（A）30种（B）90种（C）180种（D）270种

分析：这是一个有序局部等分问题. 根据题意应先将5名实习教师按（2～2～1）分为三组，然后再将这三组依次安排到高一年级的3个班实习.

解：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5

名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有

122

542

2

2

15

C C C

A

⋅⋅

=种方法，再将3组依次分到

3个班有3

36

A=种分法. 根据分步计数原理，共有15690

⨯=种不同的分配方案，故选B.

点评：没有明确安排各班学校的教师分配数量时，要先将教师分成堆（组）再将各堆依次分配到班学校，简称为“先分组，后到位”；对于局部均匀的分堆（组），先依次选取出来再去掉均匀堆（组）选出的顺序，即除以均匀堆（组）数的全排列.

例2（2007陕西理科第16题）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有210种.（用数字作答）

分析：根据题意应先将3名支教老师按（1～1～1）分为三组或按（2～1）分为两组，然后再将这组依次安排到学校.

解：①将3名支教老师按（1～1～1）分为三组有

111

321

3

3

1

C C C

A

=种分法，再将三组依次分到

学校有3

6120

A=种中分法，根据分步计数原理，共有1×120＝120种不同的分配方案；

②将3名支教老师按（2～1）分为两组有21

313

C C=种分法，再将两组依次分到学校有

2 630

A=中分法，根据分步计数原理，共有3×30＝90种不同的分配方案.

再由分类计数原理，共有120+90＝210种不同的分配方案. 故填210.

点评：分类讨论问题是考试的热点. 本题是将分类与分组问题巧妙的融合在了一起，同时达到考察分类计数原理和分步计数原理的目的.

例3 （2007宁夏理科第16题）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种．（用数字作答）分析：5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，说明必有某一个工厂安排了两个班，其余的3个工厂各有一个班，由于到一个工厂的两个班的“地位”是等同的（无序），不能出现谁先进入谁后进入的局面，也就是说这两个班要同时进入（无序）到这个工厂才可以. 因此应该先分组后到班.

解：由题意，先将5个班分为四组（2～1～1～1）有

2111

5321

3

3

10

C C C C

A

=种分法；再将这四

组依次分配到4个工厂有4

424

A=种分配方法. 根据分步计数原理，共有10×24＝240种不同的进行社会实践分配方案. 故填240.

一般地，对于分组（堆）的问题模型，其解题思路及步骤为：①明确每个人的分配数量时，依次选取即可；没有明确安排位置的分配数量时，要先分堆（组）再将各堆依次安排到对应位置，简称为“先分组，后到位”；②非均匀的分堆（组），依次选取出来即可；③均匀的分堆（组），先依次选取出来再去掉选出的顺序，即除以堆（组）数的全排列；④局部均匀的分堆（组），先依次选取出来再去掉均匀堆（组）选出的顺序，即除以均匀堆（组）数的全排列.