导数及其应用复习课

函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
数的平方.即:
f
(x)
g(x)
f
(
x)
g
(x) f (
g ( x)2
x)
g
(
x)
(
g
(
x)
0)
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返回
当点Q沿着曲线无限接近点
P即Δx→0时,割线PQ如果有一
个极限位置PT.则我们把直线
PT称为曲线在点P处的切线.
Q
设切线的倾斜角为α,那
函数的最大（小）值与导数
2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 线,则它必有最大值和最小值.
f(x1)
y f(x3)
f(b)
a
x2
x1
0
x3
x4 bx
f(a)
f(x2)
函数导数方程不等式中等问题复习选讲
例 5(05 山东 19)已知 x 1 是函数 f (x) mx3 3(m 1)x2 nx 1的一个极值点，其中
函数的极值
1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0， 在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值
2)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近 f’(x)<0，在a 右侧附近f’(x)>0，那么是f(a)函数 f(x)的一个极小值.
注：导数等于零的点不一定是极值点．
一 个极值 点 ,所以 f (1) 0 ,即 3m 6(m 1) n 0 ， 所以 n 3m 6 .
函数导数方程不等式中等问题复习选讲
（II）由（I）知，
f
(
x)
3mx2
6(m
1) x
3m
6
=
3m(
x
1)
x
1
2 m
当 m 0 时,有1 1 2 ,当 x 变化时, f (x) 与 f (x) 的变化如下表： m
m, n R, m 0 ， （I）求 m 与 n 的关系表达式； （II）求 f (x) 的单调区间；
（III）当 x 1,1 时,函数 y f (x) 的图象上任意一
点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围.
函数导数方程不等式中等问题复习选讲
解:(I) f (x) 3mx2 6(m 1)x n 因为 x 1 是函数 f (x) 的
yy0=f ’(x0)·(x－x0)．
4．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t 的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间t的导数， 即v(t)=s’(t).
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
本章知识结构
导数概念 导数 导数运算
导数应用
函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度 曲线的切线斜率
基本初等函数求导 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数
函数单调性研究 函数的极值、最值
曲线的切线 变速运动的速度
最优化问题
一．知识串讲
曲线的切线
以曲线的切线为例，在一条曲线C：y=f(x) 上取一点P(x0，y0)，点Q(x0+△x，y0+△y) 是曲线C上与点P临近的一点，做割线PQ， 当点Q沿曲线C无限地趋近点P时，割线PQ 便无限地趋近于某一极限位置PT，我们就 把直线PT叫做曲线C的在点P处的切线。
以 x2 2 (m 1)x 2 0 ,即 x2 2 (m 1)x 2 0, x 1,1 ①
导函数．简称导数．记作f ’(x)或y’.
即f ’(x)=y’= lim f (x x) f (x)
x0
x
3．导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意 义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线 y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为k＝f ’(x0)．所以曲线 y＝ f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个
x
,1
2 m
1 2 m
1
2 m
,1
1
1,
f (x)
0
0
f (x)
]
极小值
Z
极大值 ]
故由上表知,当
m
0 时,
f
(x)
在
,1
2 m
单调递减,在
1
2 m
,1
单调递增,
在 (1, ) 上单调递减.
（III）由已知得 f (x) 3m ，即 mx2 2(m 1)x 2 0 .又 m 0 所
么当Δx→0时,割线PQ的
P
斜率,称为曲线在点P处的
切线的斜率.
即:
k切线
f
'(x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
定理 一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内
1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增；
2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x） 在这个区间(a,b)内单调递减。
此时割线PT斜率的极限就是曲线C在点P处的切线的斜率， 用极限运算的表达式来写出，即
k=tanα= lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
（一）导数的概念：
1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量
x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)－f(x0)，
若极限 lim y lim f (x0 x) f (x0 ) 存在，则此极限称为
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
4.若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx
5.若f(x)=ax，则f'(x)=ax ln a
6.若f(x)=ex，则f'(x)=ex
7.若f(x)=logax，则f'(x)=
1 xlna
8.若f(x)=lnx，则f'(x)=
1 x
返回
导数的运算法则:
x x0
x0
x
f(x)在点x=x0处的导数，记为f ’(x0)，或y|xx0 ；
2．导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，
就说y=f(x)在区间(a，b)内可导．即对于开区间(a，b)内每一个
确定的x0值，都相对应着一个确定的导数f ’(x0)，这样在开区间 (a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内的