线性系统解耦控制问题讲解

•
N w (s) Dw (s)
yw (t) 0,t
w(t) 0时
R(s)
Yr (s)
Dc (s)D(s)Nr (s)
Dc (s)D(s) (s) N c (s)N (s)
•
(s)
Dr (s)
e(t) 0,t
以上补偿器由两部分构成:
1
参考信号和扰动信号的模型 (s)
使闭环系统稳定的部分 N c (s) Dc (s)
可通过状态反馈 u(t) Kx Lv 解耦的充
分必要条件是E非奇异.
F
c1 Ad11
E
E1
E p
如取
cp Ad p 1 K E 1F , L E 1
1
GKL
(s)
s d1 1
0
0
1
s d p 1
二.静态解耦
{A, B,C} {K,L}{A BK , BL,C}
系统结构
R(s) + e Nc(s)
-
Dc (s)
W(s)
1 (s)
+
N(s)
Y(s)
D1(s)
G(s)
N c (s)N(s)
Dc (s)D(s)(s) N c (s)N(s)
渐近稳定 Dc (s)D(s)(s) N c (s)N (s) 0 的根均具负实部
r(t) 0时
Yw (s)
Dc (s) (s) Dc (s)D(s) (s) N c (s)N (s)
(3)确定稳态增益
D~ diag(d~11,
~ , d pp )
(4) L [C( A BK )1 B]1 D~,则GKL (0) D~
5.6 跟踪问题:无静差性和鲁棒控制
一.问题的提出 SISO系统:对象 G(s) N(s)
D(s)
设计补偿器
Nc (s) Dc (s)
,使输入y(t)跟踪参考输入r(t).
如果闭环系统
(1)渐近稳定
(2)
G KL (s)
虽为非对角矩阵,但
lim
s0
G
KL
(
s)
为非奇异对角常阵
则称{A,B,C}是静态解耦的.
注:静态解耦只适于参考输入的各个分量是 阶跃信号的情况.
y()
lim
s
sGKL
(s)v(s)
lim
s
sGKL
(s)
1 p
1 s
1
{lim s
GKL
(
s)}
p
可静态解耦的条件: 存在{K,L},使{A,B,C}可静态解耦的充分必要条件是
(1){A,B,C}是用状态反馈能镇定的;
(2)
A rank C
B
0
n
p,且L非奇异.
综合步骤:
(1)首先判断是否满足可静态解耦的条件;
(2)按极点配置算法,设计状态反馈增益矩阵K,使(A-BK)特
征值均具有负实部;
W(s)
R(s) + e Nc(s)
-
Dc (s)
+
N(s)
D 1 ( s)
Y(s)
渐近跟踪: 扰动抑制: 无静差跟踪:
w(t) 0, lim e(t) 0 t
r(t) 0, w(t) 0, y() 0 r(t) 0 & w(t) 0
lim e(t) 0
t
二.频域中SISO系统的无静差跟踪
显然，耦合，即每个控制量控制多个输出量 每个输出量受多个输入量控制
如果引入一适当的补偿器，使每个输入仅控制一个输出 每个输出仅由一个输入控制
则称此系统解耦了。
定义： 如果多变量系统的传递函数矩阵是非奇异对角矩 阵，则称其为解耦的。
采用状态反馈 u(t) Kx Lv
K p*n 实值常值矩阵 Lp*p 非奇异常值矩阵
•
xw Aw xw , xw (0)未知 w(t) cw xw
只研究 Dr (s) 0, Dw (s) 0 的根含有零点或正实部
的情况. 设ø(s)是给定信号和扰动信号不稳定极点的最小公倍式
则ø(s)的所有根具有０或正实部
可以证明，若ø(s)的根都不是G(s)的零点,则必存在具有真 传递函数的补偿器,使单位反馈系统渐近稳定,并实现渐 近跟踪和扰动抑制.
• ø(s)的摄动不允许,否则不能实现精确的零极对消.
三.时域中的MIMO系统
频域中SISO系统的无静差控制为在时域中研究
MIMO系统提供思路.
只研究 t 时, r(t) 0 & w(t) 0的情况.
必须对信号(给定和扰动)的性质有一定的了解.
设
R(s) L[r(t)] Nr (s)
Dr (s)
W (s) L[w(t)] Nw (s) Dw(s)
分母已知,分子未知,只保证主严格真.
以上假设等价于
•
xr Ar xr , xr (0)未知 r(t) cr xr
21 2, 22 2, d2 min(2,2) 1 1
E1
lim
s
s d1 1 g1 ( s)
lim
sΒιβλιοθήκη Baidu
s
s2 s2 s 1
s2
1 s
2
[1
0]
E2
lim
s
sd2 1g2 (s)
lim
s
s2
s2
1 2s
1
s2
3 s
4
[1
3]
以上定义各个量可从传递函数直接计算出 它们和状态空间描述{A，B，C}的关系？
结论: di是使ci Ak B 0的正整数k的最小值 当ci Ak B 0,k n时,定义di n 1 Ei lim sdi 1gi (s) ci Adi B 0 当系统采用状态反馈后
A A BK B BL
di di
Ei Ei L
定理:具有传递函数G(s)的线性定常系统{A,B,C}
在回路中引入(复制)参考信号和扰动信号的模型
1
(s)
这种方法常称为内模原理.
1
(s)
称为内模.
对象 G(s) N (s)
D(s)
的参数变化称为参数摄动.
• 在以上方法中,对象和补偿器的参数变化即使很大,但只
要 Dc (s)D(s)(s) N c (s)N (s) 0
的根保持有负实部,就可实现无静差跟踪.系统对参数 摄动具有鲁棒性.
则系统结构如下：
v
L +u B
-
x
A
K
C
y
闭环系统为
•
x (A BK)x BLu
y Cx
G (s) C(sI A BK)1 BL KL
研究G(s)什么条件下可解耦
g1(s)
G(s)
g2 (s)
,
其中gi
(s)
[gi1(s), gi2 (s),
,
gip
(s)]
g
p
(
s)
定义：
ij gij (s)分母多项式的次数 分子多项式的次数
di min{ i1, i2 , , ip} 1
Ei
lim
s
s
di
1
g
i
(
s
)
i 1,2, , p
例：
s2
G(s)
s2
s 1
1
s2 2s 1
则
1
s2
s 3
2
s2 s 4
11 1,12 2, d1 min(1,2) 1 0