微分几何(第一课)剖析

后期应用
由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的 建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中 得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特 色、应用广泛的独立学科。 微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广 泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机 械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微 分几何学的理论。


近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲 面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、 拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系， 这些数学分支和微分几何互相渗透，已成为现 代数学的中心问题之一。
微分几何与分析学新的结合
微分方程：达布的《曲面论》一书就包含了丰 富的古典微分方程的内容。é .嘉当和凯勒所发 展的外微分方程理论，对于解析函数领域的一 大类局部微分几何问题，给出了一般的有效的 方法。 整体微分几何的发展，需要运用更深入的，现 代化的分析工具，特别是偏微分方程理论以及 与之有关的非线性分析。

F.Frenet(1816~1868)与J.Serret(1819~1885) 分别于1847年和1851年独立地得出现在通称 的Frenet-Serret方程（或Frenet方程）后，空 间曲线论才最后统一起来。

高斯（德国，1777-1855，）：1827年，发表了 《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何 的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形 式曲面论的基础。 微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微 分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立 了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面 上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面 上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区 域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。 他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。

R.Riemann（1826~1866）才进一步发展了Gauss的内在几何 学，1854年他在哥丁根大学就职演讲中深刻地揭示了空间与 几何两者之间的差别。Riemann将曲面本身看成一个独立的 几何实体，而不是仅仅把它看作欧氏空间中的一个几何实体 ，从而他认识到二次微分形式（现称为黎曼测度）是加到流 形上去的一个结构，因此在同一流形上可以有众多的黎曼测 度。Riemann意识到这件事是非凡的重要，把诱导测度与外 加的黎曼测度两者区分开来，从而开创了黎曼几何，作出了 杰出的贡献。其后，Levi-Civita等人进一步丰富了经典的黎曼
几何。

克莱因（德国）：1872年在德国埃尔朗根大 学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》， 用变换群对已有的几何学进行了分类。 在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它 成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展， 导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微 分几何的建立。



射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906 年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起 又经以富比尼为首的意大利学派所发展。 二十世纪二、三十年代E.Cartan开创并发展了外微分形式与 活动标架法，建立起李群与微分几何之间的联系，从而为微 分几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园地，影响极 为深远。陈省身将Cartan的方法发扬光大，他关于纤维丛和 示性类的理论，建立了微分几何与拓扑的联系，是一个光辉 的里程碑。 20世纪30年代起中国苏步青及其学生们以及苏联С.∏.菲尼 科夫等进一步发展了射影微分几何。
在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域 的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意 曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换 把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。 在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可 以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂 的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可 以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方 法。

微分几何的历史

Euler（瑞士,1707-1783）：1736年首先引进 了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧 长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始 了曲线的内在几何的研究。将曲率描述为某一 特殊角的变化率也是Euler的工作。他在曲面 论方面也有重要贡献，特别值得一提的是他在 测地线方面的一些工作，最早把测地线描述为 某些微分方程组的解。

G. Monge（法国,1746-1818）：在筑城垒这个 实际问题的推动下，他1771年开始写了关于 空间曲线论的论文，发表于1785年，他用的 是几何方法，并反映了他对偏微分方程的兴 趣。Monge写了第一本微分几何课本《分析 在 几何学上的应用》 ，这是微分几何最早的 一 本著作。1807年出版，这课本共印了五 版，一直发行到Monge逝世后三十年，足见该 书在当时的重要作用。
微分几何
刘晓春 武汉大学数学与统计学院
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杨振宁
天衣岂无缝，匠心剪接成。 浑然归一体，广邃妙绝伦。 造化爱几何，四力纤维能。 千古寸心事，欧高黎嘉陈。

微分几何学是什么？
微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或 曲面在它一点邻域的性质，换句话说，微分几 何是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的 性质的数学分支学科。 。


从局部微分几何到黎曼几何、微分流形与纤维 从理论的发展过程可以看到，除了微分几何本 身研究中所产生的研究问题外，其他数学学科 及物理学、力学等也推动了微分几何的发展。
微分几何学的基本内容


微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分 几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开 的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质， 则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等， 就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上 每一点的曲率就要用到微分的方法。 在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如， 在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最 短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微 分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的 一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面 在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。