类比联想去分析

类比联想去分析，构造数列解考题

河南上蔡第一高级中学 程国柱

2010年高考已经过去，普遍认为今年全国数学河南卷试题的难度高于去年，其主要原因是今年高考第22题比去年难度明显增大，笔者提通过比较，确实如此；但就今年的22题目，也是前几年高考试题的变形，第一小题是构造一个变形的等比数列问题，若第一题解决的好，用类比联想的方法，依据第一题的思路，不难求出数列{}n a 的通项，进而可求出C 的范围。现把此题解答附后，供同学们借鉴：

【题目】：已知数列{}n a 中，1111,n n

a a c a +==- . （Ⅰ）设51,22

n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .

1111111122511422,2;2222222242,4(),43332112()4,4;3333

n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b ++++--++--=

--=∴==+---⎧⎫∴=+∴+=+∴+⎨⎬⎩

⎭∴+=-⋅∴=-⋅-解：(1)由已知有1是首项1-公比为的等比数列；3

11211212(||)33113,24,

11,1111111(),1111,10,22

1n n n n n n n

n n n n n n n a a a a c c a a c a a a a a c c a a c c c a a c c c c c c a ααααααα

αααααααααα++++<<∴<<∴<-<∴<<-=-∴-+--∴==⋅=+--------+=-+===-对任意自然数n 都成立，，(c-)-=,-(c-)令即解得取()()22221112221n-122222222221122

1122221111111111,,,;n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a ααααααααααααααααααααααααααααα

αααααααα

++++--++++--=+⋅+=+⎧⎫∴+⎨⎬⎩⎭

∴+=⋅∴=⋅-=+∴=∴=+++，即（），----1--1

是首项为公比为的等比数列，--11---11--1--11-1-1--

{

}212

12n-224,1,10,10,3N 103,2

n n n n n n c a a a a a a c αααααα

α++<<∴=>∴-<∴<-<<<<++≤≤≤⎛⎤ ⎥⎝⎦

数列是递增数列，由此知成立，

由知要使对任意自然数都成立，只须3即可，解得10所求c 的范围是2，；3 【评注】：从上述解法可以看出，次种方法自然流畅，显示设问和谐统一，若与标准答案对比，更显简洁合理。对于数列不等式的综合性题目，仍将是以后高考的重点和难点，希望未来的高三学子要引起高度重视，认真学习，加强训练，切实掌握变形的等差数列及等比数列的应用。相信同学们一定会攻克难点，突破重点，笑傲高考，走向胜利的彼岸！ 河南上蔡第一高级中学 程国柱

邮编463800 2010-6-15