代数系统

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代数系统
1. 定义
定义1.1 设A 是集合， 12,,
,n f f f 是A 上的运算，则称12(,,,,)n A f f f 是集
合A 上的代数系统（algebra system ），简称代数（algebra ）。

根据其中的运算定律可将代数系统划分为若干不同的类型。

由某一类代数的基本运算定律可以推出一些隐患的普遍定律，即任何满足基本定律的代数系统一定满足这些推出的定律。

2. 半群
半群是最简单的代数系统，其定义如下。

定义 2.1 在一个非空集合上定义一个满足结合律的二元运算，则二者构成半群（semi-group ）。

带单位元的半群称为幺半群（monoid ）或者独异点。

例2.2字符串集合与字符串的连接运算构成半群，并且是幺半群，其中空串是连接运算的单位元。

3. 群
定义3.1 若幺半群中的每个元素都有逆元，则称该幺半群为群（group ）。

例3.2 整数集合与加法构成一个群，称为整数加法群。

4. 置换群
定义4.1 集合{1,2,…,n}上的双射称为n-元置换（permutation ，也译为“排列”），记为二行矩阵。

12343241⎛⎫ ⎪⎝⎭
定义4.2 n-阶轮换：简记为行向量( )。

2-阶轮换称为对换。

定理4.3（置换的分解）置换可唯一地分解为若干次不相交的轮换的复合。

此外， 置换可以分解为若干次对换的复合。

置换的奇偶性：若置换可分解为奇数次对换，则称之为奇置换，否则称为偶置换。

定理4.4集合{1,2,…,n}上的所有双射与复合运算构成一个群，称为置换群。

证明：请读者尝试完成该证明。

证毕
5.环和域
略。

6.格
定义6.1（格的第二种定义）设L是非空集合，∨和∧是L上的二元运算。

若下列四条定律成立，则称代数系统(,,)
L∨∧为格：交换律、结合律、幂等律、吸收律。

注：格的第一种定义和第二种定义是等价的，即可相互构造。

定义6.2设(,,)
L∨∧是格。

（1）有界格：若L有最大上界和最小下界，则称为有界格（bounded lattice），记为(,,,0,1)
L∨∧，其中0，1分别表示最大上界和最小下界。

（2）有补格：每个元素都有补元的有界格。

（3）分配格。

定律6.3有界分配格中任何元素的补元是唯一的。

证明：请读者尝试给出该证明。

证毕
7.布尔代数
布尔代数是数理逻辑和计算机科学中常用的一种代数系统。

例如，我们用布尔代数实现命题的真值演算；用布尔代数设计和分析数字电路，等等。

定义6.1布尔代数是一个满足如下4条定律的代数系统
A +
(,,,',0,1)
其中A是集合，+和所是A上的二元运算，’是A上的一元运算，0和1是A 中两个元素：
（1）交换律：x+y=y+x，xy=yx
（2）分配律：x(y+z)=(xy)+(xz), x+(yz)=(x+y)(x+z)
（3）同一律：0+x=x, 1x=x
（4）补元律：'1,'0
+==
x x xx
2
3
注：3种布尔运算可分别称为“加”、“乘”、“补”。

定理6.2 对于任何集合E ，(2
,,,,,)E
E ∅是布尔代数。

证明：根据前面第11讲证明的集合运算定律，可知在E 的幂集上，并、交和补等3个运算满足布尔代数的4条定律，所以该定理成立。

证毕
由布尔代数设定的4条定律可以推出更多的运算定律。

定义 6.3（对偶公式）设φ是一个布尔代数公式。

将该公式中的加号换成乘号，乘号换成加号，0换成1，1换成0，所得的等式称为φ的对偶公式，记为'φ。

定理6.4（对偶定理）若某布尔代数公式成立，则其对偶公式也成立。

证明：设φ是一个布尔代数等式，12,,
,n P φφφ=是φ的证明，其中n φφ=。

我们
注意到，在布尔代数的4条定律中，每个条定律中有两个相互对偶的等式。

因此，φ的证明中，
每个替换规则所应用的等式都有对偶等式。

于是，可用归纳法推出，'''12',,,n P φφφ=也是一个证明，其中''n φφ=。

因此，P ’是'φ的证明。

证毕
定理6.5 在布尔代数中，当x+y =1且xy =0时，y=x ’。

证明： 参考：Johnsonbaugh 著石纯一等翻译《离散数学》第417页。

证毕
定理6.6 布尔代数满足如下定律。

（5） 零一律：0'=1, 1'=0 （6） 双重否定律：(')'x x = （7） 幂等律：xx=x ，x+x=x ， （8） 零律：x+1=1，0 x=0 （9） 吸收律：x +xy=x ，x (x+y )=x
（10） 结合律：(x+y )+z =x+(y+z )， (xy )z=x (yz ) （11）德摩根律：()''', ()'''x y x y xy x y +==+ 证明：（5）请读者证明。

(6) 令(')'y x =。

我们有
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（7）幂等律
' 1 (') 1 '=1 '= 0 x x x x x x xx xx x xx xx x xx x xx x +=+=+++==（补元律）
（默认的等式替换规则）（分配律和交换律）（同一律）（补元律）（补元律）
根据对偶定理，可得x+x=x
（8）零律
(1) (1)(1')1'1(2) 1(1)(1)(1)1(1)(1)()(1)()(1)(3) (1)(1')((1))(1') (1)(1)(1')(1')11
(4) 1 1 x x xx x
x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=+=+=++=+++=+++=+++=++++=++++=++++=+=++=（根据(2)，对进行等值替换）
（根据(1)和(3)进行等值替换）
对(4)两边同“乘”以0，可得0x =0 （9）吸收律：请读者证明。

(10) 结合律：令a =(x+y )+z ，b=x+(y+z ). 我们有
(1) ' 1 (2) (') 1 (3) '1 (4) 0+1 (5) (6) '0 (7) '+0 (8) ' (9) (') (10) 1 (11) x y x x y x xx xy x xy x xy x x y xy x y x yx yx x y x x x y x y x +=+=+====+=+=+===（补元律）（等值替换）（分配律和交换律）（补元律）（同一律）（补元律）
（等值替换）（交换律和同一律）（分配律）（补元律）（交换律和同一律）
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(())()()()(1)(1)ax x y z x x x y xz xx xy xz x xy xz x y xz x xz x z x
=++=++=++=++=++=+=+=
同理可得bx=x 。

因此，ax=bx 。

另一方面我们有
'(())''()'('')''''()''()'(())''
ax x y z x x x y x z x x x y x z x y x z x y z x x x y z x x y z x b bx =++=++=++=+=+=++=++==
于是，我们证明了ax=bx 和 ax ’=bx ’ 将这两个等式两边相加，得
''(')(')ax ax bx bx a x x b x x a b
+=++=+= 根据对偶定理，乘法结合律成立。

（11）德摩根律：应用定理6.6不难证明。

请读者完成。

证毕
推论6.7布尔代数是有补分配格。