第十章 时间序列模型 《计量经济学》PPT课件

Variable Coefficient Std. Error t Statistic
C
-13.2556
0.6203
-21.3856
X
0.3376
0.0443
7.61223
R2=0.1044 d=0.0121
X系数是高度统计显著的，虽然R2值较低， 但它在统计上显著不等于0。基于此，得出 Y与X之间存在显著统计关系的结论。这就 是尤尔（Yule）首次发现的谬误或无谓或虚 假回归现象（phenomenon of spurious or nonsense regression）的简单概括。尤尔指
博克斯-皮尔斯Q统计量的变形就是龙格-博克斯统 计量（Ljung-Box Statistic，LB），其定义为：
QLB
n(n
m
2)
k 1
ˆk2
nk
（10.3.6）
若实际计算出的Q值大于给定显著性水平下的卡 方分布的临界值，则拒绝原假设，从而时间序列 是非稳定的。
2．单位根检验（unit root test）
式子（10.3.7）可以进行差分变换：
X t X t1 X t1 ut
( 1) X t1 ut
X t1 ut
（10.3.8）
因此，γ=1等价于δ=0，是等同检验。
• 迪基-福勒（Dickey-Fuller）于1976年提出 了t统计量（或统计量）的检验，即DF检验。
常数。
3．若Xt～I(d1)，Yt～I(d2)，则Zt=aXt+bYt～I(d2)，其 中d1<d2。
4．若Xt～I(d)，Yt～I(d)，则Zt=aXt+bYt～I(d*)， 通常情况下d*=d ，但在某些情况下d*<d 。
二、谬误回归
考虑如下两个随机游走模型：
Xt Xt1 ut
（10.3.1）
随机游走模型 Xt Xt1 ut
（10.1.5）
是非平稳的，其中，ut白噪音。可看成是随机模型
Xt Xt1 ut （10.3.7）
中γ=1时的情形。则随机变量Xt存在一个单位根。
因此，要判断时间序列是否平稳，可以通过式子 （10.3.7）来判断它是否存在单位根。这就是所 谓的时间序列平稳性的单位根检验 。
同上。 • 随机过程或时间序列一般分为两类。一类是离
散型的，一类是连续型的。
• 3. 白噪音（声）（white noise） • 若 方一差个，随而机且时 不间 存序 在列 序列Xt是相一关个，具即有零均值同
E( Xt ) 0, Var( Xt ) 2, Cov( Xt , Xtk ) 0, k 0
X 2 X1 u2 X 0 u1 u2
t
Xt X 0 uk k 1
（10.1.6）
从而
E(Xt ) X0
Var(Xt ) t 2
(10.1.7) （10.1.8）
这说明时间序列Xt的方差与时间t有关，并随 时间无限增大。因此，随机游走模型是一
个非平稳的随机过程。
二、自协方差与自相关函数的定义 1．自协方差
对于一个平稳过程，有
（10.1.11）
Var
(
X
t
)
Var
(
X
t
k
)
2 X
式子（10.1.11）变为
k
Cov( X t , X tk ) Var( X t ) Var( X tk )
k 2 X
k 0
（10.1.12） （10.1.13）
• 当时k = 0，ρ0 =1，即自相关系数为1。 ρk也称为 自相关函数（autocorrelation function，ACF）。
ˆk N(0, 1/ n)
（10.3.3）
本因相此关，系在数原的假值设来H0检：验k统计0 显的著条性件，下如，果可拒以绝用原样
假设，则说明时间序列是非平稳的；否则，则时
间序列是平稳的。
博克斯和皮尔斯提出Q统计量的定义：
m
Q n ˆk2 k 1
（10.3.4）
其中n为样本容量，m为滞后长度。在大样本条件 下，它近似地服从自由地为m的卡方分布。
• 如果一个时间序列按上述定义不是平稳的，则称 之为非平稳（non-stationary）时间序列。
2. 白噪音是一个平稳时间序列
• 白噪音是一个平稳时间序列，是最简单的 时间序列，是一个纯随机过程。白噪音序 列在时间序列分析中具有非常重要的意义。
3. 随机游走模型（random walk model, RWM）
Yt Yt1 vt
（10.3.2）
它们都是I（1），其中ut～N（0，1）并从中生成 500次观测，vt～N（0，1）并从中生成500次观测。 假定X和Y的初始值为零，ut 和vt都不存在序列相关 性，而且彼此之间也不存在相关关系。
将Yt对Xt进行OLS回归。由 于Yt对Xt是不相关的I（1） 过程，所以Y对X的回归中 所得到的R2应该趋于0；即 随机时间序列之间没有任 何关系。然而回归结果却 显示为 ：
（10.1.2）
• （2） Var( Xt ) 2
（10.1.3）
•
（3） Cov( Xt , Xtk ) k
（10.1.4）
• 则称该时间序列是弱平稳的（weakly
stationary），该随机过程称为弱平稳或协方
差平稳（covariance stationary）随机过程。
• 文字描述：若一个随机过程的均值或方差在时间 上保持不变，并且任何两个时期之间的协方差仅 依赖于该两个时期间的距离或滞后期长度，而不 依赖于计算这个协方差的实际时间，则称之为平 稳随机过程。我们通常所讲的时间序列的平稳性 就是泛指这种弱平稳过程。
(10.2.7)
•或
|1 / 1 | 1
•
| 1 | 1
（10.2.8）
• 利用泰勒级数展开有
Xt (1 1L)1ut
[1 1L (1L)2 ]ut
•
（10.2.9）
( 1i Li )ut
i0
• 显然，若 | 1 | 1 ，则 (1 1L)1 发散，从而Xt为非 平稳随机过程。
• 因此， Xt是平稳过程，必须满足 |1 |1 。
•
（10.2.12）
• 其中 (L) 1 1L 2L2 q Lq 称为移动平均算子或移动平均特征多项式。
• 与移动平均过程相关的一个重要概念是可 逆性，移动平均过程具有可逆性的条件是 特征方程
• (L) 1 1L 2L2 q Lq 0
•
（10.2.13）
• 的所有根的绝对值必须都大于1。
• 另外，AR(1)过程也可以表示为
X t ut 1ut1 12 X t2
ut 1ut1 12ut2 13ut3
•
1iuti i0
（10.2.10）
• 因为ut为白噪音，有
E(Xt ) 0
Var(Xt )
12iVar(ut )
i0
2 u
12i
i0
2 u
1 12
• 所以，当 |1 |1 时，Xt 是平稳的；当 |1 |1 时，
第十章 时间序列模型
§10.1 时间序列的一些基本概念 一、随机过程的定义 • 1．随机过程（stochastic process） • 随机时间由随机变量组成的一个有序序列，或
一个随机变量按照时间编排的集合，称为随机
过2，程…。）记。作Xt、Yt；或｛Xt｝、｛Yt｝（t=1，
• 2. 时间序列 • 随机过程的一次观测结果称为时间序列。记法
correlogram）。
§10.2 时间序列模型的分类 一、自回归模型
如果一个线性随机过程表示为
Xt 1Xt1 ut
（10.2.1）
其中为ut白噪音，则称之为1阶自回归过程（模型）， 记作AR(1)。
X t 1 X t1 2 X t2 p X t p ut
（10.2.2）
其中ut为白噪音，则称之为p阶自回归过程（模型）， 记作AR(p)。
•
（10.2.5）
(L) 1 1L 2L2 p Lp
• 称为自回归算子或自回归特征多项式。
• 如果特征Байду номын сангаас程
•
(L) 0 (10.2.6)
• 的所有根的绝对值都大于1，则该过程是一个平稳 过程（证明省略）。
• 对一阶自回归过程（10.2.1）的特征方程
(L) 11L 0
•
• 的根的绝对值大于1，则
出，即便在样本很大时，谬误相关在非平
稳时间序列中也可能持续存在。极低的德 宾-沃森d值表明存在很强的一阶自相关，从 而暗示着上述回归有问题。
三、平稳性检验
1．自相关系数的统计显著性检验
巴特利（Bartlett）已经证明，若一个时间序列是 纯随机的，即表现为白噪音过程，则其样本自相 关系数近似地服从下列正态分布：
相隔k期的两个随机时间序列变量Xt与Xt-k的协方差， 即滞后k期的自协方差，定义为
k Cov( Xt , Xtk ) E[( Xt )( Xtk )]
（10.1.9）
当k=0时，即为时间序列的方差
0
Var( Xt
)
2 X
（10.1.10）
2. 自相关函数
由自相关系数定义
k
Cov( X t , X tk ) Var( X t ) Var( X tk )
• 可以证明，有限阶移动平均过程都是平 稳的。
三、自回归移动平均模型
自回归移动平均过程（模型），记ARMA(p，q)，
X t 1 X t1 2 X t2
p X t p ut 1ut1 2ut2 qutq
（10.2.14）
或
(1 1L 2L2 p Lp ) X t 1 1L 2L2 q Lq
Xt 是非平稳的。当 1 1时，即为随机游走。
二、移动平均模型
如果一个线性随机过程表示为
X t ut 1ut1 2ut2 qutq
•
（10.2.11）
• 其中ut为白噪音，则称之为q阶移动平均 （Moving average）过程（模型），记作MA(q)。 用滞后算子表示为：
X t (1 1L 2L2 q Lq )ut (L)ut
•由 •
Xt Xt1 ut
（10.1.5）
• 可以得到 X t Xt Xt1 ut
• 而ut为白噪音，这就把随机游走模型变成平 稳的。因此，一个随机游走模型就是一个 一阶差分平稳过程（difference stationary process，DSP）。
单整时间序列具有如下性质：
1．若Xt～I(1)，Yt～I(1)，则Zt=Xt+Yt～I(1)。 2．若Xt ～ I(d) ，则Zt=a+ b Xt～ I(d) ，其中a和b为
另一个简单的随机时间序列为
•
Xt Xt1 ut （10.1.5）
• 其中ut为白噪音，称为随机游走模型。
• 根据第六章，一阶自回归模型AR(1)：
ut ut1 vt
当ρ=1的时候，即为完全一阶正自相关情况。 这正是随机游走的情况。
假设初始值为 X0，E(Xt)=E(Xt-1)，
X1 X 0 u1,
•
（10.1.1）
• 则 纯称随序机列过X程t是（一pu个re白ly 噪ran音do或m白pr噪oc声ess过）程。，即
• 如 白果噪序音列（Xsttr是ict独ly立wh同it分e n布ois的e），。则称之为严格
二、平稳性的定义
• 1. 平稳随机过程
• 若一个随机时间序列Xt满足下列条件：
• （1） E(Xt )
• 如果定义L表示一阶滞后算子，有
•
LXt Xt1
（10.2.3）
• 同理，如果定义Lk为k阶滞后算子，有
•
Lk X t X tk
（10.2.4）
• 式子（10.2.1）用滞后算子表示为
•
(1 1L) Xt ut
（10.2.5）
• 式子（10.2.2）用滞后算子表示为
(1 1L 2L2 p Lp ) X t (L) X t ut
• 实际上，我们只能计算出样本自相关函数 （sample autocorrelation function，SACF）
•
ˆk
ˆk ˆ0
(10.1.14)
ˆk
(Xt X )(Xtk X) n
（10.1.15）
ˆ0
(Xt X )2 n
（10.1.16）
• ˆk 对k的描点图称为样本相关图（sample
（10.2.15）
简化为
(L) Xt (L)ut
（10.2.16）
可以证明，ARMA(p，q)的平稳性只依赖于其自回
归部分，其可逆性则只依赖于移动平均部分。
§10.3 时间序列的非平稳性及其检验
一、单整
若一个非平稳时间序列Xt必须经过d次差分之后才 能变换成一个平稳的、可逆的时间序列，则称Xt 具有d阶单整（积）（integrated of order d）性。 记作Xt～I(d) 对于平稳时间序列，应该表示为I(0) ; • 随机游走模型就是一个一阶单整过程（integrated process）