正态分布(第一课时)

= 0.8185.
新课教学 2 在任一区间取值概率。 六、正态总体 N µ,σ ，在任一区间取值概率。 N µ , σ 2 ，在任一区间 (a, b ) 对于一般的正态总体 内的取值概率如何进行计算呢？ 内的取值概率如何进行计算呢？可否通过查正态分布 表来求出它呢？ 表来求出它呢？ 2 一般的正态总体 N µ , σ ，均可以化为标准正态总 来研究。事实上， 体 N (0 ,1) 来研究。事实上，
新课教学 观察下面三条正态曲线： 观察下面三条正态曲线：
(1) µ = −1, σ = 0.5; (2) µ = 0,σ = 1;
(3) µ = 1, σ = 2;
正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。 正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。 正态总体称为标准正态总体 标准正态总体， 当 µ = 0, σ = 1时，正态总体称为标准正态总体， x2 1 −2 e , x∈R 相应的函数表达式是： 相应的函数表达式是：f ( x) = 2π 相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态曲线。 相应的曲线称为标准正态曲线。
新课教学 五、标准正态分布表 表中， 表中，相应于 x0 的值 Φ ( x 0 ) 是指总体取值小于 x0 的概率， 的概率，即：
Φ( x0 ) = P( x < x0 ),
如图中，左边阴影部分： 如图中，左边阴影部分： 轴对称， 由于标准正态曲线关于 y 轴对称，表中仅给出了对 应与非负值 x0 的值 Φ ( x0 )。 如果 x0
新课教学 三、正态曲线的性质
性质： 性质：
① 曲线在 x 轴的上方，与 x 轴不相交；
②曲线关于直线x = µ对称，且在x = µ时位于最高点；
③当x < µ时，曲线上升；当x > µ时，曲线下降。并
且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐进线， 向它无限靠近。
新课教学 三、正态曲线的性质
④当µ一定时，曲线的形状由 σ确定。
两者是不同的概念； 两者是不同的概念； 横轴：两者表示内容相同 横轴：两者表示内容相同 纵轴：两者表示的内容不相同 纵轴：两者表示的内容不相同 频率分布条形图的纵轴（长方形的高） 频率分布条形图的纵轴（长方形的高）表示频率 的纵轴 频率分布直方图的纵轴 长方形的高）表示频率与组距的比值， 的纵轴（ 频率分布直方图的纵轴（长方形的高）表示频率与组距的比值， 其相应组距上的频率等于该组据上长方形的面积。 其相应组距上的频率等于该组据上长方形的面积。
(
)
(µ − 3σ , µ + 3σ )、内取值的
F (µ + 3σ ) − F (µ − 3σ ) = Φ(3) − Φ(− 3) ≈ 0.997.
即，可用如图的蓝色阴影部分表示。 可用如图的蓝色阴影部分表示。 蓝色阴影部分表示 解： p = Φ (2 ) − Φ (− 1) = Φ (2 ) − { − Φ − (− 1) } 1 内取值的概率。 例：求标准正态总体在 (− 1, 2 )内取值的概率。
[
]
= Φ (2 ) + Φ (1) − 1 = 0.9772 + 0.8413 − 1
1 2σ 2 f ( x) = e , x ∈(− ∞,+∞) ① 2πσ 是参数， 式中的实数 µ 、 σ (σ > 0 ) 是参数，分别表示总体的 2 平均数与标准差。 平均数与标准差。 E ξ = µ , D ξ = σ ;
总体标准差是衡量总体波动大小的特征数， 总体标准差是衡量总体波动大小的特征数，常用样本标准 差去估计. 差去估计 1)正态分布由参数 正态分布由参数μ 唯一确定. 注：1)正态分布由参数μ,σ唯一确定.μ,σ分别表示总体的 平均数和标准差. 平均数和标准差. 2)其函数图象称为正态曲线 其函数图象称为正态曲线. 2)其函数图象称为正态曲线. 3)这个总体是有无限容量的抽象总体 这个总体是有无限容量的抽象总体. 3)这个总体是有无限容量的抽象总体.
(
)
内取值的概率. 内取值的概率.
同理， 在区间: 同理，正态总体 N (µ , σ )在区间: (µ − 2σ , µ + 2σ )、 内取值的概率是： 内取值的概率是： F (µ + 2σ ) − F (µ − 2σ ) = Φ (2 ) − Φ(− 2) ≈ 0.954
2
解：
正态总体 N µ , σ 2 在区间: 在区间: 概率是： 概率是：
频 率 ×组 ＝ 率 距 频 长方形的面积＝ 长方形的面积＝ 组 距
前课复习 回顾样本的频率分布与总体分布的关系： 1、回顾样本的频率分布与总体分布的关系： 由于总体分布通常不易知道， 由于总体分布通常不易知道，我们往往是用样本的 频率分布（即频率分布直方图）去估计总体分布。 频率分布（即频率分布直方图）去估计总体分布。 一般样本容量越大,这种估计就越精确。 一般样本容量越大,这种估计就越精确。 从上一节得出的100 100个产品尺寸的频率分布直 2、从上一节得出的100个产品尺寸的频率分布直 方图可以看出，当样本容量无限大， 方图可以看出，当样本容量无限大，分组的组距 无限缩小时， 无限缩小时，这个频率分布直方图就会无限接近 于一条光滑曲线----总体密度曲线。 ----总体密度曲线 于一条光滑曲线----总体密度曲线。
(µ,σ )。
2
新课教学
给出下列两个正态总体的函数表达式， 例:给出下列两个正态总体的函数表达式，请找出其均值µ 给出下列两个正态总体的函数表达式 请找出其均值µ 和标准差σ。 和标准差 。
1 e , x ∈ (−∞,+∞) (1) f ( x) = 2π ( x −1 ) 2 − 1 f ( x) = e 8 , x ∈ ( −∞ ,+∞ ) (2) 2 2π
− x2 2
µ=0，σ=1 ， µ=1，σ=2 ， µ=-1，σ=0.5 - ，
(3) f ( x ) = π e
2
− 2( x +1)2
, x ∈ ( −∞ ,+∞ )
在实际中遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分 布．例如：生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标 例如：生产中， （如电子管的使用寿命、电容器的电容量、零件的尺寸、铁 如电子管的使用寿命、电容器的电容量、零件的尺寸、 水的含碳量、纤维的纤度、 一般都服从正态分布． 水的含碳量、纤维的纤度、……）一般都服从正态分布．
σ越大，曲线越“矮胖” ，表示总体的分布越分 散；
σ越小,曲线越“瘦高”，表示 总体的分布越集中；
新课教学 四、标准正态曲线 正态总体称为标准正态总体， 当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其 相应的函数表达式是
f ( x) =
1 e 2π
x2 − 2
, x ∈ ( −∞ , +∞ )
其相应的曲线称为标准正态曲线。标准正态总体N（0， 其相应的曲线称为标准正态曲线。标准正态总体N 标准正态曲线 在正态总体的研究中占有重要地位。任何正态分布 1）在正态总体的研究中占有重要地位。任何正态分布 的问题均可转化成标准总体分布的概率问题。 的问题均可转化成标准总体分布的概率问题。 均可转化成标准总体分布的概率问题 五、标准正态分布表 由于标准正态总体N(0,1) 在正态总体的研究中有非常重 要的地位，已专门制作了“标准正态分布表” p65。 要的地位，已专门制作了“标准正态分布表”见p65。
说明:(1)确定分点时,使分点比数据多一位小数, 说明:(1)确定分点时,使分点比数据多一位小数,并且把第 确定分点时 1小组的起点稍微再小一点. 小组的起点稍微再小一点. (2)直方图中, (2)直方图中,用图形面积的大小来表示在各个区间内取值 直方图中 的频率. 的频率.
前课复习 频率分布的条形图和频率分布直方图的区别
频率 组距 而这种总体密度曲线， 而这种总体密度曲线，一般可用一个 我们不很熟悉的函数 函数来表示或近似表 我们不很熟悉的函数来表示或近似表 示其解析式。 示其解析式。 产品尺寸
a
b
新课教学 一、正态函数的定义
前课中产品尺寸的总体密度曲线具有“中间高，两头低” 前课中产品尺寸的总体密度曲线具有“中间高，两头低”的 特征，像这种类型的总体密度曲线， 特征，像这种类型的总体密度曲线，一般就是或近似地是以 下一个特殊函数的图象： 下一个特殊函数的图象：
( x−µ )2 −
新课教学 二、正态分布与正态曲线 若总体密度曲线就是或近似地是函数： 若总体密度曲线就是或近似地是函数：
( x − µ )2 −
2σ 2
f (x ) =
1 e 2π σ
, x ∈ (− ∞ , +∞ ) 的图象
则其分布叫正态分布，常记作： N 则其分布叫正态分布，常记作： 正态分布 的图象称为正态曲线 正态曲线。 f ( x ) 的图象称为正态曲线。
(ຫໍສະໝຸດ Baidu
)
(
)
(
)
来说， 对任一正态总体 N (µ , σ 2 ) 来说， 取值小于
x−µ F ( x ) = Φ . σ
的概率： x 的概率：
例1已知正态总体 N (1,4) 求取值小于3的概率. , 求取值小于3的概率.
3 −1 解: F (3) = Φ = Φ (1) = 0.8413. 2
前课复习 总体分布的估计的解题步题: 总体分布的估计的解题步题:
①找最大值与最小值。 找最大值与最小值。 ②决定组距与组数 ③决定分点 ④列表 ⑤作频率分布直方图 当总体中个体 取不同数值很少时， 取不同数值很少时， 我们常用样本的频 率分布表及频率分 布条形图去估计总 体分布， 体分布，总体分布 排除了抽样造成的 误差， 误差，精确反映了 总体取值的概率分 布规律． 布规律．
新课教学
在测量中， 在测量中，测量结果一般可以表示为ξ=a+η. 其中a表示 被测量的量的真值（未知常数）， 表示测量的随机误差， 被测量的量的真值（未知常数），η表示测量的随机误差， ξ和η一般都服从正态分布． 一般都服从正态分布． 在生物学中，同一群体的某种特征（ 在生物学中，同一群体的某种特征（如某一地区同年龄组 儿童的发育特征，如身高、体重、肺活量）， ），在一定条件 儿童的发育特征，如身高、体重、肺活量），在一定条件 下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等，一般也服 下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等， 从正态分布． 从正态分布． 在气象中，某地每年七月份的平均气温、 在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降 雨量等，水文中的水位，也都服从或近似服从正态分布． 雨量等，水文中的水位，也都服从或近似服从正态分布． 总之，正态分布广泛存在于自然现象、 总之，正态分布广泛存在于自然现象、生产及科学技术的 许多领域之中．正态分布在概率和统计中占有重要地位 重要地位． 许多领域之中．正态分布在概率和统计中占有重要地位．
例题讲解 在区间: 例2:分别求正态总体N µ , σ 2 在区间: (µ − σ , µ + σ )、µ − 2 σ , µ + 2 σ )、(µ − 3σ , µ + 3σ )、 (
(
)
内取值的概率. 内取值的概率. (µ + σ ) − µ 解： F (µ + σ ) = Φ = Φ(1) σ (µ − σ ) − µ F (µ − σ ) = Φ = Φ (− 1) σ 所以， 所以，正态总体 N µ , σ 内取值的概率是： 内取值的概率是：
那么由下图中两个阴影部分面积相等知： < 0那么由下图中两个阴影部分面积相等知：
Φ ( x0 ) = 1 − Φ (− x0 ).
新课教学 利用标准正态分布表， 利用标准正态分布表，可求出标准正态总体在任一 内取值的概率。 区间 x1, x2 内取值的概率。
(
)
公式： 公式：
p = Φ ( x2 ) − Φ ( x1 )
(
2
在区间: ) 在区间: (µ − σ , µ + σ )、
F (µ + σ ) − F (µ − σ ) = Φ (1) − Φ (− 1) = 2Φ (1) − 1
≈ 2 × 0.8413 − 1 = 0.683;
例题讲解 在区间: 例3:分别求正态总体 N µ , σ 2 在区间: (µ − σ , µ + σ )、µ − 2σ , µ + 2σ )、(µ − 3σ , µ + 3σ )、 (