第4章统计物理学基础
统计物理的基本概念
二、热力学概率
在确定N、E、V的宏观状态下，系统可能的 微观状态是大量的。
根据等概率原理，一种宏观状态对应的微观 状态越多，则这种宏观状态出现的概率就越大。
热力学概率是指一种宏观态对应的微观状态数。
三、分布{Ni}
对于确定的宏观状态下，粒子数按能级的排列方式 能级： 1 , 2 ,, i , 简并度： g1 , g 2 ,, gi , 粒子数： 1 , N 2 ,, Ni , N
A B
对于玻色系统可以有6种不同的微观状态 1 2 3 4 5 6 量子态1 AA 量子态2 AA 量子态3
AA
A A A A A
A
对于费米系统可以有3个不同的微观状态 量子态1 1 2 3 A 量子态2 A A 量子态3 A A
A
在确定N、E、V的宏观状态下，系统可能的微 观状态是大量的。为了研究系统的宏观性质，没必 要也不可能追究微观状态的复杂变化，只要知道一 个宏观状态对应的微观状态数以及各个微观状态出 现的概率，就可以用统计方法求微观量的统计平均 值获得相应的宏观性质。 因此，确定一个宏观状态对应的微观状态数以 及各微观状态出现的概率是统计物理的根本问题。
四玻耳兹曼系统的微观状态数四玻耳兹曼系统的微观状态数个编了号的粒子分别占据能级上的量子态共有种方式玻耳兹曼系统的粒子可以分辨交换粒子将给出系统不同的状态将n个粒子交换交换数是因为前面已考虑了同一能级上个粒子的交换所以交换数应除以所以对于玻尔兹曼系统玻尔兹曼系统分布相应的微观状态数为
第十三章
统计物理的基本概念 §13-1 引言
一、粒子运动状态的经典描述
自由度为r 的一个微观粒子的微观运动状态由 2r 个广义坐标和广义动量确定。 广义坐标:
热力学与统计物理第四章
(4.9)
式(4.9)表明，整个系统达到平衡时，两相的温度、压力和化学势 必须相等, 这就是复相系统的平衡条件。 如果平衡条件未被满足，复相系统将发生变化。变化朝着熵增加 的方向进行。如果热平衡条件未能满足，变化将朝着
的方向进行。
1 1 U 0 T T
例如，当T T 时，变化朝着U 0 的方向进行。 即能量将从高温的相传递到低温的相去。
1 p p 1 U V n T T T T T T
当整个系统达到平衡时，总熵有极大值
(4.7)
S 0
考虑到式（4.7）中的 U 要求
设T，p和T dT, p dp 是两相平衡曲线上邻近两点， 在这两点
上两相的化学势相等：
T , p T , p
T dT, p dp T dT, p dp
两式相减得
d d
（4.11）
式（4.11）表示，当沿着平衡曲线由（T，P）变到（T+dT,p+dp） 时，两相化学势的变化相等。
第四章 相平衡
第四章
相平衡
本章将讨论多组元复相系统
相的定义：系统中物理性质相同的部分，称为一个相。 如果系统是由多相组成的，则该系统称为复相系。在复相 系中可能发生相转变过程。这个过程简称为相变。 当系统参量在某个值附近作微变动时，系统的某些物理性 质发生显著的跃变的现象，称该系统经历了相变。 在相变过程中，物质可以由一相变到另一相，因此一个相 的质量或摩尔数是可变的，这时系统为开系。
两相边界线为相平衡曲线。 如图中1和2两相的平衡曲线称为 气化曲线AC。在气化线上气液两 相可以共存。
热力学统计物理总复习知识点
概 念 部 分 汇 总 复 习热力学部分第一章 热力学的基本规律1、热力学与统计物理学所研究的对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统其中所要研究的系统可分为三类孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统；闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统；开系：与外界既有能量交换又有物质交换的系统。
2、热力学系统平衡状态的四种参量：几何参量、力学参量、化学参量和电磁参量。
3、一个物理性质均匀的热力学系统称为一个相；根据相的数量，可以分为单相系和复相系。
4、热平衡定律(热力学第零定律）：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此也处在热平衡.5、符合玻意耳定律、阿氏定律和理想气体温标的气体称为理想气体。
6、范德瓦尔斯方程是考虑了气体分子之间的相互作用力（排斥力和吸引力）,对理想气体状态方程作了修正之后的实际气体的物态方程。
7、准静态过程：过程由无限靠近的平衡态组成，过程进行的每一步，系统都处于平衡态。
8、准静态过程外界对气体所作的功：，外界对气体所作的功是个过程量。
9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作用或电磁作用的结果而没有受到其他影响。
绝热过程中内能U 是一个态函数：A B U U W -=10、热力学第一定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭也不能创造，只能从一种形式转换成另一种形式，在转换过程中能量的总量保持恒定；热力学表达式：Q W U U A B +=-；微分形式：W Q U d d d +=11、态函数焓H ：pV U H +=，等压过程：V p U H ∆+∆=∆，与热力学第一定律的公式一比较即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加量。
12、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即)(T U U =。
13．定压热容比：pp T H C ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=；定容热容比：V V T U C ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 迈耶公式：nR C C V p =- 14、绝热过程的状态方程：const =γpV ；const =γTV ；const 1=-γγT p 。
统计物理简介热力学
2m
3
对于给定能量的状态，在相空间为5维“曲面”
（二）线性谐振子
线性谐振子：经典力学中，质量为m 的粒子在弹性 力F = -kx 作用下，将在原点附近作简谐振动，称为 线性谐振子． 振动的圆频率
dx2 A x0 2 dt m A 2 m
Am
dx2 2 x dt 2
1907年P.Weiss发展了铁磁－顺磁相变的分 子场理论; L. Landau提出了第二类相变的平均场理论; 1944，Onsager才给出了二维Ising模型的 严格解; 1966年，L. Kadanoff 提出标度理论; 70年代初，K. Wilson 将量子场论中重整化 群方法与标度变换相结合，开创了一条研究相 变和临界现象的新途径(19h Clausius (1822-1888) 在“论热运动形式”(1857)一 文中指出，气体的平移运动同 器壁的碰撞产生了气体的压 力．第一次明确地运用了统计 概念，从大量分子的碰撞的平 均，推出了气体的压强公式．
德国物理学家,热力学奠基人之一. 1840年入柏林大学;1847 年获哈雷大学哲学博士学位;1850年因发表论文《论热的动力以 及由此导出的关于热本身的诸定律》而闻名;1855年任苏黎世工 业大学教授;1867年任德意志帝国维尔茨堡大学教授;1869年起 任波恩大学教授。
q1 , q2 ,qr；p1 , p2 , pr
共2r 个变量为直角坐标，构成 一个2r 维空间，称为μ空间．
粒子运动状态
q, p
代表点
相轨迹：代表点在µ 空间随时间移动，描
绘出的曲线（注意不是粒子运动轨迹）
相体积（粒子在µ 空间占的体积），数值上等于坐 标空间体积乘以动量空间体积
热力学与统计物理学1.1-1.9
热· 统
热力学
热运动的宏观理论。 基础是热力学三个定律。
研究的对象 与任务相同
统计物理
热运动的微观理论。 认为宏观系统由大量的微观粒 子所组成，宏观物理量就是相 应微观量的统计平均值。 能把热力学的基本规律归结于 一个本的统计原理；可以解 释涨落现象；可以求得物质的 具体特性。
统计物理学所得到的理论结论 往往只是近似的结果。
导
言
一.热力学与统计物理学的研究对象和任务是什么? 热力学与统计物理学所研究的对象与任务相同 对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统。 任务：研究热运动规律及热运动对物质宏观性质的影响。 二.热力学与统计物理学的研究方法有什么特点？ 1. 热力学方法—热运动的宏观理论 热力学方法是从热力学三个定律出发，通过数学演 绎，得到物质的各宏观性质之间的关系、宏观物理过程 进行的方向和限度等一系列理论结论。 特点:具有普遍性、可靠性。
三、热力学平衡态的描述
1.状态参量——几何参量、力学参量、
电磁参量、化学参量
2.状态函数
3.简单系统
四、相 一个物理性质均匀的系统称为一个相。根据相的数量，可以 分为单相系和复相系。 五、热力学量的单位
牛(N) =kg · m· s-2 压强：帕斯卡Pa (N · m-2) 1大气压强 (pn)= 101325 Pa 能量： 焦耳(J) 1J = 1N · m
1811年，阿氏定律： PV nRT
b.理想气体物态方程: c.实际气体的状态方程:
PV C T
an2 范德瓦耳斯方程： ( p 2 )(V nb) nRT V
pV A Bp Cp 2 Dp 3 昂尼斯方程： 位力系数 B C D 或： pV A 2 3 V V V
《统计基础》教案 第4章 总量指标和相对指标
第4章总量指标和相对指标1.1 总量指标【学习目标】本章主要介绍了有关总量指标和想对指标是统计分析的基本指标，包括总量指标和星对指标的意义、作用，种类，以及它们的计算方法和运用是应注意的问题。
【基本要求】通过本章的学习，要求学习者明确总量指标和相对指标的意义、作用、种类，掌握这两大指标的计算方法和运用时应注意的问题。
【学习内容】4.1.1 总量指标的概念总量指标是用来反映社会经济现象在一定条件下的总规模、总水平或工作总量的统计指标。
总量指标用绝对数表示，也就是用一个绝对数来反映特定现象在一定时间上的总量状况，它是一种最基本的统计指标。
例如，2001年3月5日朱镕基同志在九届全国人大四次会议上所作《政府工作报告》中指出：2000年我国国内生产总值达到89404亿元；粮食产量达到9850亿斤；农村居民人均纯收入和城镇居民人均可支配收入分别达到2253元和6280元；进出口总额达4743亿美元；外汇储备达1656亿美元。
这些都是总量指标，都是利用绝对数说明我国2000年国民经济发展的总体规模、总体水平和全国人民的生活水平。
4.1.2. 总量指标的种类1. 按其说明总体的内容不同分为总体单位总量——是用来反映统计总体内包含总体单位个数多少的总量指标。
它用来表明统计总体的容量大小。
例如，研究我国的人口状况时，统计总体是全国所有公民，总体单位是每一位公民，那么我国的人口数表明总体单位的个数，是总体单位总量。
再如，研究某市的工业发展状况，统计总体是全市的所有工业企业，若该市现有工业企业2350家，则2350家即为总体单位总量。
总体标志总量——是统计总体各单位某—方面数量标志值的总和。
仍举上例，该市的每个工业企业是总体单位，每一工业企业的工业职工人数是该工业企业的—个数量标志，则该市全部工业职工人数就是总体标志总量。
另外该市的年工业增加值、工业总产值、工业利税总额等指标也都是总体标志总量。
—个已经确定的统计总体，其总体单位总量是唯一确定的，而总体标志总量却不止一个。
统 计 物 理
μ 空间
粒子的自由度数r 能够完全确定质点空间位置的独立坐标数目.
自由度为r的一个微观粒子的微观运动状态由2r个广 义坐标和广义动量确定。
广义坐标： q1 , q2 , q3 ,qr 广义动量： p1 , p2 , p3 , pr
μ空间 — 由2r个相互垂直的轴张成的2r维的空间，
其中r个轴代表广义坐标，另外r个轴代表广义动量。
qi1 , qi 2 ,, qir , pi1 , pi 2 ,, pir
这 2rN 个变量来确定。
用 μ 空间中N个点描述
一个粒子在某时刻的力学运动状态可以在 μ空间中用一个点表示，由N个全同粒子组成的 系统在某时刻的微观运动状态可以在μ空间中用 N个点表示，那么如果交换两个代表点在μ空间 的位置，相应的系统的微观状态是不同的。
全同粒子是可以分辨的（因为经典粒子的运动是轨道运动， 原则上是可以被跟踪的）。
如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒子的运动状态 加以交换，交换前后，系统的微观状态是不同的。
, pi1, pi2 ,, pir ) j(q i(qi1, qi2 ,, qir j1 , q j 2 ,, q jr , p j1 , p j 2 ,, p jr )
一维自由粒子 考虑处于长度为 L 的一维容器中自由粒子的运 动状态。周期性边界条件要求对粒子可能的运动状 态，其德布罗意波长 满足 L nx , nx 0,1,2,
又：k x 2
2 kx nx , nx 0, 1, 2, L
代入德布罗意关系式：px k x 2 px nx L
i
j j
i
交换前
交换后
, pi1, pi2 ,, pir ) i(q j(qi1 , qi2 ,, qir j1 , q j 2 ,, q jr , p j1 , p j 2 ,, p jr )
《大学物理》学习指南
《大学物理》学习指南《大学物理》是理工科及医学类学生的一门公共基础课，该课程内容多，课时少，建议学生课前预习，上课认真听讲，理解物理概念、掌握物理定理和定律，学会分析物理过程，课后适当做些习题，以巩固物理知识。
为了学生更好学好《大学物理》，给出了每章的基本要求及学习指导。
第一章 质点力学一、基本要求1．掌握描述质点运动状态的方法，掌握参照系、位移、速度、加速度、角速度和角加速度的概念。
2．掌握牛顿运动定律。
理解惯性系和非惯性系、保守力和非保守力的概念。
3．掌握动量守恒定律、动能定理、角动量守恒定律。
4．理解力、力矩、动量、动能、功、角动量的概念。
二、学习指导1．运动方程： r = r (t )=x (t )i +y (t )j +z (t )k 2．速度：平均速度 v =t ∆∆r 速度 v =t d d r平均速率 v =t ∆∆s 速率 dtdsv =3．加速度：平均加速度 a =t ∆∆v 加速度 a =t d d v =22d d tr4．圆周运动角速度t d d θω==Rv角加速度 t t d d d d 2θωβ== 切向加速度 βτR tva ==d d 法向加速度 a n =22ωR R v = 5．牛顿运动定律 牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直至其他物体所施的力迫使它改变这种运动状态为止.牛顿第二定律：物体受到作用力时所获加速度的大小与物体所受合外力的大小成正比，与物体质量成反比，加速度a 的方向与合外力F 的方向相同。
即dtPd a m F ρρρ==牛顿第三定律：力总是成对出现的。
当物体A 以力F 1作用于物体B 时，物体B 也必定以力F 2作用于物体A ，F 1和F 2总是大小相等，方向相反，作用在一条直线上。
6．惯性系和非惯性系：牛顿运动定律成立的参考系称为惯性系。
牛顿运动定律不成立参考系称为非惯性系。
7．变力的功 )(dz F dy F dx F r d F W z y x ++=⋅=⎰⎰ρρ 保守力的功 pb pa p ab E E E W -=∆-= 8．动能定理 k k k E E E W ∆=-=129．功能原理 W 外+W 非保守内力=E -E 010．机械能守恒定律 ∆E k =-∆E p (条件W 外+W 非保守内力=0)11．冲量 ⎰=21t t dt F I ρρ12．动量定理 p v m v m I ρρρρ∆=-=12质点系的动量定理 p 系统末态-p 系统初态=∆p13．动量守恒定律 p =∑=n i 1p i =恒矢量 (条件 0=∑ii F ρ)14．力矩、角动量 F r M ρρρ⨯= P r L ρρρ⨯=15．角动量定理 1221L L dt M t t ρρρ-=⎰16．角动量守恒 恒矢量=∑i L ρ （条件0=∑ii M ρ第二章 刚体力学一、基本要求1．掌握描述刚体定轴转动运动状态的方法，掌握角速度和角加速度的概念。
热力学统计物理总复习第四章_多元系的复相平衡
=热统1>热统2>=在多元系中既可以发生相变，也可以发生化学变化。
多元系：含有两种或两种以上化学组分的系统。
氧气一氧化碳二氧化碳混合气体三元（单相）均匀系盐的水溶液和水蒸气二元二相系复相系均匀系热统3>=选T, P, n 1, n 2, …n k (n i 为i 组元的摩尔数）为状态参量，系统的三个基本热力学函数体积、内能和熵为),...,,,(1k n n P T V V =1(,,,...,)k U U T P n n =1(,,,...,)k S S T P n n =一、多元均匀系的热力学函数广延量的性质§4. 1 多元系的热力学函数和热力学方程对于K 个组元的多元均匀系（这指单相系或者是复相系中的一个相）,因有可能发生化学变化,所以,需引进描述物质量的状态参量.热统4>=体积、内能和熵都是广延量。
如果保持系统的温度和压强(与物质量无关的强度量)不变而令系统中各组元的摩尔数都增为λ倍，系统的体积、内能和熵也增为λ倍11(,,,...,)(,,,...,)k k V T P n n V T P n n λλλ=11(,,,...,)(,,,...,)k k U T P n n U T P n n λλλ=11(,,,...,)(,,,...,)k k S T P n n S T P n n λλλ=热统5>=11(,...,)(,...,)m k k f x x f x x λλλ=如果函数满足以下关系式：1(,...,)k f x x 这个函数称为的m次齐函数.1,...,k x x 补充数学知识:(1)齐次函数定义：当m=1时，对应的就是一次齐次函数。
热统6>=欧勒定理11(,...,)(,...,)mk k f x x f x x λλλ=i i ifx mf x ∂=∂∑(2)齐次函数的一个定理——欧勒(Euler)定理(将上式两边对λ求导数后，再令λ＝1，即可得到)补充数学知识：多元函数f(x 1, x 2, …, x n )是x 1, x 2, …,x n 的m 次齐次函数的充要条件为下述恒等式成立热统7>=ii ifx fx ∂=∂∑,,()j i T P n i i V V n n ∂=∂∑,,()j i T P ni i U U n n ∂=∂∑,,()ji T P n i iSS n n ∂=∂∑式中偏导数的下标n j 指除i 组元外的其它全部组元11(,,,...,)(,,,...,)k k V T P n n V T P n n λλλ=11(,,,...,)(,,,...,)k k U T P n n U T P n n λλλ=11(,,,...,)(,,,...,)k k S T P n n S T P n n λλλ=由欧勒定理如前所述因此,体积、内能和熵都是各组元摩尔数的一次齐函数热统8>=定义：,,()j i T P n i Vv n ∂=∂,,()j i T P n i U u n ∂=∂,,()j i T P n iS s n ∂=∂物理意义为：在保持温度、压强及其它组元摩尔数不变的条件下，增加1摩尔的i 组元物质时，系统体积(内能、熵)的增量。
统计物理必备公式总结归纳
统计物理必备公式总结归纳统计物理是研究宏观系统的统计规律的分支科学，它与微观粒子的运动无关，而是通过统计方法来研究大量粒子的集体行为。
在统计物理学中，公式是理解和描述系统行为的关键工具。
本文将对统计物理中一些必备公式进行总结归纳，以帮助读者更好地理解和应用统计物理。
一、热力学量公式1. 内能U的计算公式：U = 3/2kT其中，U为内能，k为玻尔兹曼常数，T为系统温度。
2. 熵S的计算公式：S = k lnΩ其中，S为熵，k为玻尔兹曼常数，Ω为系统的微观状态数。
3. 自由能F的计算公式：F = U - TS其中，F为自由能，U为内能，T为系统温度，S为熵。
二、热力学过程公式1. 等温过程的工作公式：W = -nRT ln(V2/V1)其中，W为系统所做的功，n为物质的摩尔数，R为气体常数，T 为系统温度，V2和V1为过程中体积的变化。
2. 绝热过程的压强体积关系：P1V1^γ = P2V2^γ其中，P1和P2为过程中的初始和末态的压强，V1和V2为初始和末态的体积，γ为绝热指数。
三、碳氢化合物平均动能公式1. 一维单原子分子平均动能公式：〈E〉 = (1/2)kT其中，〈E〉为平均动能，k为玻尔兹曼常数，T为系统温度。
2. 一维双原子分子平均动能公式：〈E〉 = (1/2)kT + (1/2)kT(1 + 2/3exp(-θ/T))其中，〈E〉为平均动能，k为玻尔兹曼常数，T为系统温度，θ为势能常数。
四、费米-狄拉克分布和玻尔兹曼分布公式1. 费米-狄拉克分布公式：f(E) = 1 / (exp((E-μ)/(kT)) + 1)其中，f(E)为能级E上的费米分布函数，μ为系统的化学势，k为玻尔兹曼常数，T为系统温度。
2. 玻尔兹曼分布公式：f(E) = exp((μ-E)/(kT))其中，f(E)为能级E上的玻尔兹曼分布函数，μ为系统的化学势，k为玻尔兹曼常数，T为系统温度。
五、统计物理中的重要关系公式1. 统计物理中的状态方程：PV = NkT其中，P为系统的压强，V为系统的体积，N为系统中的粒子数，k为玻尔兹曼常数，T为系统温度。
第四章统计物理学基础
测定分子速率分布的实验装置
真空室
B
S P
G P
G 弯曲玻璃板, 可沉积 射到上面的各种速率分 子
圆筒不转，分子束的 分子都射在P处
A
分子源
狭缝
圆筒
圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置
可忽略不计。 除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。 分子间的碰撞是完全弹性的。
分子所受重力忽略不计
理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点。
2 . 对大量气体分子的统计假设
① 分子处于空间各处的概率相同，即分子数密 度 处处相等；
a
b
c
dN n na nb nc dV
3
3
i3 i1 i2 E n1 RT n2 RT n3 RT 2 2 2 1 ( i1 n1 i2 n2 i3 n3 )RT 2
1 (5 0.789 5 0.208 3 0.007) 8.31 273 2 3 5.68 10 J
4-3 麦克斯韦分子速率分布率
p
I ( p1 ,V1 , T1 )
o
II ( p2 ,V2 , T2 )
V
状态方程
当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的 函数关系： f ( p,V , T ) 0
物态方程 (状态方程)
M RT 理想气体 pV M mol
M 气体质量 M mol 气体的摩尔质量
p
I ( p1 ,V1 , T1 )
m N 2 Fx Fix v ix l1 i 1 i 1
N
N
压强
热力学统计物理知识总结
热力学讲稿（云南师范大学物理与电子信息学院）伍林李明导言1、热运动：人们把组成宏观物质的大量微观粒子的无规则运动称为热运动。
热力学和统计物理的任务：研究热运动的规律、与热运动有关的物性及宏观物质系统的演化。
热力学方法的特点：热力学是热运动的宏观理论。
通过对热现象的观测、实验和分析，总结出热现象的基本规律。
这些实验规律是无数经验的总结，适用于一切宏观系统。
热力学的结论和所依据的定律一样，具有普遍性和可靠性。
然而热力学也有明确的局限性，主要表现在，它不能揭示热力学基本规律及其结论的微观本质和不能解释涨落现象。
统计物理方法的特点：统计物理学是热运动的微观理论。
统计物理从物质的微观结构和粒子所遵从的力学规律出发，运用概率统计的方法来研究宏观系统的性质和规律，包括涨落现象。
统计物理的优点是它可以深入问题的本质，使我们对于热力学定律及其结论获得更深刻的认识。
但统计物理中对物质微观结构所提出的模型只是实际情况的近似，因而理论预言和试验观测不可能完全一致，必须不断修正。
热力学统计物理的应用温度在宇宙演化中的作用：简介大爆炸宇宙模型；3k宇宙微波背景辐射。
温度在生物演化中的作用：恐龙灭绝新说2、参考书（1）汪志诚，《热力学·统计物理》（第三版），高等教育出版社，2003（2）龚昌德，《热力学与统计物理学》，高等教育出版社，1982（3）朗道，栗弗席兹，《统计物理学》，人民教育出版社1979（4）王竹溪，《热力学教程》，《统计物理学导论》，人民教育出版社，1979（5）熊吟涛，《热力学》，《统计物理学》，人民教育出版社，1979（6）马本昆，《热力学与统计物理学》，高等教育出版社，1995（7）自编讲义作者介绍：汪志诚、钱伯初、郭敦仁为王竹溪的研究生（1956）；西南联大才子：杨振宁、李政道、邓稼先、黄昆、朱光亚；中国近代物理奠基人：饶毓泰、叶企孙、周培源、王竹溪、吴大猷：中国物理学会五项物理奖：胡刚复、饶毓泰、叶企孙、吴有训、王淦昌。
大学物理统计物理学基础
麦克斯韦—玻耳兹曼分布
经典分布
24
平衡状态下，多粒子体系的分布规律。粒子如何按能级分 布的。 1 经典的眼光看粒子； 1）粒子可以分辨的（可以跟踪，可以编号）。 2）一个能级可以容纳多个粒子， 每一个状态 可以容纳多个粒子。 2 理论依据； 1）等概率假设 2）平衡态是几率最大的状态 （最概然分布）
--- 大量偶然事件整体所遵从的规律. 伽尔顿板实验:
单个粒子运动----偶然事件 (落入哪个槽) 大量粒子运动-----统计规律(粒子在槽中的分布)
单个粒子遵循牛顿定律;
6
大量粒子遵从统计规律 -- 牛顿运动定律无法说明 统计规律特点: (1) 对大量偶然事件有效,对少量事件不适用。 (2) 是与单个粒子遵循的动力学规律有本质区别的新规律. (3) 与系统所处宏观条件有关. (4) 存在起伏(涨落)
这些分子作用于 ds 冲量为 2mvix ni dsvix dt , dt内各种速度分子对ds 的总冲量为:
17
1 2 2 dI 2mvix ni ds vix dt 2mvix n i dsdt mni vix dsdt 2 i vix 0 i
dI 2 mni vix 因而 压强 p dtds i
经典粒子 微观粒子（与经典粒子的区别） 费密子 玻色子 寻找并掌握平衡状态（概率最大的状态）下粒子的分布规律 麦克斯韦-玻尔兹曼统计（M-B 分布）经典粒子按能量的分布。
费米-狄拉克统计（F-D 分布） 费密子（电子）按能级的分布。
玻色-爱因斯坦（B-E 分布）玻色子（光子）按能量 hν的分布。
（热辐射规律）
dw 1
(4) J,K为相容事件(可同时出现），则同时发生J和K的概率.
统计物理复习
≈
ΩM .B. N!
（经典统计观点）：μ 空间中取足够小的相格，体积为 δ q1...δ qrδ p1..δ pr = h0r ，一个相格代
表一个点，即代表一个粒子确定的运动状态。将 μ 空间划分为许多体积元 Δωl ，则一个体
积元内具有的相格数目为 Δωl h0r
，即
Δωl
内粒子的运动状态数为
Δωl h0r
+
dp 范围内，量子态数 dnxdnydnz
=
(L 2π
)3 dpxdpydpz
=
V
3
dpx dp y dpz
dpxdpydpz 为动量空间的体积元，若采用球坐标，则体积元可以为 p2 sinθ dpdθ dϕ
所以
p
→
p + dp 内可能的状态数位 dnxdnydnz
=
V
3
p2 sinθ dpdθ dϕ
第六章
统计物理复习
（热力学﹒统计物理 汪志诚编著 高等教育出版社 配套）
一、粒子运动状态 的描述 经典描述
量子描述 （一）经典描述：用坐标与动量描述
μ 空间； ε ( p, q) ； μ 空间中一点代表粒子在某时刻的运动状态。
（1）自由粒子：无外场时，理想气体分子或金属的自由电子等
ε
=
1 2m
(
px2
(
px2
+
py2
+
pz2 )
∫ ∫ 求单粒子配分函数
Z1
=
1 h3
...
e
−
β 2m
(
px2
+
p
2 y
+
pz2
)
热力学统计物理各章总结
第一章1、与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系；2、与外界没有物质交换，但有能量交换的系统称为闭系；3、与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系；4、平衡态的特点：1.系统的各种宏观性质都不随时间变化；2.热力学的平衡状态是一种动的平衡，常称为热动平衡；3.在平衡状态下，系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落；4.对于非孤立系，可以把系统与外界合起来看做一个复合的孤立系统，根据孤立系统平衡状态的概念推断系统是否处在平衡状态。
5、参量分类：几何参量、力学参量、化学参量、电磁参量6、温度：宏观上表征物体的冷热程度；微观上表示分子热运动的剧烈程度7、第零定律：如果物体A和物体B各自与处在同一状态的物体C达到热平衡，若令A与B进行热接触，它们也将处在热平衡，这个经验事实称为热平衡定律8、t=T-273.59、体胀系数、压强系数、等温压缩系数、三者关系10、理想气体满足：玻意耳定律、焦耳定律、阿氏定律、道尔11、顿分压12、准静态过程：进行得非常缓慢的过程，系统在过程汇总经历的每一个状态都可以看做平衡态。
13、广义功14、热力学第一定律：系统在终态B和初态A的内能之差UB-UA 等于在过程中外界对系统所做的功与系统从外界吸收的热量之和，热力学第一定律就是能量守恒定律.UB-UA=W+Q.能量守恒定律的表述：自然界一切物质都具有能量，能量有各种不同的形式，可以从一种形式转化为另一种形式，从一个物体传递到另一个物体，在传递与转化中能量的数量保持不变。
15、等容过程的热容量；等压过程的热容量；状态函数H；P2116、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关。
P2317、理想气体准静态绝热过程的微分方程P2418、卡诺循环过程由两个等温过程和两个绝热过程：等温膨胀过程、绝热膨胀过程、等温压缩过程、绝热压缩过程19、热功转化效率20、热力学第二定律：1、克氏表述-不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化；2、开氏表述-不可能从单一热源吸热使之完全变成有用的功而不引起其它变化,第二类永动机不可能造成21、如果一个过程发生后，不论用任何曲折复杂的方法都不可能把它留下的后果完全消除而使一切恢复原状，这过程称为不可逆过程22、如果一个过程发生后，它所产生的影响可以完全消除而令一切恢复原状，则为可逆过程23、卡诺定理：所有工作于两个一定温度之间的热机，以可逆机的效率为最高24、卡诺定理推论：所有工作于两个一定温度之间的可逆热机，其效率相等25、克劳修斯等式和不等式26、热力学基本微分方程：27、理想气体的熵P4028、自由能：F=U-FS29、吉布斯函数：G=F+pV=U-TS+pV30、熵增加原理：经绝热过程后，系统的熵永不减少；孤立系的熵永不减少31、等温等容条件下系统的自由能永不增加；等温等压条件下，系统的吉布斯函数永不增加。
热力学统计物理复习资料
热力学统计物理第一章：热力学的基本规律 1.焦耳实验：（1）实验结果：水温发生变化（2）结果分析：①气体向真空自由膨胀，气体对外界不作功，即W=0； ②水温没有发生变化，说明气体与水没有交换热量，即Q=0。
∴0=+=∆W Q U 说明气体的内能在过程前后不变。
（3）焦耳定律：理想气体的内能只是温度的函数，与体积无关。
即)(T U U =（4）适用范围：理想气体（5）推论：nRT U pV U H +=+=，故理想气体的焓也是温度的单值函数。
2. 熵增加原理：系统经可逆绝热过程后熵不变，经不可逆绝热过程后熵增加，在绝热条件下熵减少的过程是不可能实现的。
即 0≥-A B S S3. 最大功原理：系统在等温过程中对外界所作的功不大于其自由能的减少量。
即B A F F W -≤-4. 两个例题：1）一理想气体，经准静态等温过程，体积有A V 变为B V ，求过程前后气体的熵变。
解：已知理想气体的物态方程为：nRT pV = 等容热容为：dT C dU dTdUC V V =⇒=∴nRpV pdVTdT C T pdV dU T dQ dS V +=+==V dV nR T dT C V += ∴⎰++==0ln ln S V nR T C dS S V∴初态),(A V T 的熵为：0ln ln S V nR T C S A V A ++= 末态),(A V T 的熵为：0ln ln S V nR T C S B V B ++= 故熵变为：BAA B V V nR S S S ln=-=∆ 2）热量Q 从高温热源T 1传到低温热源T 2，求熵变. 解：根据熵变的定义，得①高温热源的熵变为：11T Q S -=∆（放热） ②低温热源的熵变为：22T QS =∆（吸热） 由于熵是广延量，具有可加性 ∴)11(1221T T Q S S S -=∆+∆=∆ 第二章:均匀物质的热力学性质1.平衡辐射:如果辐射体对电磁波的吸收和辐射达到平衡，热辐射的特性将只取决于温度，与辐射体的其他特性无关。
统计物理的微观动力学基础
收稿日期:2005-01-21 作者简介:王启文(1963—),男,内蒙古呼伦贝尔人,呼伦贝尔学院物理系副教授,北京师范大学访问学者,主要从事大学物理教学及其研究工作.教学研究 统计物理的微观动力学基础王启文1,2,郑志刚1,刘 荣1(1.北京师范大学物理系,北京 100875;2.呼伦贝尔学院物理系,内蒙古呼伦贝尔 021008) 摘要:统计的基本出发点是研究系统具有的随机性.不同系统在不同情形下的宏观热力学性质起源于系统内部随机性的差异.通过对宏观热力学系统的微观非线性动力学进行研究探索,我们可以进一步更为深入地理解物态方程、相变等诸多的宏观热力学现象.本文通过哈密顿系统的非线性动力学研究,以及遍历性理论的动力学随机性研究对此问题进行了分析.研究表明,动力学系统的全局性混沌是系统统计成立的根本要素,系统的无限大自由度(热力学极限)已不是决定性的因素.人们可以在此基础上建立少自由度系统的统计力学及热力学.关键词:随机性;动力学系统;混沌;遍历理论中图分类号:O 414.2 文献标识码:A 文章编号:100020712(2005)1120005205 人类善于发现规律,并试图将发现了的规律公式化,然后利用公式去了解周围的世界.这是科学发展的重要因素.然而,当我们找不出规律时,往往并不将其归于无知,而是理所当然地称之为随机性.事实上,“随机性”另有它解:它可能是有内在规律性的,或许它只不过反映出人类的无知.历史上随机模型的伟大成就便是统计力学[1].统计力学表达了大量分子球体统计学意义上(比如平均值)的确定性运动.也就是说,它使用一个微观层面的随机模型来证明一个宏观层面的确定性模型.这合理吗?答案是肯定的.它其实断言了两件事:1)球体运动时是无序的;2)这是一种特殊的无序状况,最终表现出一种确定的平均状态.这其中论点的转换很有意思.一个最初的确定性模型(气体定律)建立在一个随机模型(微小球体)的基础上,而随机性又作为确定性运动的逻辑结果被证实.以随机系统为研究对象的统计力学对牛顿的机械决定论思想提出了严重挑战.我们知道,统计物理关于热力学系统性质研究的基本出发点是把系统看作是力学系统,其微观运动遵循牛顿方程或哈密顿方程.牛顿方程是时间可逆的,运动过程既可以沿着时间增加的方向进行,也可以沿时间倒流的方向回溯.这显然与热力学过程遵循的第二定律相矛盾,后者给出热力学过程的时间方向性.历史上,这成为物理学与哲学上一个持久争论的问题.混沌动力学研究及其后来KAM 定理的出现,说明了决定性的牛顿力学从计算和预测的观点来看实际上具有内禀随机性.这就是微观层次上的混沌运动[2,3],它为上述矛盾的解决与调和提供了有意义的研究参考.另外,混沌运动在自然界中极其普遍[2],系统混沌运动的动力学演化过程会给我们展示丰富多彩的世界.因此对混沌运动的认识和研究具有重要的理论意义和实践意义.下面我们将从研究的角度谈一下我们对统计性的微观动力学基础问题的理解,希望对相应的课程教学有所帮助.1 动力学系统的描述与哈密顿系统的混沌1.1 哈密顿系统及其可积性动力学系统按照能量是否守恒可分为两类,一类称为保守系统(哈密顿系统),另一类称为耗散系统.保守动力学系统的状态及其演化可以用相空间的哈密顿函数H (p ,q ,t )来描述[3,4].坐标和动量的时间变化由所谓的正则方程给出:q =5H 5p , p =-5H5q(1)其中 q =(q 1,q 2,…,q n ), p =(p 1,p 2,…,p n )此方程包括动力学系统变化的一般性质,经典力学所适用的一切变化都可以归结为这些简单的数学方程.第24卷第11期大 学 物 理Vol.24No.112005年11月COLL EGE PHYSICS Nov.2005 哈密顿系统根据不变量或守恒量的数目分为可积系统和不可积系统.不变量往往对应于系统存在着的对称性.若不变量的数目与系统的自由度数相等,系统的演化完全由这些对称约束来确定,那么系统是可积的;若系统不存在这种对称性或对称性遭破坏,则系统不再受这些对称的规则所约束,系统是不可积的.绝大多数具有两个或两个以上自由度的哈密顿系统都是不可积的.如果一个不可积系统能看成受微扰的可积系统,就称为近可积系统.近可积系统等价于与时间有关的单自由度哈密顿系统,它与可积系统的根本区别是存在混沌运动.可积系统的运动特征是确定性和稳定性,而不可积系统的运动则表现出局部处处失稳,因而单个轨道的运动变成随机的和不可预言的.可积系统的典型行为是周期运动和准周期运动,而在不可积系统中则存在着混沌运动.可积系统的运动图像简单,可以用极限环或二维环面描述,而不可积系统的运动图像十分复杂,数学处理很困难,所以人们自然希望不可积系统尽量少一点.然而在20世纪40年代,西格尔(Siegel CL)等人证明,在相空间中把全部可积分的点凑到一起,测度仍为零,即在这个空间中任意抓出一个点,它一定是不可积的动力学系统.可积系统与不可积系统的划分使我们清楚地认识到,经典力学实质上是可积系统的理论,现实世界的系统几乎都是不可积的.从这个意义上可以说人类对现实世界的认识才刚开始.1.2 KAM定理与FPU实验为了描述不可积系统的复杂运动的图像,1954年,柯尔莫戈洛夫(Andrei N.K olmogorov)在阿姆斯特丹举行的国际数学会议上提出了一个重要定理.后来,阿诺德(Arnold)、莫泽(Moser)分别给出定理的严格证明,因此这个定理称为KAM定理.KAM 定理是关于近可积系统的一个重要的一般性结论,有十分重要的意义.假定系统的哈密顿函数分为两部分,即:H(J,θ)=H0(J)+εH1(J,θ)(2)其中H0部分是可积的,H1是使H变得不可积的扰动.只要ε很小,这就是一个弱不可积系统.KAM 定理断言,在扰动较小、H1足够光滑且离开共振条件一定距离的情况下,对于系统的大多数初始条件,弱不可积系统的运动图像与可积系统基本相同.可积系统的运动限制在由N个运动不变量决定的N 维环面上,而弱不可积系统的绝大多数轨道仍然限制在稍有变形的N维环面上,这些环面并不消失,只有轻微的变形,称为不变环面.不过,只要有非零的扰动,就会有一些轨道逃离不变环面,出现不稳定、随机性的特征.但只要满足KAM定理的条件,这些不稳定轨道就是零测度的,不代表系统的典型行为.大量的计算机数值实验表明,破坏KAM定理的任何一个条件,都会使运动的不规则性和随机性增大,最终导致混沌运动.当然,这运动所遵循的仍然是决定性的牛顿力学方程式.所以,KAM定理以一个限制性原理的形式,从反面泄露了有关牛顿力学面目的真实信息.KAM定理暴露出确定性的动力系统,只要精确地从同一点出发,其运动就是一条确定的轨道;但是只要初始条件有所变化,无论这个变化多么微小,其后的运动都会变得无序和混乱,就如同掷骰子一样是随机和不可预测的.这就是牛顿力学的内禀随机性[5～8].上述的数学结果在同一时期物理学领域得到了相应的、独立的研究.1955年,Fermi、Pasta和Ulam 进行了一个计算机实验,他们研究的是由64个振子组成的系统,具有立方的耦合项使线性及可积性被破坏.研究发现,当对少数几个频率较低的模式增加能量时,不存在能量向其他模扩展的趋势.这种行为与人们把非谐振子系统看作是遍历时所作的预言很不同.那时人们预期系统将达到一个定态,这个定态中所有能量相同的态将有相同的概率,而且预期可看到能量在各个模之间均分[1].FPU实验观测到的这种行为可以借助于KAM 定理来理解.这个定理表明,对于一个有弱非谐耦合的系统(满足KAM定理条件),大部分能量面由许多不变环组成,系统将在很多方面显示出与无扰动谐振子系统相似的行为.然而,当这种耦合增大时,相空间中的不变区遭到破坏,可预期在某一点将看到朝无序行为和类似于模之间能量均分的突然转变. 1.3 哈密顿系统混沌的本质不可积哈密顿系统由于能量守恒,相空间不存在吸引子.大多数不可积系统在相空间既有稳定的规则运动,也有不稳定的混沌运动,形成规则区与混沌区交错并存的复杂结构.图1给出了Henon-Heiles系统H=12p21+p22+q21+q22+q1q22-13q31=E的相空间动力学情况.可以看到,当能量增加(相当于增加非线性强度)时,在Poincare截面上分布着散乱的点(混沌区)与闭合曲线(环面).哈密顿不可积系统中存在不动点和鞍型不稳定6 大 学 物 理 第24卷图1 Henon-Heiles系统的混沌点.鞍型不动点是由一条稳定流型与一条不稳定流型相交的.稳定流型与不稳定流型都不能与自身相交,但两种流型可以在不动点之外相交,称为同宿点.鞍型不动点可以分为同宿不动点与异宿不动点.若两个不动点的轨道作时间反演回到另一不动点叫异宿.两种流型一旦相交就会无穷次相交,产生极为复杂的情形.当接近不动点时,同宿点会积累起来,导致在不动点附近大的振荡,形成不可积系统相空间的全局混沌.虽然发生混沌的实际系统大多数都属于耗散系统,但是哈密顿系统中为何存在混沌现象的问题具有更基本的物理学意义.人们期望,对于不可积哈密顿系统的研究所揭示的作为系统内禀特性的丰富复杂的相空间结构和奇异随机的动力学行为,将能够使我们弄清楚宏观不可逆性的真正起源.一个很重要的问题就是,哈密顿系统的内在随机性是否强到足以解释统计力学理论的遍历性假设.这个问题的回答要借助于遍历性理论的研究成果.2 遍历理论与随机性的不同层次KAM定理是一种整体的关于稳定性的论断.轨道的不稳定反映出力学确定性运动中出现的随机性.这就把我们带回到19世纪末物理学家争论的统计物理基本问题.玻耳兹曼为了解释自己提出的H 定理,最早提出了各态历经假设[1]:哈密顿系统的轨道在运动过程中要经历等能面上一切可能的状态,因此沿轨道的长时间平均可以换成对等能面上各种状态的平均.近几十年来遍历理论有了两大进展:一方面,动力学系统的遍历性分成许多层次.最低的层次是狭义的“遍历”直到最强的伯努利(Bernoulli)流等等[9,10],愈往上随机性越强,处在上面的随机层次必定具有下面的遍历性质,反之不成立.如:存在着K流而非伯努利流的动力学系统,它当然是遍历和混合的.另一方面,证明了一批具体系统的遍历或非遍历性质.如:一些耦合谐振子系统是不遍历的(这是KAM定理的直接后果),但封在盒子中的两个刚球则是遍历、混合甚至混沌的系统.下面我们按照随机性由弱到强的顺序罗列出目前已研究清楚的一些动力学性质.2.1 Poincare回归性如果系统在相空间中从一点出发,经过一段时间之后回到起点的某一领域,则称该系统是回归的.周期运动的系统自然满足回归性.对于一个哈密顿系统来说,其相空间中的轨道都可以满足回归性质,因此回归性从随机性角度而言是最弱的.2.2 玻耳兹曼遍历性如果系统从相空间中任何一点出发(排除测度为零的点),长时间后,演化可以遍及相空间几乎所有区域,则称系统是遍历的.遍历系统需满足对系统的任何函数而言其时间平均与相空间平均都相等.系统的遍历性隐含着一层含义,就是系统相空间不能分解成两个不变子空间.遍历性最简单的例子就是粒子在二维环面上(类似于汽车轮胎的形状)的运动.粒子运动由沿轮胎大环的运动和沿轮胎横截面的运动组成,分别具有不同的转动频率.若粒子运动的两个频率之间不可约(即比值是无理数),粒子就可跑遍整个环面.但是这个运动并不具有随机性,即一个波包在运动过程中不会像墨滴在水中一样弥散开.系统要具有不可逆性,必须有一定的“混合”机制[10].2.3 Gibbs混合性如果一个系统的初始信息在长时间后逐渐丧失(关联函数趋于零),则称系统为混合的.系统的初始信息随时间逐渐丧失,这就具有了不可逆的特征.混合的特征是,初始的概率波包随时间演化会逐渐散开并趋于定态分布.初始信息丧失的速度对于不同的混合系统是不同的,有的是按较慢的幂律,有的是按指数衰减规律,更多的则是更为复杂的规律.幂律第11期 王启文等:统计物理的微观动力学基础7衰减被称为长时尾,它在硬球系统及许多哈密顿系统中都能观察到.一个混合系统必然是遍历的,反之则未必成立.具有混合性的系统很多,如图2所示的面包师变换就是混合的.面包师变换实际上可写成一个保面积的二维映射.可以证明:在粗粒化的意义下,系统在q 方向上满足混合性.图2 面包师变换2.4 K olmogorov 系统描述系统混合特征的量,数学上往往采用所谓的K olmogorov -Sinai (KS )熵.在粗粒化的相空间中,KS 熵h 是系统的一个测度不变量,不依赖于粗粒化的方式,反映了相体积在时间演化过程中的复杂度.h 可以小于零也可以大于零.我们把h >0的动力学系统称为K olmogorov 系统.一个KS 熵大于零的相体积可以如图3所示发生非常复杂的变化.如果系统有正的KS 熵,则在相空间中某一区域的轨道是混沌的,称为K 流.前面提到的Henon -Heiles 系统就是K 流的一个例子.非简谐振子系统大多具有这种性质.图3 一个小相体元的时间演化2.5 Anosov 系统K 系统只反映系统可以具有随机性很强的运动,它没有排除相空间仍然具有足够测度的KAM区(即规则运动区).如果一个动力学系统满足如下性质:1)收缩矢量的子空间与拉伸矢量的子空间构成系统整个容许的相空间;2)收缩和拉伸在T ^影射下保持不变,则称此系统为Anosov 系统.这种系统具有非常强的随机性,因为在这个相空间任何一点的运动都是局域不稳定的.一个单位质量的粒子在闭合的二维负高斯曲率表面上沿测地线的运动和图4所示的保面积Arnold 猫变换都属于这种系统[11].另外,还有一种随机性最强的动力学系统:图4 Arnold 猫变换Bernoulli 系统,这是一种完全随机的移位操作,这里不再详细介绍.总之,上述的各种随机性反映了动力学系统统计性的一面.几十年来对这些问题的研究表明,动力学系统的全局性混沌是系统统计成立的根本要素,系统的无限大自由度(热力学极限)已不是决定性的因素.人们已经在此基础上建立了少自由度系统的统计力学及热力学,并讨论少自由度系统的非平衡热力学特征[10].3 结语遍历理论提出的并致力于解决的问题是统计物理学中最基本的问题,它抓住了统计与随机性的联系,从而给出不同程度的随机性.这些随机性一方面反映出确定性动力学系统所具有的内在特征,为统计思想对大系统的介入提供了理论的保证;另一方面它直接调和了微观力学规律的可逆性与宏观热力学过程的不可逆性之间的矛盾,为解释不可逆性提供了微观依据.因此可以说,遍历性理论架起了动力学到统计力学的桥梁.遍历理论的思想和方法现今正被应用于统计物理和凝聚态物理等的各种现象,8 大 学 物 理 第24卷如Monte -Carlo 、临界现象、相变、反常输运的分析等,使统计物理的研究异常活跃起来.少自由度哈密顿系统中混沌的发现,已经扭转了传统科学中对于决定论一边倒的倾向.非线性系统的混沌行为多种多样,现象与特点各不相同.以遍历理论为例,目前已经发现,相变现象在更为广泛的意义上实际联系着不同程度的遍历性,相变的发生可以用比对称性破缺更为广泛的遍历性破缺概念来解释.自然界存在随机性,但不同系统、不同条件下各不相同,遍历性理论正是试图将随机性分类.已故的美国著名非线性物理研究专家、被称为混沌传教士的福特(J.Ford )教授针对爱因斯坦的名言曾有新的阐述:“上帝的确是在掷骰子,但骰子是灌了铅的.”所以,研究随机性的动力学起源,弄清楚随机性的骰子是按照何种规则被“灌铅”的,是目前统计物理与非线性交叉领域研究的基本问题.把隐藏于万物复杂性之中的各种普适规律及其本性挖掘出来,将使我们对于宇宙发展的倾向性有更深刻的理解.参考文献:[1] [美]雷克L E.统计物理现代教程[M ].黄 ,夏蒙棼,仇韵清等译校.北京:北京大学出版社,1985.231,242. [2] 郝柏林.混沌与分形———郝柏林科普文集[M ].上海:上海科学技术出版社,2003.79～80.[3] [美]洛仑兹E N.混沌的本质[M ].北京:气象出版社,1997.137～141.[4] 程崇庆,孙义燧.哈密顿系统中的有序与无序运动[M ].上海:上海科技教育出版社,1996.14,39.[5] 李浙生.忽之间———混沌与认识[M ].北京:冶金工业出版社,2002.22.[6] 大卫・吕埃勒.机遇与混沌[M ].刘式达,梁爽,李滇林译.上海:上海科技教育出版社,2001.108～109.[7] 黄润生.混沌及其应用[M ].武汉:武汉大学出版社,2000.[8] 弗洛林・迪亚库,菲利普・霍尔姆斯.天遇———混沌与稳定性的起源[M ].王兰宇译.上海:上海科技教育出版社,2001.[9] 郑志刚.耦合非线性动力学系统的时空动力学与合作行为[M ].北京:高等教育出版社,2004.[10] 郑志刚.从少体系统到多体系统:动力学与统计力学[A ].北京师范大学博士学位论文集[C],1997.[11] 顾雁.量子混沌[M ].上海:上海科学技术出版社,1996.39～44.On the microscopic dynamical foundation of statistical mechanicsWAN G Qi 2wen1,2,ZHEN G Zhi 2gang 1,L IU Rong1(1.Department of Physics ,Beijing Normal University ,Beijing 100875,China ;2.Department of Physics ,Hulunbuir College ,Hulunbuir 021008,China )Abstract :The basic starting point of statistics is the stochasticity of the underlying system.Macroscopic thermodynamic properties of different systems under different situations is originated from the diversity in the intrinsic stochasticity of these systems.Based on an exhaustive exploration of microscopic nonlinear dynamics of thermodynamic system ,one can get a deeper understanding of a number of thermodynamic phenomena such as matter 2state equations and phase transitions.In this paper ,nonlinear dynamics of Hamiltonian systems and dy 2namical stochasticity in ergodic theory are analyzed.Our analysis indicates that global chaos is the essence for the validity of statistics.Infinite numbers of degrees of freedom and thermodynamic limit are not the decisive criteri 2on for statistics.In terms of this ,few 2body statistical mechanics and thermodynamics can be built.K ey w ords :stochasticity ;dynamical systems ;chaos ;ergodicity第11期 王启文等:统计物理的微观动力学基础9。
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在这过程中，各点密度、温度等均不相同，这就是 非平衡态。但随着时间的推移，各处的密度、压强 等都达到了均匀，无外界影响，状态保持不变，就 是平衡态。
说明：平衡态是一种热动平衡
处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰 撞， 每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量 不随时间 改变。
在一定宏观条件下，对系统某一物理量的某一次测 量值并不一定等于它的统计平均值
围绕统计平均值的涨落
只有当分子数 N 很大时，涨落相对统计平均值很 小，才能用统计平均值代表宏观测量值。
直角坐标系中，分子在三个坐标轴上的速度分量平 方的统计平均值：
vi2x
v
2 x
i
N
,
vi2y
v
2 y
例如：粒子数
假想把箱子分成两相同体积的部 分，达到平衡时，两侧粒子有的 穿越界线，但两侧粒子数相同。
平衡态是一种理想状态
状态方程
当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的
函数关系： f ( p,V ,T ) 0 物态方程(状态方程)
理想气体 pV m RT M
p
I ( p1,V1,T1)
x m1 m3 ( p1 p3 )V1
m2
p2V2
(130 10) 32 9.6天 1 400
p1 =1.3107Pa p2 =105PaV2 = 400L
p3 =106Pa V3 = V1 = 32L
三、分子热运动的无序性和统计规律性
什么是统计规律性(statistical regularity) 大量偶然性从整体上所体现出来的必然性。
m—气体质量
M—气体摩尔质量
R 普适气体常量 8.31J/mol o
II( p2 ,V2 ,T2 )
V
在温度保持不变的过程中，理想气体的压强与体积 之间的关系为双曲线。
Temperature is one of the seven SI base quantities:
Kelvin scale: T(K)= TC (C) +273.15K Celsius scale: TC (C) =T(K)273.15 TC 39C TF 102F
大量偶然事件整体所遵 循的规律 统计规律。
小球数按空间 位置 分布曲线
统计规律特点: (1)只对大量偶然的事件才有意义. (2)它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变). (3) 大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。
四、 统计的基本概念(self taught自学)
1. 概率 如果N次试验中出现A事件的次数为NA,当 N时，比值NA/N称为出现A事件的概率。
P( A) lim N A N N
概率的性质:
(1) 概率取值域为 0 P( A) 1
统计平均值
设 N 个分子组成的系统，处于某一状态。如果在这 N 个分子中，有 N1 个分子的物理量 W 取值为 W1，N2 个分子的取值为 W2，…，则物理量 W 的算术平均值：
W
i
Ni N
i
N
,
vi2z
v
2 z
i
N
如果系统处于平衡态，分子向各个方向运动的概率 相等：
v
2 x
v
2 y
vz2
因 vi2x vi2y vi2z vi2，则有:
vi2x
vi2y
vi2z
vi2
i
i
i
i
Wi
N1W1 N2W2 N
一般 W 与N的依赖关系随N增大而减弱。当N增大 到 W 与N无关时，就把 W 称为物理量W在该状态上的
统计平均值。
W
W
i
Ni N
Wi
N 一般 W 与N的依赖关系随N增大而减弱。当N增大 到 W 与N无关时，就把 W 称为物理量W在该状态上的
统计平均值。
第二篇 热物理学
研究与温度有关的热现象的科学。
热力学
统计物理学
从宏观的角度研究热现 运用统计方法，阐明宏
象，建立宏观量(温度、 观量(温度、压强等)的
压强、体积)之间的关系。 微观本质，讨论气体分
研究宏观物体之间热功 子的速度、速率、能量
转换的关系和条件。
满足的统计分布规律。
4-1 统计物理的基本概念 一、物质的微观模型
热力学系统（热力学研究的对象）： 大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观体系。 外界：热力学系统以外的物体。
微观粒子体系的基本特征
(1)分子(或原子)非常小. 109m~ 1010m
(2)热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大. NA~ 1023 (3)分子之间存在相互作用力分子力。
(4)分子或原子都以不同的速 F 率不停地运动。
Fahrenheit scale TF (F) = 95 TC (C) +32
例1. 氧气瓶的压强降到106Pa就要重新充气，以免混入 其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压
强为1.3107Pa，若每天用105Pa的氧气400L，问此瓶 氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。
解: 根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气 体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为
斥
力
r0
O
引
r
力
二、系统状态的描写
宏观量(状态参量) :描写热力学系统宏观状态的参量。 如 压强 p、体积 V、温度 T 等。
微观量:描述系统内个别微观粒子特征和运动状态的 物理量。 如分子的质量、 直径、速度、动量、能 量等。
微观量与宏观量有一定的内在联系。
平衡态:在无外界的影响下，系统的宏观性质不随 时间改变的稳定状态。
p1 V1 m1 p2 V2 m2 p3 V3 m3 使用时的温度为T
设可供 x 天使用原有Fra bibliotekx 每天用量 剩余
p1 V1 m1 T
p2 V2 m2 T
p3 V3 m3 T
分别对它们列出状态方程，有
p1
V1
m1 M
RT
p2
V2
m2 M
RT
p3
V3
m3 M
RT
V1 V3 m1 m3 xm2
例. 扔硬币
统计规律和方法 伽尔顿板
从入口投入小球与钉碰撞 落入狭槽 ( 偶然 ) 为清楚起见 , 从正面来 观察。
铁钉
隔板
统计规律和方法 再投入小球：
经一定段时间后 , 大量小 球落入狭槽。
分布情况: 中间多，两边少。 重复几次 ，结果相似。 单个小球运动是随机的 ,大 量小球运动分布是确定的。