质点动力学习题课

第二章教学基本要求：

⒈理解牛顿运动定律的基本内容，掌握牛顿运动定律的适用条件。

⒉掌握常见力的性质和计算方法，能熟练地分析物体受力。

⒊熟练掌握运用牛顿定律和运动学知识解题的思路和步骤，并能科学地表述。能用微积分方法求解一维变力作用下的质点动力学问题。

内容提要:

牛顿定律

第一定律: 任何物体如果不受其它物体的力的作用，就会保持静止或匀速直线运动的状态。

第二定律: )(d d v

m t

F

当质量m 为常量时，a m F

在直角坐标系中，

z z y y x x ma F ma F ma F ,,

在自然坐标系中，

2

,v m

F dt dv m F n t

第三定律: 2112F F

力学问题中的几个常见力

万有引力 G 2

r mM

重力 mg

弹簧力 f = -kx 正压力与支持力 N= N ′ 滑动摩擦力 f = N 静摩擦力 f ≤ N

习题1：

一半径为R 的环形竖直壁固定在光滑的水平面上，如题图所示，一质量为m 的物块紧靠着壁的内侧在水平面上运动。已知物块与环形壁之间的摩擦系数为 ，0 t 时物块的速率为0v ，求物块的速率v 随时间t

图2-7

解： 研究对象：m 受力： 自然坐标系 方程：

法向： R v m N 2

（1）

切向： dt dv

m f r （2）

N f r （3） 求解：由 上 述 各 式 可 得 dt dv

R v 2

分离变量法

v v t v dv R dt 020

得： t v R Rv v 00

图2-7

f

习题2：

一细绳跨过光滑的定滑轮,一端挂一m 重物,另一端被人用双手拉着,人悬空,质量 m/2,若人以相对于绳的加速度0a 向上爬,且不打滑,求:人相对于地的加速度。

解：如图建坐标,

分别选人和重物m 为对象, 受力分析,

设m 对地加速度为a ： 对m ：

ma mg T

对人：)(2

1210a a m mg T 解得：30g a a

人相对于地的加速度为3

200g

a a a

习题3：

一根弯成如图所示形状的金属丝，其上套一小环，设环与金属丝间的摩擦可略去不计.当金属丝以匀角速度ω绕竖直对称轴转动时，小环在金属丝上任何地方都能平衡，即与金属丝无相对运动，问这根金属丝要弯成什么形状?

解 : 小环受力如图所示, 当小环位置坐标为x y 、时其动力学方程为 :

N m x

N mg

sin cos 2

而 x y d d tg ,

所以 g x

x y 2

d d

m g

N

积分得y

x

g

c

22

2

由x 0, y 0定出c 0

y

x

g

22

2 .

此即金属丝形状所满足的方程，应为顶点即坐标原点，口向上的抛物线。

习题4:

如图，升降机内有两个物体，质量分别为m1=100g和m2=200g，用细绳连接后跨过滑轮；绳子的长度不变，绳和滑轮的质量、滑轮轴上的摩擦及桌面的摩擦均可略去不计.当升降机以匀加速度a=4.9 m·s2上升时，

(1)在机内的观察者看来，m 1和m 2的加速度各是多少?

(2)在机外地面上的观察者看来，它们的加速度又各是多少?

解 : m m 12, 的受力如图。

设m m 12和相对升降机的加速度大小为a '

，

方向为m 1水平向右，m 2竖直向下。因此对m m 12,分别用牛顿第二定律列方程如下 :

T m a

T m g m a a 122'

'

解得 a m a g m m '

. 212

98 m/s 2

（1）

机内观察者看 :

2

22

1m /s

8.9';

m /s 8.9j a i 'a m 1g

T

N

m 1 m 2g

T

m 2

地面上观察者看 : 2

221m /s 9.4;m /s 9.48.9j a j i a

作业：P135，2.15（用牛顿定律求解）