2018年高考文数试卷含解析(全国卷Ⅲ_云南省)

2018年普通高等学校招生全国统一考试
（新课标 III 卷）
文 科 数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合）
1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，
，，则A B =I （ ） A ．{}0
B ．{}1
C ．{}12，
D ．{}012，
，
2．()()12i i +-=（ ）
A ．3i --
B ．3i -+
C ．3i -
D ．3i +
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
4．若1
sin 3
α=，则cos2α=（ ）
A ．89
B ．
79
C ．79
-
D ．89
-
5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）
A ．0.3
B ．0.4
C ．0.6
D ．0.7
6．函数 ()2tan 1tan x
f x x
=
+的最小正周期为（ ）
A ．
4
π B ．
2
π C ．π D ．2π
7．下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是（ ）
A ．()ln 1y x =-
B ．()ln 2y x =-
C ．()ln 1y x =+
D ．()ln 2y x =+
8．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2
222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是（ ）
A ．[]26，
B ．[]48，
C ．
D ．⎡⎣
9．函数422y x x =-++的图像大致为（ ）
10．已知双曲线22
221x y C a b
-=：（00a b >>，2，则点()40，到C 的渐近线的
距离为（ ）
A 2
B ．2
C 32
D ．22
11．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为222
4
a b c +-，则C =
（ ）
A ．
2
π B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π
12．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积
为93D ABC -体积的最大值为（ ）
A ．123
B ．183
C ．243
D ．543
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．
14．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，
该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
15．若变量x y ，满足约束条件23024020.
x y x y x ++⎧⎪
-+⎨⎪-⎩
≥，
≥，≤则13z x y =+的最大值是________．
16．已知函数(
))
ln
1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分。

17．（12分）
等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． ⑴求{}n a 的通项公式；
⑵记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．
18．（12分）
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：
⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m不超过m
第一种生
产方式
第二种生
产方式
⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，
()
2
0.0500.0100.001
3.8416.63510.828
P K k
k
≥
．
19．（12分）
如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M是»CD上异于C，D的点．
⑴证明：平面AMD⊥平面BMC；
⑵在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
20．（12分）
已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为
()()10M m m >，．
⑴证明：1
2
k <-；
⑵设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=u u u r u u u r u u u r
．证
明:2FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r
．
21．（12分）
已知函数()21
x
ax x f x e +-=．
⑴求由线()y f x =在点()01-，处的切线方程； ⑵证明：当1a ≥时，()0f x e +≥．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，O
⊙的参数方程为
cos
sin
x
y
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
（θ为参数），过点()
02
-
，
且倾斜角为α的直线l与O
⊙交于A B
，两点．
⑴求α的取值范围；
⑵求AB中点P的轨迹的参数方程．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数()211
f x x x
=++-．
⑴画出()
y f x
=的图像；
⑵当[)
x+∞
∈，，()
f x ax b
+
≤，求a b
+的最小值．
2018年普通高等学校招生全国统一考试
（新课标 III 卷）
文 科 数 学 答 案(解析)
一、选择题 1．答案：C
解答：∵{|10}{|1}A x x x x =-≥=≥，{0,1,2}B =，∴{1,2}A B =I .故选C. 2．答案：D
解答：2
(1)(2)23i i i i i +-=+-=+，选D. 3．答案：A
解答：根据题意，A 选项符号题意； 4．答案：B
解答：2
27
cos 212sin 199
αα=-=-=.故选B. 5．答案：B
解答：由题意10.450.150.4P =--=.故选B. 6．答案：C 解答：
22222
sin tan sin cos 1cos ()sin cos sin 2sin 1tan sin cos 21cos x
x x x x f x x x x x x x x x
==
===+++，∴()f x 的周期22
T π
π=
=.故选C. 7．答案：B
解答：()f x 关于1x =对称，则()(2)ln(2)f x f x x =-=-.故选B. 8．答案：A 解答：
由直线20x y ++=得(2,0),(0,2)A B --，∴22||2222AB =
+=22(2)2x y -+=的圆心为(2,0)，∴圆心到直线20x y ++=2211
=+∴点P
到直线20x y ++=的距离的取值范围为d -≤≤d ≤≤，∴1
||[2,6]2
ABP S AB d ∆=
⋅∈. 9．答案：D 解答：
当0x =时，2y =，可以排除A 、B 选项；
又因为3
424(22
y x x x x x '=-+=-+
-，则()0f x '>的解集为
(,)(0,22-∞-
U ，()f x 单调递增区间为(,2-∞-，(0,2
；()0f x '<的解集为
()+∞U ，()f x 单调递减区间为(，()2+∞.结合图象，可知D 选项正确.
10．答案：D 解答：
由题意c e a ==则1b
a
=，故渐近线方程为0x y ±=，则点(4,0)到渐近线的距离
为
d =
=.故选D. 11．答案：C 解答：
2222cos 1
cos 442ABC
a b c ab C S ab C ∆+-===，
又1sin 2
ABC S ab C ∆=，故tan 1C =，∴4
C π
=
.故选C.
12．答案：B 解答：
如图，ABC ∆为等边三角形，点O 为A ，B ，C ，D 外接球的球心，G 为ABC ∆的
重心，由ABC S ∆=6AB =，取BC 的中点H ，∴sin 60AH AB =⋅︒=
2
233
AG AH =
=，∴球心O 到面ABC 的距离为224(23)2d =-=，∴三棱锥D ABC -体积最大值1
93(24)1833D ABC V -=⨯⨯+=.
二、填空题
13．答案：12
解答：
2(4,2)a b +=r r ，∵//(2)c a b +r r r ，∴1240λ⨯-⨯=，解得12
λ=.
14．答案：分层抽样
解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法. 15．答案：3 解答：
由图可知在直线240x y -+=和2x =的交点(2,3)处取得最大值，故
1
2333
z =+⨯=.
16．答案：2-
解答：()()2ln 11()f x x x x
R -=+++∈， 22()()ln(1)1ln(1)1f x f x x x x x +-=+-+++++22ln(1)22x x =+-+=， ∴()()2f a f a +-=，∴()2f a -=-.
三、解答题
17．答案：（1）12n n a -=或1(2)n n a -=-；（2）6.
解答：（1）设数列{}n a 的公比为q ，∴253
4a q a =
=，∴2q =±. ∴12n n a -=或1(2)n n a -=-. （2）由（1）知，122112n n n S -==--或1(2)1[1(2)]123
n n n S +-==--+， ∴2163m m S =-=或1
[1(2)]633
m m S =--=（舍）， ∴6m =.
18．答案：见解析
解答：
（1）第一种生产方式的平均数为184x =，第二种生产方式平均数为274.7x =，∴ 12x x >，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.
（2）由茎叶图数据得到80m =，∴列联表为
（3）22
2
()40(151555)10 6.635()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，∴有99%
的把握认为两种生产方式的效率有差异.
19．答案：见解答
解答：（1）∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ，
∴AD ⊥半圆面CMD ，∴AD ⊥平面MCD .
∵CM 在平面MCD 内，∴AD CM ⊥，又∵M 是半圆弧CD 上异于,C D 的点，∴CM MD ⊥.又∵AD DM D =I ，∴CM ⊥平面ADM ，∵CM 在平面BCM 内，∴平面BCM ⊥平面ADM .
（2）线段AM 上存在点P 且P 为AM 中点，证明如下：
连接,BD AC 交于点O ，连接,,PD PB PO ；在矩形ABCD 中，O 是AC 中点，P 是AM 的中点；
∴//OP MC ，∵OP 在平面PDB 内，MC 不在平面PDB 内，∴//MC 平面PDB
.
20．答案：见解答：
解答：
（1）设直线l 方程为y kx t =+，设11(,)A x y ,22(,)B x y ,
22
14
3y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立消y 得222(43)84120k x ktx t +++-=， 则2222644(412)(34)0k t t k ∆=--+>，
得2243k t +>…①， 且1228234kt x x k -+=
=+，12122
6()2234t y y k x x t m k +=++==+， ∵0m >，∴0t >且0k <. 且2
344k t k
+=-…②.
由①②得22
2
2(34)4316k k k ++>， ∴12
k >或12k <-. ∵0k <，∴12k <-. （2）0FP FA FB ++=uu r uu r uu r r ，20FP FM +=uu r uuu r r , ∵(1,)M m ，(1,0)F ，∴P 的坐标为(1,2)m -.
由于P 在椭圆上，∴214143m +=，∴34
m =，3(1,)2M -， 又2211143x y +=，2222143
x y +=， 两式相减可得12121212
34y y x x x x y y -+=-⋅-+， 又122x x +=，1232y y +=
，∴1k =-， 直线l 方程为3(1)4y x -
=--， 即74
y x =-+， ∴2274143
y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 消去y 得2285610x x -+=
，1,21414
x ±=，
||||3FA FB +==uu r uu r ，
3||2
FP ==uu r , ∴||||2||FA FB FP +=u u u r u u u r u u u r .
21．答案：详见解析
解答：（1）由题意：()21x
ax x f x e +-=得222(21)(1)22()()x x x x ax e ax x e ax ax x f x e e
+-+--+-+'==， ∴2(0)21
f '==，即曲线()y f x =在点()0,1-处的切线斜率为2，∴(1)2(0)y x --=-，即210x y --=；
（2）证明：由题意：原不等式等价于：1210x e ax x +++-≥恒成立；令
12()1x g x e ax x +=++-，
∴1()21x g x e ax +'=++，1()2x g x e a +''=+，∵1a ≥，∴()0g x ''>恒成立，∴()g x '在(,)-∞+∞上单调递增，∴()g x '在(,)-∞+∞上存在唯一0x 使0()0g x '=，∴
010210x e ax +++=，即01021x e ax +=--，且()g x 在0(,)x -∞上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，∴0()()g x g x ≥.
又01220000000()1(12)2(1)(2)x g x e ax x ax a x ax x +=++-=+--=+-，
111()1a g e a -'-=-，∵1a ≥，∴11011a e e -≤-<-，∴01x a
≤-，∴0()0g x ≥，得证. 综上所述：当1a ≥时，()0f x e +≥.
22．答案：见解析
解答：
（1）O e 的参数方程为cos sin x y θθ
=⎧⎨=⎩，∴O e 的普通方程为221x y +=，当90α=︒时，
直线：:0l x =与O e 有两个交点，当90α≠︒时，设直线l 的方程为tan y x α=-
线l 与O e
1<，得2tan 1α>，∴tan 1α>或tan 1α<-，∴
4590α︒<<︒或90135α︒<<︒，综上(45,135)α∈︒︒.
（2）点P 坐标为(,)x y ，当90α=︒时，点P 坐标为(0,0)，当90α≠︒时，设直线l 的方程为2y kx =-，1122(,),(,)A x y B x y ，∴22
12x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩①②
有22(2)1x kx +-=，整理得22(1)2210k x kx +-+=，∴122221k x x k +=+，122221y y k -+=+，∴222121k x k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
③④得x k y
=-代入④得2220x y y ++=.当点(0,0)P 时满足方程2220x y y ++=，∴AB 中点的P 的轨迹方程是2220x y y ++=，即2221()22x y ++=，由图可知，22(,)22
A -，22(,)
B --，则20y -<<，故点P 的参数方程为2cos 222sin 22
x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（β为参数，0βπ<<）.
23．答案：见解答
解答：
（1）13,21()2,123,1x x f x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩
，如下图：
（2）由（1）中可得：3a ≥，2b ≥， 当3a =，2b =时，a b +取最小值， ∴a b +的最小值为5.。