概率论与数理统计_第1章3节讲述
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A1 A2 An
不难求得
(n 2)! P ( Ai A j ) , n! , P ( A1 A2 1 An ) n!
(n 1)! P ( Ai ) , n!
(n 3)! P ( Ai A j Ak ) , n!
因此
P( A1
A2
1 2 n 2 ! An ) C Cn n n!
我们把事件A定义为 的一个子集，它包含若干 样本点，事件A发生当且仅当A 所包含的样本点中有 一个发生. 一般并不把 的一切子集都作为事件，因为这将 对给定概率带来困难.同时，又必须把问题中感兴趣 的事件都包括进来，因为事件的交、余、并等也应该 为事件，也应该有相应的概率.
于是，我们把事件的全体记为 F ，它是由 的 某些子集构成的集合族，并且还应满足下面的条件：
第一章 随机事件和概率
§1.3 概率的公理化定义 概率空间 一、概率空间及其三要素
1、样本空间 2、 F 与可测空间 3、概率P与概率空间 二、概率的可列可加性与连续性 三、概率空间的实际例子
一、概率空间及其三要素 1、样本空间
为样本点，相应于随机试验的结果.
2、 F 与可测空间
是一非空集合，称为样本空间；其中的元素称
2) P ( B A) P ( B ) P ( AB )
第一章 随机事件和概率
加法公式的推广（多除少补原理）
对任意 n 个事件 A1 , n P Ai P Ai i 1 i 1 P Ai A j
n 1 i j n
利用多除少补原理来作概率的计算，常能使解题思路 清晰，计算便捷. 例5（匹配问题） 某人写好 n 封信，又写好 n 只信封， 然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，试求至少 有一封信放对的概率.（1708年为Montmort所解决，后
由Laplace等人推广）
解 若以 Ai 记第i 封信与信封符合，则所求的事件为
A2 , ,
An , 有
1 i j k n
P A A A
i j k
1
n 1
P A1 A2 An
提示：可用归纳法证明
推论 （次可加性）
对任意 n 个事件 A1 ,
A2 ,
,
An , 有
n n P Ai P Ai i 1 i 1
第一章 随机事件和概率
概率测度P的性质与推广:
性质 1 P() 0 ; 反之不然！
性质 （有限可加性）若 2 A1, A2, , An是两两互不相容事件, 则
P ( A1 A2 An ) P ( A1) P ( A2) P ( An )
性质（减法公式）若 3 A B ，则有 P( B A) P( B) P( A)， 且P( B) P( A)
性质 4 P( A) 1
第一章 随机事件和概率
性质 5 P( A ) 1 P( A) ;
性质 （一般加法公式） 6 P( A B) P( A) P( B) P( AB)
重 要 推 广
1) P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC )
1 n
C
3 n
n 3 !
n!
n 1
(1)
n 1
1 n!
1 1 1 2! 3!
(1)
1 n!
二、概率的可列可加性与连续性 定义1 若 An F , n 1, 2, 且 An An 1 ，则 An 是 F 中的一个单调不减的集序列. 若 An F , n 1, 2, 且 An An 1，则 An 是 F 中的一个单调不增的集序列. 定义2 对于 F 上的集合函数 P ()，若它对 F 中任何一 个单调不减的集序列 { An }均有：
很显然，根据定义，必然事件和不可能事件都在事 件域中，事件的有限及可列交、并以及差也都在事件 域中.
例1 F {, } 为一 -代数. 例2 为一
-代数.
例3
{1 , , n }, F 是由 的一切子集构成.
F 是一个有限的集合，共有元素2n 个. 这时，
F 为一
-代数. -代数.
第一章 随机事件和概率
前面讲到：事件就是某些样本点组成的集合，事件 之间的运算也就是集合运算.
但是，并没有对事件的集合进行限制. 对于事件，一 个很明显的要求就是所有事件组成的集合对于并、交 、余这三种运算封闭. 前苏联学者柯尔莫哥洛夫于1933年在《概率论基 础概念》一书中，用公理化的方法与集合论的观点 成功地解决了这一问题，提出了概率空间的概念.
(i) F ; (ii) 如果 A F ，那么 A F ;;
(iii) 如果 Ai F ，i 1, 2, ,那么
i 1
Ai F ;;
称满足上述条件的集合族为 域，也称 -代数.
F 中的元素称为事件，也称 F 为事件域. 称为必 然事件， 称为不可能事件.
例4 对于一般的 ，若 F 由 的一切子集构成，
可以验证 F 为一 注
事件域可以很简单，也可Leabharlann Baidu十分复杂，要根 据问题的不同要求来选择适当的事件域.
把任一样本空间，以及由的子集所组成的一个
-代数F x 写在一起，记为 ，F ，称为具有 -代数
结构的样本空间，简称为 可测空间
3、概率P与概率空间
概率P 为定义在事件域 上的函数，即它是一个从 到 的映射： ，且它满足 （i）
（ii） （iii）完全可加性：
称这样的P为可测空间 (, F ) 上的一个概率测度 ， 简称为概率，(, F , P ) 称为概率空间.
性质（iii）也称为可列可加性.
数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而承认的前提， 这些前提规定了所讨论的对象的一些基本关系和所满足的 条件，然后以之为基础，推演出所讨论的对象的进一步的 内容.几何学就是一个典型例子.成功地将概率论实现公理化 的是现代苏联大数学家柯莫哥洛夫.值得赞赏的不止在于他 实现了概率论的公理化，还在于他提出的公理为数很少且 极为简单，而在这么一个基础上建立起了概率论的宏伟大厦.
不难求得
(n 2)! P ( Ai A j ) , n! , P ( A1 A2 1 An ) n!
(n 1)! P ( Ai ) , n!
(n 3)! P ( Ai A j Ak ) , n!
因此
P( A1
A2
1 2 n 2 ! An ) C Cn n n!
我们把事件A定义为 的一个子集，它包含若干 样本点，事件A发生当且仅当A 所包含的样本点中有 一个发生. 一般并不把 的一切子集都作为事件，因为这将 对给定概率带来困难.同时，又必须把问题中感兴趣 的事件都包括进来，因为事件的交、余、并等也应该 为事件，也应该有相应的概率.
于是，我们把事件的全体记为 F ，它是由 的 某些子集构成的集合族，并且还应满足下面的条件：
第一章 随机事件和概率
§1.3 概率的公理化定义 概率空间 一、概率空间及其三要素
1、样本空间 2、 F 与可测空间 3、概率P与概率空间 二、概率的可列可加性与连续性 三、概率空间的实际例子
一、概率空间及其三要素 1、样本空间
为样本点，相应于随机试验的结果.
2、 F 与可测空间
是一非空集合，称为样本空间；其中的元素称
2) P ( B A) P ( B ) P ( AB )
第一章 随机事件和概率
加法公式的推广（多除少补原理）
对任意 n 个事件 A1 , n P Ai P Ai i 1 i 1 P Ai A j
n 1 i j n
利用多除少补原理来作概率的计算，常能使解题思路 清晰，计算便捷. 例5（匹配问题） 某人写好 n 封信，又写好 n 只信封， 然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，试求至少 有一封信放对的概率.（1708年为Montmort所解决，后
由Laplace等人推广）
解 若以 Ai 记第i 封信与信封符合，则所求的事件为
A2 , ,
An , 有
1 i j k n
P A A A
i j k
1
n 1
P A1 A2 An
提示：可用归纳法证明
推论 （次可加性）
对任意 n 个事件 A1 ,
A2 ,
,
An , 有
n n P Ai P Ai i 1 i 1
第一章 随机事件和概率
概率测度P的性质与推广:
性质 1 P() 0 ; 反之不然！
性质 （有限可加性）若 2 A1, A2, , An是两两互不相容事件, 则
P ( A1 A2 An ) P ( A1) P ( A2) P ( An )
性质（减法公式）若 3 A B ，则有 P( B A) P( B) P( A)， 且P( B) P( A)
性质 4 P( A) 1
第一章 随机事件和概率
性质 5 P( A ) 1 P( A) ;
性质 （一般加法公式） 6 P( A B) P( A) P( B) P( AB)
重 要 推 广
1) P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC )
1 n
C
3 n
n 3 !
n!
n 1
(1)
n 1
1 n!
1 1 1 2! 3!
(1)
1 n!
二、概率的可列可加性与连续性 定义1 若 An F , n 1, 2, 且 An An 1 ，则 An 是 F 中的一个单调不减的集序列. 若 An F , n 1, 2, 且 An An 1，则 An 是 F 中的一个单调不增的集序列. 定义2 对于 F 上的集合函数 P ()，若它对 F 中任何一 个单调不减的集序列 { An }均有：
很显然，根据定义，必然事件和不可能事件都在事 件域中，事件的有限及可列交、并以及差也都在事件 域中.
例1 F {, } 为一 -代数. 例2 为一
-代数.
例3
{1 , , n }, F 是由 的一切子集构成.
F 是一个有限的集合，共有元素2n 个. 这时，
F 为一
-代数. -代数.
第一章 随机事件和概率
前面讲到：事件就是某些样本点组成的集合，事件 之间的运算也就是集合运算.
但是，并没有对事件的集合进行限制. 对于事件，一 个很明显的要求就是所有事件组成的集合对于并、交 、余这三种运算封闭. 前苏联学者柯尔莫哥洛夫于1933年在《概率论基 础概念》一书中，用公理化的方法与集合论的观点 成功地解决了这一问题，提出了概率空间的概念.
(i) F ; (ii) 如果 A F ，那么 A F ;;
(iii) 如果 Ai F ，i 1, 2, ,那么
i 1
Ai F ;;
称满足上述条件的集合族为 域，也称 -代数.
F 中的元素称为事件，也称 F 为事件域. 称为必 然事件， 称为不可能事件.
例4 对于一般的 ，若 F 由 的一切子集构成，
可以验证 F 为一 注
事件域可以很简单，也可Leabharlann Baidu十分复杂，要根 据问题的不同要求来选择适当的事件域.
把任一样本空间，以及由的子集所组成的一个
-代数F x 写在一起，记为 ，F ，称为具有 -代数
结构的样本空间，简称为 可测空间
3、概率P与概率空间
概率P 为定义在事件域 上的函数，即它是一个从 到 的映射： ，且它满足 （i）
（ii） （iii）完全可加性：
称这样的P为可测空间 (, F ) 上的一个概率测度 ， 简称为概率，(, F , P ) 称为概率空间.
性质（iii）也称为可列可加性.
数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而承认的前提， 这些前提规定了所讨论的对象的一些基本关系和所满足的 条件，然后以之为基础，推演出所讨论的对象的进一步的 内容.几何学就是一个典型例子.成功地将概率论实现公理化 的是现代苏联大数学家柯莫哥洛夫.值得赞赏的不止在于他 实现了概率论的公理化，还在于他提出的公理为数很少且 极为简单，而在这么一个基础上建立起了概率论的宏伟大厦.