第14讲 二次函数

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温馨提示 一般式、顶点式、交点式是二次函数常见的表达 式， 它们之间可以互相转化 .将顶点式、 交点式去括号、 合并同类项就可转化为一般式；把一般式配方、因式 分解就可转化为顶点式、交点式 .
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考点六
二次函数的应用
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考点六
二次函数的应用
例 6(2013· 滨州)某高中学校为高一新生设计的学生 单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为 180 cm，高为 20 cm.请通过计算说明，当底面的宽 x 为 何值时，抽屉的体积 y 最大？最大为多少？(材质及其 厚度等暂忽略不计)
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解：(1)解法一：∵抛物线 y＝－x ＋bx＋c 经过点 A(3,0)，B(－1,0)，将这两点分别代入抛物线解析式中，
－9＋3b＋c＝0， b＝2， 得 解得 ∴抛物线的解析式 －1－b＋c＝0. c＝3.
2
为 y＝－x2＋2x＋3.
a，b， c 的关系
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例 5 (2013· 广安 )已知二次函数 y＝ ax ＋ bx＋ c 的图 象如图所示，对称轴是直线 x＝ 1.下列结论：① abc>0； ② 2a＋b＝0； ③b － 4ac<0； ④ 4a＋2b＋ c>0.其中正确的 是( ) A．①③ C．②④ B ．只有② D．③④
对称轴、顶点
b 对称轴是 x＝－ ，顶点坐标是 2a b 4ac－ b2 (－ ， ) 2a 4a
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二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c 函数 (a， b， c 为常数， a≠ 0) a>0 a<0
在对称轴的左侧， 即 在对称轴的左侧， 即 b b 当 x＜－ 时， y 随 当 x＜－ 时， y 随 2a 2a x 的增大而减小；在 x 的增大而增大；在 增减性 对称轴的右侧， 即当 对称轴的右侧， 即当 b b x＞－ 时， y 随 x x＞－ 时， y 随 x 2a 2a 的增大而增大， 简记 的增大而减小， 简记 为“左减右增” 为“左增右减”
二次函数的应用包括两个方面： (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系； (2)用二次函数解决最大化问题 (即最值问题)，用 二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围； (3) 利 用 二 次 函 数 的 图 象 求 一 元 二 次 方 程 的 近 似解．
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方法总结 抛物线的变换不改变图象的形状和开口大小， 只改 变位置和开口方向，故可通过确定顶点坐标、开口方向 确定变换前后的解析式.
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考点五
二次函数 y＝ ax2＋bx＋ c(a≠0)的图象与
2
2
∴抛物线的顶点坐标为(1,4)．
4×－1×3－2 2 解法二：∵x＝－ ＝1，y＝ 2×－1 4×－1 ＝4，
2
∴抛物线的顶点坐标为(1,4)．
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方法总结 1.设一般式： y＝ ax ＋ bx＋ ca≠0，若已知图象上 的任意三个点，则设一般式求解析式 . 2.设顶点式：y＝ ax－ h 2＋ ka≠ 0，若已知抛物线 的顶点坐标或对称轴与最值时，则可设顶点式求解析 式，最后化为一般式 .
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1 2 【点拨】 解法一：抛物线 y ＝ x － 1 的顶点坐标为 2 (0，－1)，将点(0，－1)先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位所得到的点为(1，－3)，所以平移后抛物线的解析式 1 为 y＝ (x－1)2－3.故选 B.解法二：根据抛物线平移的规律 2 “左加右减自变量， 上加下减常数项”可得平移后的解析式 1 1 2 为 y＝ (x－1) －1－2，即 y＝ (x－1)2－3.故选 B. 2 2 【答案】 B
2
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方法总结 解决此类题目可以先把二次函数 y＝ax2＋bx＋c 配 方为顶点式 y＝ax－h2＋k 的形式，得到：对称轴为 x＝h、最值为 y＝k、顶点坐标为h，k；也可以直接利 用公式求解.
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考点二 比较
二次函数的图象与性质及函数值的大小
例 2 (2013· 襄阳)二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象
如图所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，
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且 x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是( A．y1≤y2 C．y1≥y2 B．y1＜y2 D．y1＞y2
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2.当 x＝1 时，函数 y＝a＋b＋c.当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上横坐 标 x＝1 的点在 x 轴上时，a＋b＋c＝0；当图象上横坐 标 x＝1 的点在 x 轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图 象上横坐标 x＝－1 的点判断 a－b＋c 的符号.
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(2)顶点式：y＝a(x－h) ＋k(a≠0)，它直接显示二 次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中 x1，x2 是图象与 x 轴交点的横坐标．
2
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考点五
二次函数解析式的求法
2
1．一般式：y＝ax ＋bx＋c(a≠0) 若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出 a，b， c 的值．
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2．顶点式：y＝a(x－h) ＋k(a≠0) 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大 值或最小值，则设顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已 知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一 般式．
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二次函数 y＝ ax ＋ bx＋ c 函数 (a， b， c 为常数， a≠ 0) a>0 a<0
2
抛物线有最低点， 抛物线有最高点， 当 b b 当 x＝－ 时， y x＝－ 时， y 有最 2a 2a 有最小值， y 4ac－ b2 ＝ 4a
)
【点拨】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1，当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大．∵x1＜x2＜1，
∴y1＜y2.故选 B.
【答案】 B
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方法总结 当二次函数的解析式与已知点的坐标中含有未知 字母时， 可以用如下方法比较函数值的大小： 1用含有 未知字母的代数式表示各函数值，然后进行比较； 2在相应的范围内取未知字母的特殊值， 采用特殊值法 求解；3根据二次函数的性质，结合函数图象比较.
考点二
函数
二次函数的图象和性质
二次函数 y＝ ax ＋ bx＋ c (a， b， c 为常数， a≠ 0) a>0 a<0
2
图象
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二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c 函数 (a， b， c 为常数， a≠ 0) a>0 a<0
抛物线开口向 抛物线开口向 开口 上，并向上无限 延伸 下，并向下无限 延伸
2
2
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【点拨】 由抛物线开口向上，得 a ＞ 0. 由对称轴在 y 轴右侧， 得 b＜0.由抛物线与 y 轴交于正半轴， 得 c＞0.∴abc b ＜0，∴①错误；由对称轴－ ＝1，得－b＝2a，即 2a＋b 2a ＝0，∴②正确；由抛物线与 x 轴有两个交点，得 b2－4ac ＞0，∴③错误；由抛物线的对称性可得，当 x＝2 时，y ＞0，即 4a＋2b＋c>0，∴④正确．故选 C. 【答案】 C
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第14讲
二次函数
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考点一
二次函数的定义
2
1．一般地，如果 y＝ax ＋bx＋c(a，b，c 是常数， a≠0)，那么 y 叫做 x 的二次函数． 2．二次函数的三种基本形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)；
抛物线与几何变换
1 2 例 4 (2013· 恩施州)把抛物线 y＝ x －1 先向右平移 2 1 个单位，再向下平移 2 个单位，得到的抛物线的解析 式为( ) 1 2 B．y＝ (x－1) －3 2 1 2 D．y＝ (x－1) ＋1 2
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1 2 A．y＝ (x＋1) －3 2 1 2 C．y＝ (x＋1) ＋1 2
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解法二： ∵抛物线与 x 轴的两交点为(3,0)， (－1,0)， 且 y＝－x2＋bx＋c， ∴抛物线的解析式为 y＝－ (x－ 3)(x＋ 1)，即 y＝ －x2＋2x＋3.
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(2)解法一：∵ y＝－x ＋2x＋3＝－(x－1) ＋4，
2
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3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标， 则设交点式 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 将第三点的坐标 或其他已知条件代入，求出待定系数 a，最后将解析式 化为一般式．
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最小值
最值
大值，y 4ac－ b2 4a
最 大 值
＝
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注意：当 x＝ 1 时， y＝ a＋b＋ c；当 x＝－ 1 时， y＝ a－ b＋ c.若 a＋b＋ c＞0，即当 x＝ 1 时， y＞ 0； 若 a－ b＋ c＞0，即当 x＝－ 1 时， y＞ 0.
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考点四 二次函数图象的平移 任意抛物线 y＝a(x－ h)2＋k 可以由抛物线 y＝ ax2
经过平移得到，具体平移方法如下：
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温馨提示 二次函数图象间的平移可看作是顶点间的平移， 因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函 数图象间的平移 .
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方法总结 1.可根据对称轴的位置确定 b 的符号：b＝ 0⇔对称 轴是 y 轴； a， b 同号 ⇔对称轴在 y 轴左侧； a， b 异号 ⇔对称轴在 y 轴右侧 .这个规律可简记为“左同右异 ”.
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考点三
用待定系数法求二次函数的解析式
2
例 3 (2013· 湖州)已知抛物线 y＝－x ＋bx＋c 经过 点 A(3,0)，B(－1,0)． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标． 【点拨】 本题考查用待定系数法求二次函数的解析 式及用公式法求抛物线的顶点坐标．
2
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3.设交点式： y＝ ax－ x1x－ x2a≠ 0，若已知二
次函数的图象与 x 轴的交点坐标为 x1， 0， x2， 0时， 可设交点式求解析式，最后化为一般式.
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考点一
求抛物线的顶点、对称轴、最值
2
例 1 (2013· 镇江)二次函数 y＝x －4x＋5 的最小值是 ( ) A．－1 B．1
2
C．3
2
D．5
【点拨】∵y＝x －4x＋5＝ (x－2) ＋1，∴当 x＝2 时，二次函数 y＝x －4x＋5 的最小值是 1.故选 B. 【答案】 B