量子力学第四版卷一[曾谨言著]习题答案解析

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第一章

量子力学的诞生

1.1设质量为m 的粒子在谐振子势222

1

)(x m x V ω=中运动,用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示:利用 )]([2,,2,1,

x V E m p n nh x d p -===⋅⎰

)(x V

解:能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ (1) 其中a 由下式决定:222

1

)(a m x V E a x ω===。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a =

, (2)

a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件

h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a

a

a

a

==⋅=-=-=⋅⎰⎰

⎰+-+-222222222)21(22πωπ

ωωω

得ω

ωπm n

m nh a 22

=

=

(3) 代入(2),解出 ,3,2,1,

==n n E n ω (4)

积分公式:

c a

u a u a u du u a ++-=-⎰

arcsin 2222

22

2

1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解:除了与箱壁碰撞外,粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变,仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向,把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件,对于x 方向,有

()⎰==⋅ ,3,2,1,

x x x

n h n dx p

即 h n a p x x =⋅2 (a 2:一来一回为一个周期)

a h n p x x 2/=∴,

同理可得, b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,

,3,2,1,,=z y x n n n

粒子能量

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n m

p p p m E z

y x z y x n n n z

y x π ,3,2,1,,=z y x n n n

1.3设一个平面转子的转动惯量为I ,求能量的可能取值。 提示:利用

,,2,1,20

==⎰

n nh d p π

ϕϕ ϕp 是平面转子的角动量。转子的能量I p E 2/2

ϕ=。

解:平面转子的转角(角位移)记为ϕ。

它的角动量.

ϕϕI p =(广义动量),ϕp 是运动惯量。按量子化条件

,3,2,1,220

===⎰

m mh p dx p ϕ

π

ϕπ

mh p =∴

ϕ,

因而平面转子的能量

I m I p E m 2/2/222

==ϕ,

,3,2,1=m

1.4有一带电荷e 质量m 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.

(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是r ,线速度是v ,用高斯制

单位,洛伦兹与向心力平衡条件是:

r

mv c Bev 2

= (1) 又利用量子化条件,令=p 电荷角动量 =q 转角ϕ

nh mrv mrvd pdq ===⎰⎰

πϕπ

220

(2)

即 nh mrv = (3) 由(1)(2)求得电荷动能=

mc

n

Be mv 2212 = 再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能

=c B r ev c c *****2π==场强线圈面积电流场强磁矩,v 是电荷的旋转频率, r

v

v π2=,代入前式得

运动电荷的磁势能=mc

n

Be 2 (符号是正的) 点电荷的总能量=动能+磁势能=E=mc

n

Be 2 ( 3,2,1=n )

1.5,1.6未找到答案

1.7(1)试用Fermat 最小光程原理导出光的折射定律

α

α2

2

1

1

sin sin n n =

(2)光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难: 如认为光是粒子,则其运动遵守最小作用量原理⎰=0pdl δ 认为mv p =则⎰=0pdl δ这将导得下述折

射定律

α

α1

3

3

1

sin sin n n =

这明显违反实验事实,即使考虑相对论效应,则对自由粒子:2c

Ev

p =仍就成立,E 是粒子能量,从一种媒质到另一种媒质E 仍不变,仍有⎰=0pdl δ

,你怎样解决矛盾?

(解)甲法:光线在同一均匀媒质中依直线传播,因此自定点A 到定点B 的路

径是两段直线:光程

QB AQ I n n 21+=

设A ,B 到界面距离是a,b(都是常量)有

αα2211sec sec b a I n n +=

又AB 沿界面的投影c 也是常数,因而

α1

,α

2

存在约束条件:

c btg atg =+αα21 (2)

求(1)的变分,而将

α1

2

看作能独立变化的,有以下极值条件

0sec sec 22221111=+=ααααααδd tg b tg a I n d n (3)

再求(2)的变分 0sec sec

222

112

==+c d b a d δαααα

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