典型例题第三章一阶微分方程的解的存在定理
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第三章 一阶微分方程的解的存在定理
例3-1 求方程
22y x dx
dy
+= 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。
解 函数2
2
),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域
b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=0
)0(22y y
x dx
dy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),,
min(22),(y x M M
b
a h D y x +==∈。
因为逐次逼近函数序列为
⎰-+=x
x n n dx x y x f y x y 0
))(,()(10，
此时，2
200),(,0,0y x y x f y x +===，所以
0)(0=x y ，
⎰=+=x
x dx x y x x y 03
2
02
13
)]([)(，
63
3)]([)(7
032
12
2x x dx x y x x y x
+=+=⎰，
⎰⎰
+++=+=x
x
dx
x x x x dx x y x x y 0
14
1062
2
223)3969
18929()]([)(
59535
20792633151173x x x x +++=。 现在求h 的最大值。 因为 ),,
min(2
2b
a b
a h += 对任给的正数
b a ,，ab b a 22
2
≥+，上式中，当 b a = 时，
2
2b a b
+取得最大值
a
ab b 21
2=
。
此时，)21,min()2,
min(a a ab b a h ==，当且仅当a
a 21
=
，即22==b a 时，h 取得最大值为
2
2
。 评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。特别地，对其中的b
y a x D y x f M M
b
a h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),,
min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列⎰
-+=x
x n n dx x y x f y x y 0
))(,()(10的构造过程的理
解。
例3-2 证明下列初值问题的解在指定区间上存在且唯一。 1） 2
1
0,0)0(cos 2
2≤
≤=+='x y x y y ，。 2） 32
2
)2
1(0,0)0(≤≤=+='x y y x y ，
。 证 1） 以原点为中心作闭矩形区域1,2
1
:≤≤
y x D 。 易验证2
2
cos ),(x y y x f +=在区域D 上满足解的存在唯一性定理的条件，求得
2cos m ax 22),(=+=∈x y M D y x ，则2
1
)21,21min(==h 。
因此初值问题
⎩⎨
⎧=+='0
)0(cos 2
2y x y y 的解在]21,21[-
上存在唯一，从而在区间]2
1
,0[上方程 cos 22，
x y y +='满足条件0)0( =y 的解存在唯一。
2） 以原点为中心作闭矩形区域b y a x D ≤≤,:。
易验证x y y x f +=2
),(在D 上满足解的存在唯一性定理的条件，并求得
22),(m ax b a x y M D
y x +=+=∈，
则),
min(2
b a b
a h +=。 由于
b a b a 22
≥+，所以当2b a =时，当2
b a +取到最小值b a 2，从而
2
b
a b
+可
取到最大值
a
b
a b 212=
，故)21,
min(a
a h =。
当且仅当a
a 21
=，即31
32
)21(,)21(==b a 时，h 取到最大值为32
)21
(=h 。
即证明了初值问题⎩⎨⎧=+='0
)0(2y x y y 的解在区间])21(,)21([3
2
32-上存在唯一。
从而在区间])2
1
(,0[32
上解存在唯一。
评注：此例是应用解的存在唯一性定理，求出初值问题解存在唯一的区间。一般解法是先作出适当的闭矩形区域；然后验证在此区域中满足解的存在唯一性定理的条件；最后求出定理中的h 。
例3-3 证明如果在闭矩形域D 上y
f
∂∂存在且连续, 则),(y x f 在D 上关于y 满足利普希兹条件，反之不成立。
证 因为在闭矩形域D 上
y f ∂∂存在且连续,所以y
f ∂∂在区域D 上有界，即0>∃M ，D y x ∈∀),(有
M y
y x f ≤∂∂)
,( 成立，利用中值定理，D y x y x ∈∀),(),,(21
2121)
,(),(),(y y y
x f y x f y x f -⋅∂∂-ξ＝
21y y M -≤， 其中ξ是介于21,y y 之间的点，命题得证。
反之不成立。 因为对于方程
y dx
dy
=，取以原点为中心的矩形域D ，y y x f =),(在0=y 无导数， 但212121),(),(y y y y y x f y x f -≤--＝，
故),(y x f 在D 上关于y 满足利普希兹条件。