数学 教案人教版 八升九-8 一次函数与方程不等式

第八讲一次函数与方程、不等式

［教学内容］

《动态数学思维》暑期衔接版，八升九第八讲“一次函数与方程、不等式”.

［教学目标］

知识技能

1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系；

2.通过具体问题初步体会一次函数的变化与一元一次不等式解集的联系；

3.感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，并渗透“数学结合”思想.

数学思考

1.经历不等式与函数问题的探讨过程，学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想；

2.在教学过程中，学生体会数学中的比较和转化思想.

问题解决

1.通过观察函数图象解决不等式解集问题，培养学生的观察能力、分析能力、归纳总结能力．

2.在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论.

情感态度

学生在小组合作学习中体验学习的快乐，合作交流的好氛围，让学生更有机会体验自己与他人的想法，从而掌握知识，发展技能，获得愉快的心里体验.

[教学重点、难点]

重点：初步建立“数”（一元一次不等式）与“形”（一次函数）之间的关系，根据一次函数的图象求一元一次不等式的解集.

难点：理解一元一次不等式、一元一次方程、一次函数之间的关系及实际运用.

[教学准备]

动画多媒体语言课件.

第一课时

龟兔第二次赛跑

龟兔赛跑，小兔子输掉了比赛，非常不服气，于是就邀请乌龟进行第二次比赛，为了证明自己的实力，兔子决定让乌龟先跑200米,整个全程是350米（如图）.请问:在不出意外的情况下,这次到底谁赢?

（读兔子决定让乌龟先跑200米时，图中画0-200线段，200左边写乌龟）（读整个全程是350米时，图中画0-350线段，0左边写兔子）

小萍:图中上面线段画紫色

当s=350时,对于乌龟来说，由2t+200=350,解得t=75，

即乌龟跑到终点需75分钟.

小颖:图中下面线段画蓝色

当s=350时,对于兔子来说，由70t=350,解得t=5，

即兔子跑到终点需5分钟，

所以在不出意外的情况下,这次兔子赢.

师：你能分别计算出乌龟和兔子跑到终点分别需要多长时间吗？

生：列方程计算后确定谁赢.

师：接下来我们一起来回想一下一次函数与一次方程的关系.

回顾：

y

-

b

,0

()

y=kx+b

y

b

()

y=kx+b

探究类型之一一次函数与一元一次不等式

例1 如图，直线y1=kx+b过点A（0，2），且与直线y2=mx交于点P（1，m),则不等式组mx＞kx+b＞mx-2的解集是________.

解析：小手画y1 描点A P

把点A的坐标代入y1=kx+b可得b=2，

把点P的坐标代入y1=kx+2可得k= m-2；

（下一步）

原不等式组可化为mx＞mx-2x+2＞mx-2，

即0＞-2x+2＞-2；

（下一步）

解不等式组得1＜x＜2.

答案：1＜x＜2

1.教师指定学生读题，并说一下自己能够获得的信息.

生：把点A的坐标代入可以得到b=2.把点P的坐标代入可以得到k+b=m，所以m-k=2.

师：很好，如果题目告诉我们一条直线经过某一点，那么我们就可以把点的坐标代入来确定字母系数的值或者关系.但是知道只这些，要求的不等式组中k和m我们还是不知道，如何来求不等式组的解集呢？小组内讨论一下吧.

2.学生小组讨论，讨论结束后每小组派代表说一说自己小组的讨论结果.

生1：我们是把k用m表示出来，然后带进去解不等式得到结果的.

因为m-k=2，所以k=m-2，原不等式组就化为mx＞mx-2x+2＞mx-2，也即

0＞-2x+2＞-2，然后解不等式组就可以得到1＜x＜2.

师：有没有和他们想法不太一样的？

生2：我们是根据图象来确定的.mx＞kx+b表现在图象上就是直线y2=mx在直线y1=kx+b的上方，又P的坐标为（1，m），所以我们很容易可以得到x＞1.把直线y2=mx

向下平移2个单位就可以得到y=mx-2，（教师可以让学生上台画图）然后再确定直线y1=kx+2和直线y=mx-2的交点的很坐标就可以了.

师：那么它们交点的横坐标你是怎么求的？

生2：联立y1=kx+2和y=mx-2组成方程组可以求得x=

4

m k

=2.这样就能得到不等

式组mx＞kx+b＞mx-2的解集是1＜x＜2.

3.师小结：（1）不等式ax+b＞0（或ax+b＜0）的解集就是一次函数y=ax+b的值大于0（或小于0）时x的取值范围；

（2）若解不等式ax+b＞cx+d（或ax+b＜cx+d）（a，b，c，d为常数，且a≠c），则可化为最简一元一次不等式,也可以将两边分别看作一次函数,利用一次函数的图象求解.

探究类型之二一次函数与一次方程（组）

例 2 点A,B,C,D的坐标如图所示,求直线AB与直线CD的交点坐标.

解析：小手描点A,B,画直线AB.红小手描点C,D,画直线CD.蓝

先用待定系数法分别求出直线AB和CD的函数解析式，然后联立组成方程组求解.

答案：

解：设直线AB的函数解析式为y=k1x+b1，直线CD的函数解析式为y=k2x+b2，

则11

1

30,

6,

k b

b

-+=

⎧

⎨

=

⎩

22

2

20,

1,

k b

b

+=

⎧

⎨

=

⎩

解得1

1

2,

6,

k

b

=

⎧

⎨

=

⎩

2

2

1

,

2

1,

k

b

⎧

=-

⎪

⎨

⎪=

⎩

所以直线AB的函数解析式为y=2x+6，直线CD的函数解析式为y=

1

2

-x+1.

下一步

解方程组

26,

1

1,

2

y x

y x

=+

⎧

⎪

⎨

=-+

⎪⎩

得

2,

2,

x

y

=-

⎧

⎨

=

⎩

所以直线AB与直线CD的交点坐标为(-2,2).

学生独立解答，教师指定学生上台解答并讲解并小结：(1)用待定系数法求一次函数的解析式；(2)两直线的交点坐标可以看作两个一次函数解析式所组成方程组的