第11章-狭义相对论3

质点相对于 S 系的速度：vx
dx , dt
vy
dy , dt
vz
dz dt
质点相对于 S' 系的速度：vx
dx , dt
vy
dy , dt
vz
dz dt
由洛伦兹坐标变换式
x (x ut),
得
y y,
z z,
t
(t
u c2
x)
dx dt
dx dt dt dt
dx dt
u
,
1
u c2
1971年，美国空军用两组Cs(铯)原子钟做实验。 发现绕地球一周的运动钟变慢了 203±10 ns，而按广 义相对论预言运动钟变慢 184 ± 23 ns，在误差范围内 理论值和实验值一致，验证了孪生子效应。
四、因果律
不同惯性系中观测的两个事件，时间顺序 (时序)
能否颠倒？
惯性系 S
S'
事件 1 (x1, t1) (x1, t1)
解：以太阳参考系为 S 系，以地球参考系为 S' 系。
S' 系相对于 S 系的速度 y
y' vx
是 u， vx = 0, vy = –c, vz = 0
c
uc
vy
代入洛伦兹速度变换,得 O
x O'
x'
vx u, vy c 1 u2 / c2 , vz 0
v vx2 vy2 vz2 c 光速不变，大小仍为 c
uvx c2
,
vz
vz
1u2 / c2
1
uvx c2
讨论 1. 当 u 和 vx << c 时，转化为伽利略速度变换。
2. S 系中的光速 vx 即光速不变。
=
c，在
S'
系中
vx
cu
1
uc c2
c,
例1 从地球上观察两飞船分别以 0.9c 的速率沿相反方 向飞行，求一个飞船相对于另一飞船的速率。
设想有一对孪生兄弟，哥哥告别弟弟乘宇宙飞船 去太空旅行。在各自的参考系中，哥哥和弟弟的细胞 分裂周期都是2.4年。但由于时间延缓效应，在地球上 的弟弟看来，飞船上的哥哥的细胞分裂周期要比 2.4 年长，他认为哥哥比自己年轻。而飞船上的哥哥认为 弟弟的细胞分裂周期也变长，弟弟也比自己年轻。
假如飞船返回地球兄弟相见，到底谁年轻就成了 难以回答的问题。
问题的关键是，时间延缓效应是狭义相对论的结 果，它要求飞船和地球同为惯性系。要想保持飞船和 地球同为惯性系，哥哥和弟弟就只能永别，不可能面 对面地比较谁年轻。这就是通常所说的孪生子佯谬 (twin paradox)。
如果飞船返回地球则在往返过程中有加速度，飞 船就不是惯性系了。这一问题的严格求解要用到广义 相对论，计算结果是，兄弟相见时哥哥比弟弟年轻。 这种现象，被称为孪生子效应。
dx dt
dy
dy
dy dt
dt dt
dt
dt
1
u c2
dx dt
相对论速度变换
vx
vx 1
u
uvx c2
,
vy
vy
1u2 / c2
1
uvx c2
,
vz
vz
1u2 / c2
1
uvx c2
逆变换 (带撇和不带撇的量互换，并把 u 换成 –u )
vx
vx 1
u
uvx c2
,
vy
vy
1u2 / c2
1
所以一个飞船相对于另一飞船的速度为 0.994c，与伽
利略变换的结果 1.8c 很不相同。
例2 原长为 L' 的飞船以速度 u 相对于地面做匀速直线
运动。 有个小球从飞船的尾部运动到头部，宇航员测
得小球的速度恒为 v'，求：(1) 宇航员测得小球运动所
需时间；(2) 地面观测者测得小球运动所需时间。另解
解：把 S 系建立在地球上， y
y'
把 S' 系建立在建立在其中 u= –0.9c vx= 0.9c
一个飞船上，S' 系相对于 S 系的速度 u = –0.9c，
O' x'
vx = 0.9c
O
x
vx
vx u
1
uvx c2
0.9c (0.9c) 1.8 c 0.994c 1 (0.9) 0.9 1.81
tg | vx | | vy | u / c 1 u2 / c2 u / c 104, 20.6
§11.5 相对论动力学基础
一、相对论动量和质量
爱因斯坦相对性原理要求在洛伦兹变换下，物理
规律 (动量定理、动能定理等) 保持不变 (协变性)。 按照经典力学中动量的定义 p m0v，动量定理
【例】孪生子佯谬和孪生子效应
1961年，美国斯坦福大学的海尔弗利克在分析大 量实验数据的基础上提出，寿命可以用细胞分裂的次 数乘以分裂的周期来推算。对于人来说细胞分裂的次 数大约为50次，而分裂的周期大约是2.4年，照此计 算，人的寿命应为120岁。因此，用细胞分裂的周期 可以代表生命过程的节奏。
在伽利略变换下保持不变；爱因斯坦修改了动量的定
解：(1) t x L v v
(2) 由 x x ut 得 x x ut
1u2 / c2
1u2 / c2
而且
v
v u
1
uv c2
所以
t
x
v
1 v
u c2
L 1u2 / c2
L u L v
1u2 / c2
例3 在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面， 速率为 c，而地球以速度 u = 30km/s 垂直于光线运动。 求在地面参考系中测量，星光速度的大小和方向。
当
u c2
x2 t2
x1 t1
1
时，出现时序颠倒。
若事件 2 是事件 1 的结果，则事件 1 向事件 2 传递
了某种信号，vS
x2 x1 t2 t1
是信号传递的速度，
Байду номын сангаас
因为 u c, vS c，所以有因果关系的事件不能发
生时序颠倒。
时序颠倒只能发生于无因果关系的两个事件之间。
§11.4 相对论速度变换
沿两个惯性系相对运动方向上不同地点发生的两 个事件，若在一个惯性系同时发生，则在另一个惯性 系中观测不同时发生；在前一惯性系相对于后一惯性 系运动后方的那个事件先发生。称为同时的相对性。
t t t 1 u2 / c2
两个事件的时间间隔，固有时最短。
x x 1u2 / c2
x < x' 表明棒的运动长度比静止长度缩短，这个效应 称为长度收缩。棒的静止长度叫固有长度，也叫原长。 与所有运动长度相比，固有长度最长。
事件 2 (x2 , t2 ) (x2 , t2 )
t2
t1
(t2
t1) 1
u c2 u2
( x2 / c2
x1)
S S' u
12
t2 t1 1u2 /c2
1
u c2
x2 t2
x1 t1
t2 > t1 时，可能有 3 种情况 t2 t1, t2 t1, t2 t1
当
u c2
x2 x1 1 时，出现时序颠倒。 t2 t1