三维柔性多体梁系统非线性动力响应分析

振　动　与　冲　击

第25卷第1期

J OURNAL OF V IBRATI ON AND SHOCK

Vo.l 25No .12006　

三维柔性多体梁系统非线性动力响应分析

收稿日期:2005-01-09

第一作者吴国荣男,博士,副教授,1966年10月生

吴国荣1

　钟伟芳2

　梁以德

2

(1.福建工程学院土木系,福州　350007;　2.华中科技大学力学系,武汉　430074)

摘　要　研究了三维柔性多体梁系统的非线性动力响应问题。将空间柔性梁的变形分解为轴向变形以及在x -y

平面的弯曲变形和在x -z 平面的弯曲变形,引用各自的精确振动模态描述变形场,利用拉格朗日乘子法建立起柔性多体梁系统约束非线性动力学方程。结合N e wma rk 直接积分法和N e w t on -R aphson 迭代法,导出了求解该非线性代数-微分

方程组的数值方法。仿真算例证明了该方法的正确性和有效性。

关键词:多体系统,三维柔性梁,非线性,动力响应

中图分类号:O 32,TB1 文献标识码:A

0　引　言

随着现代机械系统向高速、轻质和高精度发展,使

得在机械系统设计和动力学分析时,应用传统的多刚体系统动力学分析方法不能得到正确的结果,必须考虑构件在大范围刚性运动时柔性变形的影响。这类计及部件变形的多体系统称为柔性多体系统。近年来,考虑刚柔耦合的柔性多体系统的研究已成为多体系统中最主要的研究方向,各国学者对此作了大量的研究工作,提出了不少新的方法处理柔性多体系统动力学

问题,如有限元方法[1-5],有限段方法[6-8]

,子结构方法[9-10],模态综合法[11-12]。

研究了三维多体梁系统非线性动力响应问题。将空间柔性梁的变形分解为轴向变形和弯曲变形,并用各自的解析模态来近似描述。使用带乘子的拉格朗日方程导出了柔性多体系统动力学方程。基于N e wm ark

直接积分法结合N e w ton -Raphson 迭代法[13]

,给出了求

解该约束非线性方程的数值方法。数值模拟结果表明了本文方法的有效性

。

图1空间柔性梁的弹性位移示意图

1　运动学

建立如图1所示的坐标体系来描述作空间运动的柔性梁的构形,其中OXYZ 为惯性坐标系,O i X i Y i Z i

为随体坐标系。柔性体的变形在随体坐标系中描述。随体坐标系的方位由三个相互独立的欧

拉角 i , i 及ψi 确定。考虑其上任一点P i

,它的空间位置可表示为:

r i P =R i +A i u i (1)上式中:R i

为随体坐标系的坐标原点的位置矢量,u i 为点P i 变形后的局部坐标,矩阵A i

为坐标变换矩阵,其定义为:

A i

=C i C ψi -C i S i S ψi -S ψi C i -C i S i C ψi S i S i

S i C ψi +

C i C i S ψi -S ψi S i +C i C i C ψi

-S i C i S i S ψi

S i C ψi

C i

(2)

其中S =si n ()及C =cos ()。

可把矢量u i

分解为:

u i =u i o +u i f (3)

其中u i o 是在变形前点P i 的局部坐标,而且u i

f 为随体坐标下该点的形变位移矢量。

把式(3)代入式(1),得:

r i p =R i +A i (u i o +u i f )(4)

方程(4)的两边对时间求导,并注意到·u i

0=0,得:·r i p

=·R i

+A i

(ωi

×(u i o

+u i f

))+A u i i

f (5)这里ωi

为随体坐标系下的角速度,它可表示为:

ωi =G i θ·i (6)

其中θi =[ i i ψi ],G i

为如下定义的矩阵:

G i

=S i S ψi C ψi 0

-S i C ψi

-S ψi 0C i

1

2　空间梁的变形描述

假设柔性构件为空间Ber noulli -Euler 梁,其弹性变形分

DOI 牶牨牥牣牨牫牬牰牭牤j 牣cn ki 牣jvs 牣牪牥牥牰牣牥牨牣牥牥牱

解为应用模态展开法,其变形场可近似表示为:轴向变形u i

、

在x -y 平面的弯曲变形νi 以及在x -z 平面的弯曲变形w i

(如图1),应用模态展开法,其变形场可近似表示为:

u i (x ,t )=∑

u i n (x )a i

n (t )

νi (x ,t )=∑νi

n (x )b i

n (t )w i

(x ,t )=∑w i

n

(x )c i n

(t )

(7)

上式中a i

n (t )、b i

n (t )、c i

n (t )为广义坐标。u i

n (x )为纵向振动模态,νi

n (x )

和w i

n (x )分别为在x -y 平面和x -z 平面的弯曲振动模态。

利用(7)式,点P i

的形变位移矢量可写为:

u i

f =N i

q i

f

(8)其中N i

是由u i

n (x )、νi

n (x )和w i

n (x )构成的形函数矩阵,q i

f 是由时变系数a i

n (t )和b i

n (t )和c i

n (t )构成的弹性坐标。

3　控制方程

3.1　运动梁的动能

把式(8)代入式(5),得:

·r i p =·R i +A i

(ωi ×

(u i ))+A i N i ·q i f (9)

利用方程(6)及如下恒等式:

ωi

×u i

=-u i

ω

i

其中u i

反对成矩阵,方程(9)可化为如下矩阵形式:

·r i

p

=[I 3×3-A i u i

G i

　A i

N i

][·R i

　θ·i

　·q i f ]

T

(10)运动梁的动能可写为:

T i =12∫

V i ρi ·r i p dV i =12

·q i T M i ·

q i (11)

其中

q i

=R i T

　θi

　q i T

f

T

(12)M i

=∫

V i

ρi

I 3×3 B i

A i

N

i

　B i T B i B i T A i N i

symm e tric N i T

N

i

(13)

这里ρi

为材料密度,矩阵B i 定义如下:

B i

=-A i u i

G i

(14)

3.2　运动梁的应变能

在小变形的条件下,包含轴向力效应的空间梁的应变能为:

U i =

12

∫

l i

0{E i a i

u 2 x

2

+f i

x

v i ax 2

+

w i x 2

+E i I

i yy

2ν

i x

22

+E i I

i

zz

2

w i x

22

}dx

(15)

这里E i

为剪切模量,a i

为截面面积,I i

yy 和I i

zz 为截面二次矩,f i

x 为轴向力,其定义如下:

f i

x =∫a i E i

( u i

/ x )da 式(15)可以写成如下的矩阵形式:

U i =

∫

l i

0 u i / x

v i / x

w i

/ x 2v i

/ x 2 2w i / x 2

T

E i a i

f i x

f i x

E i I i yy

E i I i

zz

u i / x

v i / x w i / x

2v i

/ x 2 2w i / x 2

dx

(16)

用弹性坐标q i f

表示应变,有:

[ u i

/ x v i

/ x w i

/ x 2

v i

/ x 2

2

w i

/ x 2

]

T

=( S i / x )q i

f (17)

其中S

i

=u i 1u i

2… v i 1v i

2… w i

1w i

2…

v i

1/ x v i

2/ x …

w i

1/ x w i

2/ x …把(17)式代入(16)式,得:

U i =12q i f K i ff q i f

(18)

这里

K

i ff

=∫

li

0( S i

/ x )T

E i a

i

f i

x

f i

x

E i I i

yy E i I i

( S i

/ x )dx

(19)

把变形能统一以广义坐标q i

表示

U i =12

q i T K i q

i (20)

上式中

K i

=06×6

K i

ff

3.3　动力学方程

定义系统广义坐标如下:

q =[q 1T

　q 2T

　…　q N T

]T

(21)

上式中N 为系统包含的个体数。系统总的动能和应变能可写为:

T =∑N i =1T i =12q T M q 和U =∑N

i =1U i =12

q T

Kq 假设系统所受的约束为一组完整约束,其可用如下非线性方程表示:

C (q ,t )=0(22)利用带乘子的拉格朗日方程,导出系统的动力学

方程如下:

M q ..

+Kq -C T

q λ=F +Q v

(23)

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