经典课件：中南大学高等数学

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思考题解答
不能保证.
例 f (x) 1 x
x0, 有 f(x) 1 0 x
limf(x)lim1A0.
x
x x
.
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一、填空题:
练习题
1 、 凡 无 穷 小 量 皆 以 _ _ _ _ _ _ _ _ 为 极 限 .
2、_在 ____ 条 __ 件 ,直 __ 下 y线 _ c是函数 yf(x)的水平 . 渐近线
证 设及是当 x时的两个, 无穷小
0 , X 10 ,X 20 ,使得
.
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当xX1时
恒 有 2;当xX2时
恒Fra Baidu bibliotek有 ;
2
取 Xma X 1,x X 2} {,当x X时,恒有 ,
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0 (x )
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如 ,n时,1是无穷小， n
但n个1之和1不 为是无.穷小 n
.
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定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证 设函u在 数 U(x0,1)内有界，
则 M 0 ,10 ,使0 得 x当 x 01 时 恒u 有 M .
又 设 是x当 x0时的无 , 穷小
0,20,使得 0x当 x02时 恒 有 .
M
.
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取 m 1 i, n 2}{ 则 , 0 当 xx 0 时 ,恒有 uu M ,
记作 lim f (x) 0 (或lim f (x) 0).
xx0
x
.
2
例如,
lim six n0, 函s数 ix n是x当 0时的无 . 穷 x 0
lim1 0, x x
函数 1是当 x时的无. 穷 x
lim(1)n n n
0 , 数{列 (1)n}是n 当 时的无 . 穷 n
注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
其 中 (x)是x当 x0时的,无穷小
则由极限l定 imf义 (x)有 A. xx0
.
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意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小); 2.给出了函 f(x数 )在x0附近的近似表达 f(x)A,误差为 (x).
3. 无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
大),总存在正数 (或正数 X ),使得对于适合不等式
0 x x0 (或 x X )的一切 x,所对应的函数
值 f ( x)都满足不等式 f ( x) M ,
则称函数 f ( x)当 x x0(或 x )时为无穷大,
记作 lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
x x0
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大.
.
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思考题
若 f(x)0， 且 lim f(x)A， x
问 ： 能 否 保 证 有 A0的 结 论 ？ 试 举 例 说 明 .
.
x
.
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特殊情形：正无穷大，负无穷大．
lim f(x ) (或 lim f(x ))
x x 0 (x )
x x 0 (x )
注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
2.切勿 li将 m f(x)认为极.限存 xx0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
.
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例如,当x0时, y 1sin1 xx
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证 设lim f(x). x x0 0,0,使得 0x 当 x0时
恒f有 (x)1, 即
1 f (x)
.
当xx0时, f(1x)为无穷 . 小
.
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反 ,设 l之 if( m x ) 0 ,且 f( x ) 0 . x x 0
不是无穷大．
.
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例证l明 im1 . x 1x1
证 M0. 要使 1 M,
x1
y 1 x1
只要 x1 1, 取 1 ,
M
M
当 0x11时 ,就有 1 M.lim 1 .
M
x1
x1 x1
定:义 如l果 im f(x) ,则 x x0
直 xx线 0是
函 yf数 (x)
的图形的 . 铅直渐近线
.
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M 当 x x0时 ,u为无 . 穷小
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例,当 如 x 0时 ,xsi1n ,x2arc1t都a是n 无穷小
x
x
.
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二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么
2.零是可以作为无穷小的唯一的数.
.
3
2. 无穷小与函数极限的关系:
定理1 limf(x)Af(x)A(x), xx0
其中(x)是当xx0时的无穷小.
证 必要性 设lim f(x)A, 令 (x )f(x )A , x x0
则由极限l定 im义 (x)有 0, f(x ) A (x ). xx0 充分性 设 f(x ) A (x ),
一、无穷小
1.定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正数 ( 或正数X ), 使得对于适合不等式
0 x x0 (或 x X )的一切x ,对应的函数值
f (x)都满足不等式 f (x) ,
那末 称函数 f (x) 当x x0 (或x )时为无穷小,
M0,0,使得 0x 当 x0时
恒f有 (x)1, M
由f于 (x)0, 从而 1 M. f (x)
当xx0时, f(1x)为无穷 . 大
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
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四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
3、 lim f(x)A____ f(x _) _A _ , x x0 (其l中 im 0). x x0
4、在同一 ,若 过 f(x程 )是中 无穷 , 大 则____是 __无穷 . 小
是一个无界,变 但量 不是无穷 . 大
y 1sin1 xx
(1) 取 x0
1
(k0,1,2,3, )
2k
2
y(x0)2k2, 当 k充分 ,y(x 大 0)M 时 . 无界，
(2 )取 x 0 2 k 1 (k 0 ,1 ,2 ,3 , )
当 k充分,x 大 k时 ,
但 y (x k ) 2 k s2 ik n 0M .