经典课件：中南大学高等数学
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高等数学A-第1章-8-7(函数连续性)
lim f [ ( x)] f (a) f [ lim ( x)].
x x0
x x0
当函数连续时，极限符号与函数符号可以交换位置。
定理4 （连续函数的复合函数是连续函数）
设函数 u g( x) 在点 x x0连续, 且 g( x0 ) u0 , 而函数 y f (u) 在点u u0 连续, 则复合函数 y f [g( x)]在点 x x0也连续.
x x0
(2)对于区间的左端点只要右连续则称为连续； 对于区间的右端点只要左连续则称为连续.
4.函数在区间上的连续性
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 如果函数在开区间(a,b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点x b处左连续, 则称 函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续.
解： f ( x) 1 在x 0处没有意义, x
x 0为f ( x)的间断点.
又 lim f ( x) lim 1 ,
x0
x0 x
这时称x=0为f(x)的无穷间断点.
例6.设f ( x) sin 1 ,讨论x 0处的连续性. x
解: f ( x) sin 1 在x 0处没有意义, x
可见，f(x)在x0处连续必须满足三个条件：
(1) f ( x0 )有定义 (2) lim f ( x)存在
x x0
(3) lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
3.左右连续定义
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义, 且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处左连续;
0, 0, 使当 u a 时,
恒有 f (u) f (a) 成立.
高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解
二元函数的的等值线/等高线
曲面z=f(x, y)与平面z=c的交线在xoy平面上的投影 称为二元函数zf(x, y)的等值线。
下图
回忆一元函数极限的概念
设 y f (x) x I, x0 为 I 的聚点.
若 0, 0, 当点 x Uˆ (x0, ) 时, f (x) U(a, ), 即 | f (x) a | , 则称
注意.
(1) 多元函数也有单值函数和多值函数，如
x2 y2 z2 a2
在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后 再分别加以讨论.
(2) 多元函数也有分段函数，如
xy
f
(
x,
y)
x2
y2
x2 y2 0
0
x2 y2 0
(3) 点函数u=f(P)能表示所有的函数.
Rn中点集的分类
(3) 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
若点集 E E , 则称 E 为闭集；
若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,
则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
n
( x, y) xi yi i 1
例: x (1, 0, 1, 2), y (2, 1,3,1) 则(x, y) 2 0 (3) 2 1
Rn里的内积运算有如下性质 : (1)对称性 : ( x, y) ( y, x) (2)双线性性 : ( x y, z) (x, z) ( y, z)
Rn中每一个元素(x1, x2, , xn )可以看成是空间里 的一个点, 也可以认为是空间里的一个向量(以原点为 起始点,以(x1, x2, , xn )为终点的一个向量)
中南大学高等工程数学——线性规划1
变成： max S=40x1+30x2 s.t.4x1+3x2 120 2x1+x2 50 x1,x2 0
x2 50
当S的值增加时,目标函
40
数同约束条件：
4x1+3x2120
30
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
重合,Q1与Q2之间都是最
优解。
20
Q2(15,20)
可行域
10
Q1(25,0)
10 20
30 40
x1
1984年印度的Karmarkar提出“投影梯度法”
线性规划是研究线性不等式组的理论，或者 说是研究（高维空间中）凸多面体的理论，是线 性代数的应用和发展。
1-1 线性规划基本概念
生产计划问题
如何合理使用有限的人力，物力 和资金，使得收到最好的经济效益。 如何合理使用有限的人力，物力 和资金，以达到最经济的方式，完 成生产计划的要求。
x1 +3x2 +x3 +x4
=15
2x1 +3x2 -x3
+x5
=18
x1 -x2 +x3
+x6 =3
基变量x1、x2、x4，非基变量x3、x5、x6
x1 +3x2 +x4 =15
2x1 +3x2
=18
x1 -x2
=3
基础解为
（x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（27/5，12/5，0， 2/5，0，0）是基础可行解，表示可行域的一个极
解：将一个实际问题转化为线性规划模型有以下
几个步骤：
1．确定决策变量：x1=生产桌子的数量 x2=生产椅子的数量
2．确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大 max z=50x1+30x2
x2 50
当S的值增加时,目标函
40
数同约束条件：
4x1+3x2120
30
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
重合,Q1与Q2之间都是最
优解。
20
Q2(15,20)
可行域
10
Q1(25,0)
10 20
30 40
x1
1984年印度的Karmarkar提出“投影梯度法”
线性规划是研究线性不等式组的理论，或者 说是研究（高维空间中）凸多面体的理论，是线 性代数的应用和发展。
1-1 线性规划基本概念
生产计划问题
如何合理使用有限的人力，物力 和资金，使得收到最好的经济效益。 如何合理使用有限的人力，物力 和资金，以达到最经济的方式，完 成生产计划的要求。
x1 +3x2 +x3 +x4
=15
2x1 +3x2 -x3
+x5
=18
x1 -x2 +x3
+x6 =3
基变量x1、x2、x4，非基变量x3、x5、x6
x1 +3x2 +x4 =15
2x1 +3x2
=18
x1 -x2
=3
基础解为
（x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（27/5，12/5，0， 2/5，0，0）是基础可行解，表示可行域的一个极
解：将一个实际问题转化为线性规划模型有以下
几个步骤：
1．确定决策变量：x1=生产桌子的数量 x2=生产椅子的数量
2．确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大 max z=50x1+30x2
数值分析精品课件(中南大学)4.1引言与问题特例
第四章 数值积分与数值微分
二、数值求积公式的收敛性与稳定性
定义4.2 在求积公式 f ( x )dx Ak f ( xk ) 中，若 a
b
n
l i m Ak f ( xk ) f ( x )dx
b n h 0 k 0 a
n
k 0
其中 h max ( x i x i 1 ) ，则称求积公式是收敛的．
第四章 数值积分与数值微分
数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积
公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精
度的概念．由于闭区间[a,b]上的连续函数可用多项式逼近，所以一 个求积公式能对多大次数的多项式 f (x) 成为准确等式，是衡量该公 式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义。 定义4.1 如果某个求积公式对于次数≤m的多项式均能准确地 成立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有 m 次代数精度．
2
A e
a
b
x2
dx.
因此，积分的数值计算问题是值得研究的重要问题. 对函数的 微分也一样，以表格形式给出的函数，要求出其导数时，也 是要依靠数值微分的方法．
第四章 数值积分与数值微分
例4.3 已知一组实测数值 yi y( xi ), i 0,1, 2, 其数学模型是一个二阶常微分方程
b a k 0
(4.2.3)
称(4.2.2)为数值求积公式,(4.2.3)为求积公式余项(误差). 构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有 (i) (ii) 确定求积系数Ak和求积节点xk ； 求积公式的误差估计和收敛性
为了构造形如式(4.2.1)的求积公式,需要提供一种判定 求积方法精度高低准则.用什么标准来判定两个节点数相同的 求积公式的“好”与“差”呢？通常用“代数精确度”的高 低作为求积公式“好”与“差”的一个标准．在后面的讨论 中我们将看到，节点相同的求积公式，代数精确度越高，求 出的积分近似值精确度一般越好．下面给出代数精确度的定 义．
高等数学A-第2章-12-7
公式 ③ 称为n 阶Talylor公式的Peano)余项 .
* 可以证明:
④ 式成立
( x0 ) f f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) ( n 1) f ( x0 ) f ( ) n ( x x0 ) ( x x0 ) n1 n! (n 1) ! ( 在 x0 与 x 之间) 特例: 给出Lagrange中值定理 (1) 当 n = 0 时, Talylor公式变为 f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) ( 在 x0 与 x 之间)
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
e
2.718281
说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
1 1 本例 e 1 1 2! 9!
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则
6 各项舍入误差之和不超过 7 0.5 10 ,
总误差为 7 0.5 106 10 6 5 106 这时得到的近似值不能保证误差不超过 10 6.
由此得近似公式
三、几个初等函数的Maclaurin公式
三、几个初等函数的Maclaurin公式
(k )
f
( x) e ,
2
x
f ( k ) (0) 1 (k 1, 2 ,)
3 n x x x ex 1 x Rn ( x) 2 ! 3! n!
其中
称为Maclaurin 公式 .
(n) f (0) 2 f (0) n f ( x) f (0) f (0) x x x f ( x ) 2 0 2 ! n)! x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x ( x x 0 ( n1) 2 ! , 则有误差估计式 若在公式成立的区间上 f ( x ) M ( n 1) f ( n ) ( x0 ) f ( ) n n 1 ( x x0 ) ( x x ) M n 1 0 n ! Rn ( x) (n x 1) ! ( 在 x0 与 x 之间) (n 1) !
* 可以证明:
④ 式成立
( x0 ) f f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) ( n 1) f ( x0 ) f ( ) n ( x x0 ) ( x x0 ) n1 n! (n 1) ! ( 在 x0 与 x 之间) 特例: 给出Lagrange中值定理 (1) 当 n = 0 时, Talylor公式变为 f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) ( 在 x0 与 x 之间)
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
e
2.718281
说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
1 1 本例 e 1 1 2! 9!
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则
6 各项舍入误差之和不超过 7 0.5 10 ,
总误差为 7 0.5 106 10 6 5 106 这时得到的近似值不能保证误差不超过 10 6.
由此得近似公式
三、几个初等函数的Maclaurin公式
三、几个初等函数的Maclaurin公式
(k )
f
( x) e ,
2
x
f ( k ) (0) 1 (k 1, 2 ,)
3 n x x x ex 1 x Rn ( x) 2 ! 3! n!
其中
称为Maclaurin 公式 .
(n) f (0) 2 f (0) n f ( x) f (0) f (0) x x x f ( x ) 2 0 2 ! n)! x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x ( x x 0 ( n1) 2 ! , 则有误差估计式 若在公式成立的区间上 f ( x ) M ( n 1) f ( n ) ( x0 ) f ( ) n n 1 ( x x0 ) ( x x ) M n 1 0 n ! Rn ( x) (n x 1) ! ( 在 x0 与 x 之间) (n 1) !
高等数学课件详细
分学
多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等 工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等 经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等 计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散 性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区 间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函 数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数 和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数 和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量 之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变 量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等 实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等 应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用 难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、 生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、 物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法 多元函数的连续性：定义、性质、判断方法 多元函数的可微性：定义、性质、判断方法 多元函数的可导性：定义、性质、判断方法 多元函数的可积性：定义、性质、判断方法 多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的 性质：连续函 数具有局部有 界性、局部保 号性、局部保 序性等性质。
多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等 工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等 经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等 计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散 性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区 间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函 数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数 和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数 和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量 之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变 量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等 实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等 应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用 难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、 生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、 物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法 多元函数的连续性：定义、性质、判断方法 多元函数的可微性：定义、性质、判断方法 多元函数的可导性：定义、性质、判断方法 多元函数的可积性：定义、性质、判断方法 多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的 性质：连续函 数具有局部有 界性、局部保 号性、局部保 序性等性质。
高等数学A-第5章-6-4(5.4 平面与空间直线(2))
例 2 求过点 M (2,1,3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线方程.
例 1 求过点(3, 2,5)且与两平面 x 4z 3和
2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
解 设所求直线的方向向量为 s {m, n, p},
根据题意知 s n1 ,
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
77 7
77 7
所求直线方程为 x 2 y 1 z 3 . 2 1 4
解2.
设直线方程为 x 2 y 1 z 3,
mn p
由于与已知直线垂直相交得,
3m 2n p 0
高等数学A
第5章 空间解析几何
5.4 平面与空间直线
5.4.6 两直线的夹角 5.4.7 直线与平面的夹角 5.4.8 平面束
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
5.4 平面与空间直线
两直线的夹角 习例1-2
直线与平面的夹角及习例3
平
补充内容1---点到直线的距离
面 与
空间直线及其方程
补充内容2---异面直线的距离
z z0 pt
代入Ax By Cz D 0得t, 从而可得交点.
例 3 设直线 L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角. 解 n {1,1, 2}, s {2,1, 2},
sin
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
垂直相交的直线方程.
例 1 求过点(3, 2,5)且与两平面 x 4z 3和
2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
解 设所求直线的方向向量为 s {m, n, p},
根据题意知 s n1 ,
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
77 7
77 7
所求直线方程为 x 2 y 1 z 3 . 2 1 4
解2.
设直线方程为 x 2 y 1 z 3,
mn p
由于与已知直线垂直相交得,
3m 2n p 0
高等数学A
第5章 空间解析几何
5.4 平面与空间直线
5.4.6 两直线的夹角 5.4.7 直线与平面的夹角 5.4.8 平面束
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5.4 平面与空间直线
两直线的夹角 习例1-2
直线与平面的夹角及习例3
平
补充内容1---点到直线的距离
面 与
空间直线及其方程
补充内容2---异面直线的距离
z z0 pt
代入Ax By Cz D 0得t, 从而可得交点.
例 3 设直线 L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角. 解 n {1,1, 2}, s {2,1, 2},
sin
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
中南大学随机过程第一章PPT课件
33
1
F ( x ) k 1 p k ( x x k ) 1 ( 0 x ) 5 ( x 1 ) 1 ( 0 x 2 )
0, x 0,
3
10 9
, ,
10
1
0 x 1,
1 x 2, 2 x .
2020/12/7
胡朝明
53－12
四、连续型随机变量
若存在非负可积函数f(x)，对任意实数x，使 得R.V.X的分布函数满足：
x
F (x) f(u )du( x)
则称X为连续型随机变量，称f(x)为连续型随机变 量的概率密度函数，简称概率密度。
2020/12/7
胡朝明
53－13
概率密度函数的性质
1. f(x)≥0；
2) f(x)dx1;
＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)
2020/12/7
胡朝明
53－4
六、事件的独立性
▪ 如果事件A,BF，满足
P(AB)＝P(A)P(B)，
则称事件A与B相互独立。
▪ 如果事件A1,A2,…,AnF，且对任意 s(2≤s≤n)和任意的1≤i1<i2<…<is<n，有 P(Ai1Ai2…Ais)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Ais)， 则称事件事件A1,A2,…,An相互独立。
上一讲内容回顾 ➢ 概率空间
• 随机试验、样本空间、随机事件体、 概率、概率空间、概率的性质
2020/12/7
胡朝明
53－1
本讲主要内容
➢ 概率空间
• 条件概率、乘法公式、事件的独立性、全 概率公式与贝叶斯公式
➢ 随机变量及其分布程
• 随机变量、分布函数 • 离散型随机变量及其分布律 • 连续型随机变量及其概率密度
中山大学《高等数学》课件-绪论
二、预备知识
5、非初等函数
(2) 取整函数 y [x]
[x]：表示不超过x 的最大整数
y 4 3 2 -4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x
-2 -3 -4
阶梯曲线
二、预备知识
5、非初等函数 (3)狄利克雷函数
y
D(x)
1
xQ
_
0 x Q
y
1
•
无理数点
o 有理数点
x
二、预备知识
通常简记为
定义域
y f (x), x D
为定义在D 上的 函数 ,
或者简单理解为 变量之间的关系
f(D)
因变量
自变量
值域
注：(1) 注意符号f 和f (x)的区别
(2) 表示函数的记号可以任意选取
(3) 函数的要素：定义域和对应法则
（五）函数与图像
定义域： (1) 定义域是非空的数集，自变量可以取值的范围。 (2) 定义域的求法：使表达式有意义的自变量的集合。
高等数学
教材版本：同济七版
绪论 数与形（数学的核心）
一、回顾初等数学 二、预备知识 三、高等数学课程介绍
一、回顾初等数学 （一）数系 （二）代数 （三）几何 （四）解析几何 （五）函数
（一）数系—数
复数域： 虚 数 无理数 分 数 负整数 实数域： 无理数 分 数 负整数 有理数域： 分 数 负整数
xx
x
D1
D2
二、预备知识
1、函数的几种特征
(1) 函数的有界性 若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立, 则称函数f (x)在X上有界.否则称无界.
y M
y=f(x)
o
中南大学高等数学复习课件第6章 多元函数微分学3-8导学(6.1.5增量及全微分)
6.1 多元函数微分的基本概念
6.1.5全增量及全微分
一、相关问题
1.利用单摆摆动测定重力加速度g 的公式是
2
24T l g π=. 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为l =100±0.1cm 、T =2±0.004s. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少？
2.一元函数微分概念、性质和计算方法。
二、相关知识
1.多元函数的连续、可微、可偏导之间有什么关系？
2.如何确定多元函数的可微性？
3.多元函数的可微与可导与一元函数的可微与可导有什么区别和联系？
三、练习题
1.求下列函数的全微分：
（1）
z = （2）yz u x =。
2.已知22,23z z y x xy x y
∂∂=+=+∂∂，且(0,0)0z =，求(,)z f x y =的表达式。
3.计算 1.05(1.97)的近似值(ln 20.693)=。
4.计算cos 29tan 46 的近似值。
5.利用单摆摆动测定重力加速度g 的公式是
224T
l g π= 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为l=100±0.1cm 、T=2±0.004s. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少？
四、思考题
1.求出二元函数(,)f x y 的两个偏导数
,f f x y ∂∂∂∂后，认为f f dx dy x y ∂∂+∂∂就是(,)f x y 的全微分，这种认识对吗？
2.,f f x y ∂∂∂∂存在且连续是(,)f x y 可微的充分条件，是否也是必要条件呢？。
中南大学高等数学课件5-8 共22页
一、无穷限的广义积分的审敛法
不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法.
定理１ 设 f(x函 )在 数区[间 a,)上连续，
且f(x)0．若函F(数 x)
x
f(t)dt
a
在[a,)上有界，则广 义 f(x)积 dx收 分敛． a
由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理．
解 x l im x1x 3/x 22x l im 1 x 2xx 2 ,
根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
例４ 判别广 义 ar积 cxtda的 x 分 n 收. 敛性
1
x
解 lim xarcxt alnim arcxtan,
x x
x
(1)当 s1时 ,I1是常义 ;当 0 积 s 分 xx1 1s, 而 1s1,根据比2 较 ,I1收 审.敛 敛法
(2 ) x l ix m 2(e x x s 1 ) x l ix m e s x 1 0 ,
称为绝.对收敛
绝对收敛的 f广 (x)d义 x必积 定分 收敛． a
例5 判别广义 ea积 xsibn分 dxx(a,b都是 0 常a数 0)的收.敛性
解 e as x ibn x e a,x 而 e ad x收 x. 敛 0
eaxsibnx dx 收.敛 所以所给广义积分收敛. 0
(s)
根据极限1审 ,I2也 敛收 法. 敛
由(1),(2)知
exxs1dx对s0均收.敛
0
o
s
－函数的几个重要性质：
１．递 (s 推 1)s公 (s)(式 s0). ２s ． 0 时 当 (s ) ， . 3 ．余 (s ) ( 1 元 s ) 公 (0 s 式 1 ).
不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法.
定理１ 设 f(x函 )在 数区[间 a,)上连续，
且f(x)0．若函F(数 x)
x
f(t)dt
a
在[a,)上有界，则广 义 f(x)积 dx收 分敛． a
由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理．
解 x l im x1x 3/x 22x l im 1 x 2xx 2 ,
根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
例４ 判别广 义 ar积 cxtda的 x 分 n 收. 敛性
1
x
解 lim xarcxt alnim arcxtan,
x x
x
(1)当 s1时 ,I1是常义 ;当 0 积 s 分 xx1 1s, 而 1s1,根据比2 较 ,I1收 审.敛 敛法
(2 ) x l ix m 2(e x x s 1 ) x l ix m e s x 1 0 ,
称为绝.对收敛
绝对收敛的 f广 (x)d义 x必积 定分 收敛． a
例5 判别广义 ea积 xsibn分 dxx(a,b都是 0 常a数 0)的收.敛性
解 e as x ibn x e a,x 而 e ad x收 x. 敛 0
eaxsibnx dx 收.敛 所以所给广义积分收敛. 0
(s)
根据极限1审 ,I2也 敛收 法. 敛
由(1),(2)知
exxs1dx对s0均收.敛
0
o
s
－函数的几个重要性质：
１．递 (s 推 1)s公 (s)(式 s0). ２s ． 0 时 当 (s ) ， . 3 ．余 (s ) ( 1 元 s ) 公 (0 s 式 1 ).
高等数学A-第1章-8-1(函数及其性质修改)
由有限个单调函数组成的函数，称为分段单调函数. 如 y x
2. 函数的有界性
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立,
则称函数 f ( x) 在X 上有界否则称无界 . .
即若X D, M 0, x1 X , 有 f ( x1 ) M 成立,
2. 函数定义域的确定
(1)由实际问题决定.
(2)自然定义域. 理论研究中, 对应法则是用数学公式表示的 函数, 这种函数的定义域是使数学公式有意义的自变量的所 有值构成的实数集. 即当函数由公式（表达式）给出时，使 公式有意义的自变量的取值范围就是函数的定义域. 如：
分式的分母不为0；
2n
f ( x ), n为正整数, 要求f ( x ) 0;
o
x
o
x
(6) 整标函数
以自然数为自变量的函数: y f ( n) 图形为一些离散的点构成.
1.1.6 函数的特性 1. 函数的单调性
对任意 x1 , x2 I , 若 x1 x2 , 有 f ( x1 ) f ( x2 ) (或f ( x1 ) f ( x2 ))
设函数y f ( x )在区间I (有限或无限 , 开或闭)上有定义,
2 例 求函数的定义域 (1) y 4 x
2 4 x 0 解： (1) 要求 1 x 2 x 1 0
1 1 ( 2) f ( x ) . 1 x 1 1 1 1 x
所以函数的定义域为(1,2].
1 1 0 x 0, 1, 1 . (2) 要求 x 2 1 1 0
故若两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 则这 两个函数就是相同的, 否则就是不同的.
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16
思考题解答
不能保证.
例 f (x) 1 x
x0, 有 f(x) 1 0 x
limf(x)lim1A0.
x
x x
.
17
一、填空题:
练习题
1 、 凡 无 穷 小 量 皆 以 _ _ _ _ _ _ _ _ 为 极 限 .
2、_在 ____ 条 __ 件 ,直 __ 下 y线 _ c是函数 yf(x)的水平 . 渐近线
不是无穷大．
.
11
例证l明 im1 . x 1x1
证 M0. 要使 1 M,
x1
y 1 x1
只要 x1 1, 取 1 ,
M
M
当 0x11时 ,就有 1 M.lim 1 .
M
x1
x1 x1
定:义 如l果 im f(x) ,则 x x0
直 xx线 0是
函 yf数 (x)
的图形的 . 铅直渐近线
.
12
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证 设lim f(x). x x0 0,0,使得 0x 当 x0时
恒f有 (x)1, 即
1 f (x)
.
当xx0时, f(1x)为无穷 . 小
.
13
反 ,设 l之 if( m x ) 0 ,且 f( x ) 0 . x x 0
证 设及是当 x时的两个, 无穷小
0 , X 10 ,X 20 ,使得
.
5
当xX1时
恒 有 2;当xX2时
恒 有 ;
2
取 Xma X 1,x X 2} {,当x X时,恒有 ,
22
0 (x )
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如 ,n时,1是无穷小， n
但n个1之和1不 为是无.穷小 n
一、无穷小
1.定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正数 ( 或正数X ), 使得对于适合不等式
0 x x0 (或 x X )的一切x ,对应的函数值
f (x)都满足不等式 f (x) ,
那末 称函数 f (x) 当x x0 (或x )时为无穷小,
3、 lim f(x)A____ f(x _) _A _ , x x0 (其l中 im 0). x x0
4、在同一 ,若 过 f(x程 )是中 无穷 , 大 则____是 __无穷 . 小
2.零是可以作为无穷小的唯一的数.
.
3
2. 无穷小与函数极限的关系:
定理1 limf(x)Af(x)A(x), xx0
其中(x)是当xx0时的无穷小.
证 必要性 设lim f(x)A, 令 (x )f(x )A , x x0
则由极限l定 im义 (x)有 0, f(x ) A (x ). xx0 充分性 设 f(x ) A (x ),
M0,0,使得 0x 当 x0时
恒f有 (x)1, M
由f于 (x)0, 从而 1 M. f (x)
当xx0时, f(1x)为无穷 . 大
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
.
14
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
记作 lim f (x) 0 (或lim f (x) 0).
xx0
x
.
2
例如,
lim six n0, 函s数 ix n是x当 0时的无 . 穷 x 0
lim1 0, x x
函数 1是当 x时的无. 穷 x
lim(1)n n n
0 , 数{列 (1)n}是n 当 时的无 . 穷 n
注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
x
.
9
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
lim f(x ) (或 lim f(x ))
x x 0 (x )
x x 0 (x )
注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
2.切勿 li将 m f(x)认为极.限存 xx0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量x0时, y 1sin1 xx
是一个无界,变 但量 不是无穷 . 大
y 1sin1 xx
(1) 取 x0
1
(k0,1,2,3, )
2k
2
y(x0)2k2, 当 k充分 ,y(x 大 0)M 时 . 无界，
(2 )取 x 0 2 k 1 (k 0 ,1 ,2 ,3 , )
当 k充分,x 大 k时 ,
但 y (x k ) 2 k s2 ik n 0M .
M 当 x x0时 ,u为无 . 穷小
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例,当 如 x 0时 ,xsi1n ,x2arc1t都a是n 无穷小
x
x
.
8
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么
其 中 (x)是x当 x0时的,无穷小
则由极限l定 imf义 (x)有 A. xx0
.
4
意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小); 2.给出了函 f(x数 )在x0附近的近似表达 f(x)A,误差为 (x).
3. 无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
大),总存在正数 (或正数 X ),使得对于适合不等式
0 x x0 (或 x X )的一切 x,所对应的函数
值 f ( x)都满足不等式 f ( x) M ,
则称函数 f ( x)当 x x0(或 x )时为无穷大,
记作 lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
x x0
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大.
.
15
思考题
若 f(x)0， 且 lim f(x)A， x
问 ： 能 否 保 证 有 A0的 结 论 ？ 试 举 例 说 明 .
.
.
6
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证 设函u在 数 U(x0,1)内有界，
则 M 0 ,10 ,使0 得 x当 x 01 时 恒u 有 M .
又 设 是x当 x0时的无 , 穷小
0,20,使得 0x当 x02时 恒 有 .
M
.
7
取 m 1 i, n 2}{ 则 , 0 当 xx 0 时 ,恒有 uu M ,