线性回归方程(1)

摄氏温度 26 18 13 10 4 -1 热饮杯数 20 24 34 38 50 64
(1)画出散点图；
(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间 关系的一般规律；
解: (1)散点图
热饮杯数 160 150 140 130 120 110
100 90 80 70 60 50 40
温度
-10
0
10
20
30
40
(2)气温与热饮杯数成负相关,即气温越高，卖出 去的热饮杯数越少。
人体脂肪含量百分比与年龄散点图
脂肪含量
散
40
点
20
图
0
0
20
40
60
80
年龄
回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系，这条直线就叫做回归直线。
这条回归直线的方程，简称为回归方程。
yi-Yi=yi-(bxi+a)（i=1，2，…，n）（x1，y1）
这样，用这n个偏差的和来刻画 “各点与此直线的整体偏差” 是比较合适的。
（x2，y2）
n
Σ（yi-Yi）的最小值
i=1
n
Σ|yi-Yi|的最小值
i=1
n
Σ（yi-Yi）2的最小值
i=1
n
Σ（xi-x）¯（yi-y） ¯
b=
i=1
n
1.回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致 分布在回归直线附近.对同一个总体，不同的样本 数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有 随机性.
2.对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以 求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相 关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归 方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据， 应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再 求回归方程.
从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量
越高，点的位置散布在从左下角到右上角的区域. 称
它们成正相关. 但有的两个变量的相关，如下图所示：
如高原含氧量与海拔高度 的相关关系，海平面以上， 海拔高度越高，含氧量越少.
作出散点图发现，它 们散布在从左上角到右下角 的区域内。又如汽车的载重 和汽车每消耗1升汽油所行 使的平均路程，称它们成负 相关.
xi 2

2
nx
,
i 1
yˆ bˆx aˆ
课堂总结
1、两种相关关系：正相关、负相关
2、线性回归方程： y bx a
回归直线所在方程的斜率与截距的一般公式:


n
n
(xi x)( yi y)
xi yi nx y
bˆ i1 n

aˆ

y

( xi
i 1
bˆ x.

x)2

i 1 n
例1：假设某设备的使用年限x（年）和所支出的维 修费用y（万元）有如下统计资料：
使用年限
x(年)
维修费用
y(万元)
2
34
5
6
2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
由资料知 y对 x呈线性关系，试求：
(1)回归直线方程 yˆ bx a中的b, a的值;
(2)估计使用年限是10年时，维修费用估计是 多少？
如何具体的求出回归方程？
方案一：采用测量的方法：先画一条直线，测 量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一 个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的 斜率和截距，就得到回归方程。
脂肪
40 30 20 10
0 0
脂肪
20
40
60
80
我们应该如何具体的求出这个回归方程呢？
方案二、在图中选取两点画直线，使得直线两 侧的点的个数基本相同。
O
5个学生的数学和物理成绩如下表：
ABCDE 数学 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62
画出散点图，
解： 80
物理成绩
75
70
65
60
55
50
数学成绩
40
50
60
70
80
90
由散点图可见，两者之间具有正相关关系。
有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气 温对热饮销销售的影响，经过统计，得到一个 卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：
2. 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系
（ D）
A．角度和它的余弦值 B. 正方形边长和面积 C．正ｎ边形的边数和它的内角和 D. 人的年龄和身高
在一次对人体的脂肪含量和年龄关系的？
年龄 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9．5 17．8 21．2 25．9 27．5 26．3 28．2
2.3 变量间的相关关系
问题引入：
有些教师常说：“如果你的数学成绩好，那 么你的物理学习就不会有什么大问题” 按照这种 说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间也存 在着某种关系。你如何认识它们之间存在的关系？
数学成绩
物理成绩
学习兴趣
学习时间
其他因素
结论：变量之间除了函数关系外，还有
。
思考：考察下列问题中两个变量之间的关系： （1）商品销售收入与广告支出经费； （2）粮食产量与施肥量； （3）人体内的脂肪含量与年龄； （4）圆的面积与半径； （5）匀速直线运动中的时间与路程。

n
( xi x)2

i 1
i1 n
xi 2

2
nx
,
i 1
a y b x
其中，b是回归方程的斜率，a是截距。
注：对具有线性相关关系的两个变量，其回归直线一定
通过样本点的中心


x,

y

求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：
第一步，计算平均数 x y ,
在一定的条件下可以相互转化.而对于具有线性相关关系 的两个变量来说，当求得其回归直线方程后，又可以用一 种确定性的关系对这两个变量间的取值进行估计：
1.下列关系中,是带有随机性相关关系的是 ②③④ .
①正方形的边长与面积的关系;②水稻产量与施肥量之 间的关系;③人的身高与年龄之间的关系;④降雪量与 交通事故发生之间的关系.
销售额（百万元） 80
（2）由散点图可知： 50
X与Y具有相关关系
30


5
x 5y 50 xi yi 1380 i 1
10
5
广告费（百万元）
xi2 145
i 1 5
13
579
故可得： b
xi yi 5x
i 1 5
y
6.5a
y bx
17.5
1.两变量之间的关系
（1）函数关系： 当自变量取值一定时，因变量取值由它唯一确定
正方形面积S与其边长x之间的函数关系S=x2 ，
对自变量边长的每一个确定值，都有唯一确定的面积的值
与之对应。
确定关系
（2）相关关系： 当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机
性
一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系 。
i 1
i 1
b

ห้องสมุดไป่ตู้
112.3 5 4 90 5 42
5

12.3 10

1.23
a y b x 5 1.23 4 0.08
(2)估计使用年限是10年时，维修费用估计是多少？
(2)回归直线方程是yˆ 1.23x 0.08.
当x 10时， yˆ 1.2310 0.08 12.38 12.4(万元)
3．线性回归方程表示的直线 $y a bx 必定过（ D ）
Ａ．(0，0) Ｂ．(x，0) Ｃ. (0，y) Ｄ．(x，y)
4．设有一个回归方程，$y 2 2.5x 变量x 增加1个单位
长度时，变量y（ C ）
Ａ．平均增加2.5个单位长度 Ｂ．平均增加0.5个单位长度 Ｃ．平均减少2.5个单位长度 Ｄ．平均减少0.5个单位长度
40 30 20 10
0 0
脂肪
脂肪
20
40
60
80
我们应该如何具体的求出这个回归方程呢？
方案三、在散点图中多取几组点，确定几条直 线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的 平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率 和截距。
脂肪
40 30 20 10
0 0
脂肪
20
40
60
80
上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强，我们 回到回归直线的定义。
年龄 53
54
56
57
58
60
61
脂肪 29．6 30．2 31．4 30．8 33．5 35．2 34．6
根据上述数据，人体的脂肪含量和年龄之间有怎样的关 系？
下面我们以年龄为横轴，脂肪含量为纵轴建立直角坐标
系，作出各个点，称该图为散点图.
如图：
脂肪含量 40 35 30 25
1、散点图：将样 本中n个数据点 （xi，yi)（i＝1， 2，…，n）描在平 面直角坐标系中， 以表示具有相关关 系的两个变量的一 组数据的图形叫做 散点图.
Σ（xi-x）¯
i=1
a=y¯-bx¯
Q=(y1-bx1-a) 2+(y2-bx2-a) 2+…+(yn-bxn-a) 2 当a，b取什么值时，Q的值最小，即总体偏差最小
计算回归方程的斜率和截距的一般公式：

n
n
( xi x)( yi y)
xi yi nx y
b i1
n
n
第二步，求和 xi yi xi2,
i 1n
i 1
n
(xi x)(yi y) xi yi nx y
第三步，计算 b i1 n
i1 n
,a y bx
(xi x)2
xi2 nx 2
i1
^
i1
第四步，写出回归方程 y bx a
答：估计使用10年时，维修费用估计是12.4 万元。
练习
某种产品是的广告费支出x（单位：百万元） 与销售额y（单位：百万元）之间有如下对 应数据
x 24568 y 30 40 60 50 70
（1）画出散点图； （2）如果x与y具有相关关系，求回归 直线方程，并说明b的意义
解（1）散点图如图 所示：
解：(1) 制表：
i 1 2 3 4 5 合计
xi 2 3 4 5 6 20
yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25
xi2 4 9 16 25 36 90
xi yi
4.4
11.4 22.0 32.5 42.0 112.3
5
5
于是有 : x 4, y 5, xi2 90, xi yi 112 .3.
设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：
（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
设所求的回归直线方程为Y=bx+a，其中a，b是待定 的系数。当变量x取x1，x2，…，xn时，可以得到
Yi=bxi+a（i=1，2，…，n） y
（xi ，yi ）
它与实际收集得到的yi之间偏差是
yi-Yi
20
15
10
5
年龄
O
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
由散点图支持了我们从数据表中得出如下结论：
a. 如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用 该函数来描述变量之间的关系。
b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变 量之间就有相关关系。
c.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之 间就有线性相关关系。
xi2 5x 2
所求回归直i1线方程为
^
y 6.5x 17.5
b表示广告每增加100万元，销售量平均增加650元
巩固练习:
1.由一组 5 个数据(xi，yi)算得 x 4, y 5,
n
n
xi yi 112.3, xi2 90, 则 b= 1.23,a= 0.08,
i 1
i 1
回归方程为 yˆ 1.23 x . 0.08
n
n
(xi x)( yi y)
xi yi n x y
b i1 n
(xi x)2

i 1 n
xi 2

2
nx
，a y bx;
i 1
i 1
2．对于回归方程 $y 4.75x 257 当x=28时,y的估计值是 390
水稻产量并不是由施肥量唯一确定，在取值上带有随机性
不确定关系
（1）相关关系与函数关系的异同点： 相同点：均是指两个变量的关系 不同点：函数关系是一种确定的关系 相关关系是一种非确定关系；
函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关 系，也可能是随机关系.
（2）函数关系与相关关系之间有着密切联系：