线性代数 基础解系求法举例

教学目的理解齐次线性方程组的基础解系的概念与求法。

掌握非齐次线性方程组通解的结构。

掌握向量空间的基的概念与求法
作业
重点基础解系及其求法、向量空间的基练习册P37－40第13题
至
第19题，期中交：P37－40
难点方程组解的结构讲授方法
媒体与投影
讲授内容主线齐次解的基础解系概念－基础解系求法－举例－非齐次通解的求法－向量空间的封闭与生成性－基与坐标－向量内积与长度。

内容概括
齐次方程组的基础解系由n-r 个无关解向量组成，非齐次是齐次解加特解，向量组生成具有封闭线性运算的向量空间。

向量内积实际上是矩阵运算，由施瓦茨不等式引出长度与正交。

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日；星期
本次课讲第四章第四节第五节，方程组解的结构与向量空间，
下次课讲第五章第一二节，
下次上课时交作业P37～P40
二、齐次线性方程组解的结构：
1.复习齐次线性方程组解的秩的判定定理
2.解向量的概念n
r A R AX n n A R AX <=⇔==⇔=)(0()(0有非零解（无穷多解）齐次方程组为解向量的维数）
有唯一零解齐次方程组设有齐次线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++0
00221122221211212111n m n m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）设,21
2222111211
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m n m m n n a a a a a a a a a
A =x =,21⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛n x x x 则（1）式可写成向量方程Ax = 0（2）
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=====12111112121111,,,n n n x x x x x x x ξξξξ）的解则为（若称为方程组（1）的解向量，它也是向量方程（2）的解.第十讲向量组的秩与方程组解的结构
2.解向量的性质
性质1若为齐次方程组的解，则也是相应齐次方程组的解.
21,ξξ==x x 21ξξ+=x 证()21ξξ+A 21ξξA A +=00+=0
=性质2若为齐次方程组的解，k 为实数，则k
也是相应齐次线性方程组的解.
1ξ=x 1 ξ=x 证：)()00.
k k k ==⨯=（11A ξA ξ的解（向量）。

均是的线性组合的解向量结论：0,,,0221121=+++==AX k k k x AX t t t ξξξξξξ 3.AX =0的基础解系
的一个基础解系。

为的任一个最大无关组称中，则（或解向量组）的全体解向量组成解集定义：设00==AX S S AX
基础解系不唯一
的的最大无关组，所以）由于基础解系是解集（01=AX t
t t t k k k x x AX AX ξξξξξξξξξ+++=== 22112121,,,00,,,2线性表示，即：
均可用的任意解的一个基础解系，则方程组为线性设解向量）由最大无关组定义，（4.求AX =0的基础解系－－AX ＝0的通解：
事实上，上一章我们已经学会了用矩阵的秩求线性方程组通解的方法：假定AX =0,A 的秩为R(A)=r,求解步骤如下
化A 为行最简形矩阵为
,
0000
1001,1,111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--
r
n r r r n b b b b =A 与A 对应的方程组的同解方程组为
,,11111n r n r x b x b x -+---= .
,11n r n r r r r x b x b x -+---= ⎩⎨
⎧1122,,
r r n n r x c x c x c ++-===令自由未知数
则：
⎪⎪
⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧++++=++++=++++=-+--=-+--=-++----r
n n r r r n r n r r r r r n r n c x c x c x c b c b c b x c b c b c b x 0000
000002
1
11,2211,12121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++-+---+--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+r n r
n r n r r r r n r n n r r c c c b c b c b c b c b c b x x x x -1,2211,121211111000000 为：
向量（列矩阵）的形式矩阵表示通解，并写成根据上式求得通解，用⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---001010001)()(121221111 r n r r n r n r r b b c b b c b b c 第十讲向量组的秩与方程组解的结构
巧得很，AX=0的通解正好是n-r 个解向量的线性组合，如果这n-r 个解向量就是解集的最大无关组，我们就等于找到了AX=0的基础解系。

事实上，我们有如下定理：
（2）定理：设n 元齐次方程组AX=0的系数矩阵的秩R(A)=r ,解集（解向量组）为S ,则R(S)=n-
r
）
（下：
得到齐次方程组通解如*2211r n r n c c c x --+++=ξξξ
定理：设n 元齐次方程组AX=0的系数矩阵的秩R(A)=r ,解集（解向量组）为S ,则R(S)=n-r
证：,00001
001~,1,111⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛--
r n r r r n b b b b A 第一步：和以前一样，将
系数矩阵化成行最简形：
第二步：仍然是写出与A 对应的齐次线性方程组的同解方程组
,
,11111n r n r x b x b x -+---= .
,11n r n r r r r x b x b x -+---= ⎩⎨⎧
,00121⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ n r r x x x ,010⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ,100 ,⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛ ()().
,,1,010,,,::1
1r n r i x x x
c c r n i r r n -+==-+- 其中依次令
量向量组的取值的取值相当于对自由变原自由变量的任意性由于自由变量取值第三步代入同解方程组依次可得：
,1211121⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r r b b b x x x ,22212⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---r b b b ,
, ,,2,1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------r n r r n r n b b b
第四步：整理得出齐次线性方程组的一组解向量:
,0011111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= r b b ξ,
0102
122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--= r b b ξ.100,,1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=--- r
n r r n r
n b b ξ,
r
n r n r n r n r n k k k x c c c x c c c -----+++=+++=ξξξξξξ 2211221121 ,,，或：
一致：即前一种方法的通解完全组解向量的线性组合与的方法求出的一由变量向量为单位向量结果，这里，通过令自求出通解的量为任意常数通过比较原来令自由变
的线性组合。

，，，中任意的解向量均是的解集知它们是通解，即首先，由上一章知识已r n AX -=ξξξ 210线性无关。

，，，故：，，，因此：阶单位子式中，存在，，，其次，解向量组r n r n r n r n r n R E r n -----=≠=-ξξξξξξξξξ 212121,)(,01r n S R S AX r n -==-)(021系。

即得：最大无关组，即基础解的的解集是，，，由最大无关组定义，ξξξ 该定理的论证说明了两点：
r
n S R S R r n AX AX -===)()(0201之间的关系：解集的秩及、系数矩阵的秩的元）说明两方程组（的基础解系的求解步骤）指出了（
即基础解系。

成解集的最大无关组，线性无关的解向量均构个的解集中任意则的秩矩阵推论：设r n Ax r A R A n m -==⨯0,)(线性相关。

，由相关性秩的判别法，的解集的秩的任意一解。

是设个解向量且线性无关。

的是证：设b a a a r n r n b a a a R r n R Ax Ax b r n Ax a a a r n r n s r n ---+-<-≤∴-===-= ,,1
),,,(,000,,212121解系
的最大无关组，即基础就是无关组定义，
唯一线性表示。

由最大能由关系定理，由相关性与线性表示的线性相关。

，线性无关，并且0,,,,,,,,21212121=∴----Ax a a a a a a b b a a a a a a r n r n r n r n
4.齐次线性方程组的求解结论：
根据以上齐次线性方程组的通解求解过程和定理及其推论，我们可以得到如下结论：
（4）由此还可以推断：齐次线性方程组的基础解系不是唯一的.齐次线性方程组的通解形式也是不唯一的.
（3）齐次线性方程组(1)的任何n -r 个线性无关的解向量都可作为它的基础解系.
（1）当R (A ) = n 时,齐次线性方程组(1)只有零解,无基础解系;（2）当R (A ) < n 时,齐次线性方程组(1)的基础解系含有n –r 个解向量.
的一个基础解系。

构成了个线性无关的解向量均的任意的秩为维，系数矩阵为这一推论说明了，变量0)(=-=Ax r n r A R A n x
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-010001010010011010001010010011111000011110011～～～：
行变换，化成行最简有解：对系数矩阵作初等A ,000453521⎪⎩
⎪
⎨
⎧==++=++
+x x x x x x 得同解方程组：的基础解系和通解求齐次线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=-+=++0005433
2152
1x x x x x x x x x 分）
，数学一，（例题6961
()
()()()()2
211215432
1
,
1,0,1,0,1,0,0,0,1,121,0,1,0,10,0,0,
1,1,
,,,ξξξξk k r n x x x x x T
T
T
T
T
+-=-==---=通解为：－个解向量：
对应的基础解系是。

－和则：和令。

非零行的非首元为行最简形的自由变量,1001,,2,3)(,55252⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-==x x x x r n A R n
.)()(,02n B R A R B A l n n m ≤+=⨯⨯证明：：设例题的解集的一部分。

是的解，是的秩的解集则设0,,,0,,,,
)(0,)(2121=∴=-===AX b b b AX b b b r n S R S AX r A R l l n
A R
B R A R n r n S R B R b b b R l ≤+∴-=-=≤=∴)()()()()(),,,(21 ，
部分的秩小于整体的秩的解。

都是即均满足方程组且即：令阶矩阵，是证明：0,,,,0,,,,,2,1,0,0),,,(,0).
,,,(21212121=====∴==∴⨯⨯⨯AX b b b AX b b b l i Ab b b b A B A b b b B l n B l l i l l n n m l
（二）非齐次线性方程组的通解
1.非齐次线性方程组的解向量的性质设有非齐次线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,
,,22112222212111212111m n m n m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （4）它也可写作向量方程
Ax =b
（5）性质3的齐次线性方程组0
=Ax 的解.
（6）
设及都是（5）的解，则为对应1η=x 2η=x 21ηη-=x
证
()21ηη-A 21ηηA A -=b b -=0=所以满足方程（6）.
21ηη-=x 证()ηξ+A ηξA A +=b +=0b =即满足方程（5）.ηξ+=x 性质4设是方程（5）的解，是方程（6）的解，η=x ξ=x ηξ+=x 仍是方程（5）的解.则η
ξξη+====x b AX AX b AX 的任意解（通解）为：
的任意解，则是对应的
的一个特解，是非齐次线性方程组结论：设0η
ηη+-==)(x x b AX x 为其一个特解，则：的任意解，为设η
ξξξηξξξξξξηξ++++=+=+++==-=----r n r n r n r n k k k x k k k x AX x 22112211,,03故：
：由齐次方程组通解形式也具有任意性，因此所以，具有任意性，的解，由于是对应齐次方程组，由性质称上式为非齐次方程组AX=b 的通解
第十一讲：方程组解的解构与向量空间
的值及方程组的通解。

）求（的秩）证明方程组系数矩阵（个线性无关的解，有程组分）已知非齐次线性方，数学一，（例题b a A R A bx x x ax x x x x x x x x ,22
)(1313153419063432143214321=⎪⎩⎪
⎨⎧=+++-=-++-=+++2
)(20200,,.0)(,0)()(3,,132212132132211213222113221321≥==--∴==∴=--+=-+---S R Ax Ax k k k k k k k k 个线性无关的解向量。

包含基础解系最少
个线性无关的解，即的是，线性无关，将其恒等变形为：，其线性表达式为：，对于对应的齐次解：个线性无关的解是非齐次线性方程组的）证明：设（ααααααααααααααααααααα 2
)(,4,2)()(≤∴=≥-=A R n A R n S R 第十一讲：方程组解的解构与向量空间
2
)(,2)(2,3115341
111=≥∴⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=A R A R b a A 即：阶子式不为零，，有又⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛+------⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---=13103511
011111
1311153411111,),()2(a a b a a b a b A b A ～）（进行初等行变换，有：
对增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+----a a b a 245424003511
011111～3
,054,2,024,2),()(1-==-+==-==b a b a a b A A R 代入得：），由（⎪⎪
⎪
⎫ ⎛---000003511024201将矩阵化成行最简得：第十一讲：方程组解的解构与向量空间
()
T
b Ax x x 0,0,3,2,043-====η的一特解：得令⎩⎨
⎧-=+-=4
324
31542x x x x x x ：对应齐次同解方程组为()()
T
T
x x 1,0,5,4,0,1,1,210012143-=-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ξξ础解系：，得对应齐次方程组基和为令中：在非齐次同解方程组为⎩⎨
⎧--=++-=3
52
42432431x x x x x x η
ξξ++=∴2211k k x 解是：非齐次线性方程组的通
二、向量组概念的拓展——空间的概念封闭：设V 是一个集合，若V , ∈∀b a ,则V ；
∈+b a ∈b λV ,,R ∈λ则称V 对于加法及数乘运算是封闭的.
定义1：设V 为n 维非空向量集合，及乘数两种运算封闭，且集合V 对于加法则称集合V 为向量空间.
1.向量空间的定义
定义2 设有向量空间V 1及V 2，若V 1
V 2，⊂就称V 1 是V 2 的子空间.
例1 : 齐次线性方程组的解集{}
==0S x Ax 是一个向量空间.(解空间)
S
Ax x A Ax Ax x x A x x 均属于且：为任意两个解，则分析：若0)(0
)(,11212121===+=+λλ空间
如n R
例2 : 非齐次线性方程组的解集,不是向量空间
当解集S 为空集时,不是向量空间;当解集S 非空时,也不是向量空间.
故数乘运算不封闭
非齐次方程组的解，因分析：b b Ax x A x ≠==λλλ111)(。

即：
生成的向量空间组成的集合称作向量组的线性组合得到的向量所有则称向量组向量组（生成空间定义）：设定义V A A a a a A m ,,,,:321 {}.
=V R a a a x m m m ∈+++=λλλλλλ,,,|212211 结论：等价的向量组所生成的向量空间相同。

证：设V ,∈x 则可由线性表示，
x m a a a ,,,21 例3:设向量组与向量组等价，m a a a ,,,21 s b b b ,,,21 记
{}, 1=V R a a a x m m m ∈+++=λλλλλλ,,,|212211
{}, 2=V R b b b x s s s ∈+++=μμμμμμ,,,|
212211试证.
21V V =
又m a a a ,,,21 可由线性表示，
s b b b ,,,21 则可由线性表示，x s b b b ,,,21 所以,
2V ∈x 即若V 1,∈x 则∈x V 2,所以V 1 V 2
；⊂同理可证：若∈x V 2,则V 1，∈x 所以V 2 V 1
.⊂∴V 1=V 2.2.向量空间的最大无关组——基的概念（1）基的定义
设V 为向量空间，如果r 个向量∈V , 满足r a a a ,,,21 （i ）线性无关；
r a a a ,,,21 （ii ）V 中任一向量都由线性表示，r a a a ,,,21 那么，向量组称为向量空间V 的一个基,r a a a ,,,21 r 称为向量空间V 的维数，并称V 为r 维向量空间.特别地：如果向量空间V 没有基则V 的维数为0。

0 维向量空间只含一个零向量0.
（2）结论1：任何n 个线性无关的n 维向量都是向量空间R n 的一个基，由此可知R n
的维数为n .
分析：因为任意n ＋1个n 维向量线性相关，所以按照线性相关的线性表示定理，任意一个无关向量以外的n 维向量都能由这n 个线性无关的n 维向量线性表示。

显然，n 个无关向量可自身表示，故以上结论成立。

（4）向量由基线性表示的系数——坐标
{}. =V R a a a b r r r ∈+++=λλλλλλ,,,|212211 可表示为：的一个基，则是向量空间若向量组V V a a a r ,,,21 数组称为向量b 在基中的坐标.
12,,
,n λλλ12,,
,r a a a 就是线性表示坐标
是基向量组，的解，其中即系数，用基向量组线性表示的是在基中的坐标实际上就X A b AX b b =一个基的基础解系是其解集的：齐次线性方程组结论02=Ax （3）过渡矩阵概念：
的过渡矩阵
到基为由基则称，使得：矩阵如存在、有两个基设向量空间B A C AC B C B A B A V r r ,.,,:,,,:,2121=βββααα
例4: 设()12312 2 21 14,, 21 2, (,) 03,
1 2 242A a a a B b b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
==-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
验证是R 3的一个基，并求在这个基中的坐标.
321,,a a a 21,b b 解
表示系数）
的列向量即坐标（线性有解，解用基表示，即基，的一个线性无关，它就是只要维向量组成的向量组，是由x B Ax b b R a a a A =∴213321,,,3 ⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛----2430 41 2 2 12 12 12 2 ()=B A |⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛
2 4 2 2 1 ---7 8 6
3 0-6 9 9 0 0--⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
1 3
2
0 1 0-3
2
1 1 0 0-34
32 0 0 1 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
32 2 0 2 1 -
-1
3
2
0 1 0-3
2
1 1 0 0-3
且,32323211a a a b --=.
3
2
343212a a a b ++=32
,
1,341,3232,21和，的坐标分别为：--b b ____21,11:11,01:440521212
的过渡矩阵为：
到的基从分）
，数学一，（例题⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ββααB A R B A C AC B C B A 1
,-==即，则的过渡矩阵为到基分析：从基的解
即），（），（－B AX B A C ===-,211
211ββαα⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132
),(211032012110320121101111),1C B A E B A 所以，应填～～～（第十一讲：方程组解的解构与向量空间。