线性代数 基础解系求法举例

教学目的理解齐次线性方程组的基础解系的概念与求法。掌握非齐次线性方程组通解的结构。掌握向量空间的基的概念与求法

作业

重点基础解系及其求法、向量空间的基练习册P37－40第13题

至

第19题，期中交：P37－40

难点方程组解的结构讲授方法

媒体与投影

讲授内容主线齐次解的基础解系概念－基础解系求法－举例－非齐次通解的求法－向量空间的封闭与生成性－基与坐标－向量内积与长度。

内容概括

齐次方程组的基础解系由n-r 个无关解向量组成，非齐次是齐次解加特解，向量组生成具有封闭线性运算的向量空间。向量内积实际上是矩阵运算，由施瓦茨不等式引出长度与正交。

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本次课讲第四章第四节第五节，方程组解的结构与向量空间，

下次课讲第五章第一二节，

下次上课时交作业P37～P40

二、齐次线性方程组解的结构：

1.复习齐次线性方程组解的秩的判定定理

2.解向量的概念n

r A R AX n n A R AX <=⇔==⇔=)(0()(0有非零解（无穷多解）齐次方程组为解向量的维数）

有唯一零解齐次方程组设有齐次线性方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++0

00221122221211212111n m n m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）设,21

2222111211

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m n m m n n a a a a a a a a a

A =x =,21⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛n x x x 则（1）式可写成向量方程Ax = 0（2）

⎪

⎪⎪

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=====12111112121111,,,n n n x x x x x x x ξξξξ）的解则为（若称为方程组（1）的解向量，它也是向量方程（2）的解.第十讲向量组的秩与方程组解的结构

2.解向量的性质

性质1若为齐次方程组的解，则也是相应齐次方程组的解.

21,ξξ==x x 21ξξ+=x 证()21ξξ+A 21ξξA A +=00+=0

=性质2若为齐次方程组的解，k 为实数，则k

也是相应齐次线性方程组的解.

1ξ=x 1 ξ=x 证：)()00.

k k k ==⨯=（11A ξA ξ的解（向量）。

均是的线性组合的解向量结论：0,,,0221121=+++==AX k k k x AX t t t ξξξξξξ 3.AX =0的基础解系

的一个基础解系。

为的任一个最大无关组称中，则（或解向量组）的全体解向量组成解集定义：设00==AX S S AX

基础解系不唯一

的的最大无关组，所以）由于基础解系是解集（01=AX t

t t t k k k x x AX AX ξξξξξξξξξ+++=== 22112121,,,00,,,2线性表示，即：

均可用的任意解的一个基础解系，则方程组为线性设解向量）由最大无关组定义，（4.求AX =0的基础解系－－AX ＝0的通解：

事实上，上一章我们已经学会了用矩阵的秩求线性方程组通解的方法：假定AX =0,A 的秩为R(A)=r,求解步骤如下

化A 为行最简形矩阵为

,

0000

1001,1,111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--

r

n r r r n b b b b =A 与A 对应的方程组的同解方程组为

,,11111n r n r x b x b x -+---= .

,11n r n r r r r x b x b x -+---= ⎩⎨

⎧1122,,

r r n n r x c x c x c ++-===令自由未知数

则：

⎪⎪

⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎪⎨⎧++++=++++=++++=-+--=-+--=-++----r

n n r r r n r n r r r r r n r n c x c x c x c b c b c b x c b c b c b x 0000

000002

1

11,2211,12121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++-+---+--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+r n r

n r n r r r r n r n n r r c c c b c b c b c b c b c b x x x x -1,2211,121211111000000 为：

向量（列矩阵）的形式矩阵表示通解，并写成根据上式求得通解，用⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---001010001)()(121221111 r n r r n r n r r b b c b b c b b c 第十讲向量组的秩与方程组解的结构

巧得很，AX=0的通解正好是n-r 个解向量的线性组合，如果这n-r 个解向量就是解集的最大无关组，我们就等于找到了AX=0的基础解系。事实上，我们有如下定理：

（2）定理：设n 元齐次方程组AX=0的系数矩阵的秩R(A)=r ,解集（解向量组）为S ,则R(S)=n-

r

）

（下：

得到齐次方程组通解如*2211r n r n c c c x --+++=ξξξ