23离散型随机变量的均值和方差 ppt课件

X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
解：E1X 9,E2X 9 D1 X 0 .4 ,D2 X 0 .8
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某 个方面的特征，最常用的有期望与方差.
二、互动探索
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，
1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是
多少？
X 1 1 1 1 2 2 2 3 3 42 10
把环数看成随机变量的概率分布列：权数
X
1
2
3
4
小结： 一般地，如果随机变量X服从两点分布，
X
1
0
P
p
1－p
则 E 1 X p 0 (1 p ) p
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望。
解：(1) X～B（3，0.7）
加
P
4
3
2
1
权
10
10
10
10
平
X142332412 均
10 10 10 10
2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg， 36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售， 如何对混合糖果定价才合理？
把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
X 18 24 36
P
3
6
2
1
6
6
X1 8 12 4 13 6 12(元 3/k)g 236
X DX 1.21.095
2、若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为 常数，求EX和DX。 解：离散型随机变量X的分布列为：
Xc P1
EX＝c×1＝c DX＝（c－c）2×1＝0
四、方差的应用
例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
P p1 p2 ··· p i ··· pn
X x1
x 2 ··· x i ··· x n
Y ax1 b ax2 b ··· axi b ···axn b
P p1
p2 ··· p i ··· pn
E ( a 1 Y b ) p x 1 ( a 2 b ) p x 2 ( a n b ) p x n
三、基础训练
1、已知随机变量X的分布列
X0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求DX和σX。
解：E 0 0 . 1 X 1 0 . 2 2 0 . 4 3 0 . 2 4 0 . 1 2 D X (02)20.1(12)20.2(22)20.4 (32)20.2(42)20.11.2
X0
1
2
3
P 0.33 C310.70.32 C320.720.3 0.73
(2) E 0 0 X . 3 3 1 C 3 1 0 . 7 0 . 3 2 2 C 3 2 0 . 7 2 0 . 3 3 0 . 7 3
EX2.130.7
小结： 一般地，如果随机变量X服从二项分布，
则称
D ( x 1 E X ) 2 p 1 X ( x i E ) 2 p i X ( x n E ) 2 p n n
(xi EX)2 pi 为随机变量X的方差。
i1
称 X
DX为随机变量X的标准差。
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平 均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离 于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
X x1 x 2 ··· x i ··· x n
P p1 p2 ··· p i ··· pn
E x 1 p 1 X x 2 p 2 x i p i x n p n
思考：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是 随机变量． （1） Y的分布列是什么？ （2） EY=？
X x1 x 2 ··· x i ··· x n
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x 2 ··· x i ··· x n
P p1 p2 ··· p i ··· pn
则称
E x 1 p 1 X x 2 p 2 x i p i x n p n
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。
a ( x 1 p 1 x 2 p 2 x n p n ) b ( p 1 p 2 p n )
aEXb
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
X x1 x 2 ··· x i ··· x n
P p1 p2 ··· p i ··· pn E x 1 p 1 X x 2 p 2 x i p i x n p n
即X～B（n,p），则 EXnp
基础训练： 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和
2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球
次数的数学期望是 3 .
离散型随机变量取值的方差
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x 2 ··· x i ··· x n
P p1 p2 ··· p i ··· pn
二、数学期望的性质
E(aX b)aEX b
三、基础训练
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则Eξ= 2.4
.
(2)若η=2ξ+1，则Eη= 5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
ξ
4
7
P
0.3
a
9
10
b
0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4 .
四、例题讲解
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？
高二数学 选修2-3
2.3离散型随机变量 的均值和方差
一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列
X
x1
x 2 ··· x i
···
P p1
p2
··· p i
···
2、离散型随机变量分布列的性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
复习引入
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中， 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例 如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平， 很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否 “两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。