人教版平方差公式-课件PPT
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人教版平方差公式 PPT
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
1.经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式； 2.理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式．
回忆：多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘
另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
(2)原式
=(100+2)(100-2)
=(y2－22)-(y2+5y-y-5)
3;y+5
=10000－4
=-4y+1
=9996
1.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是
( （2）（5）（6） )
（1）(x+1)(1+x)；
（2）(a+b)(b－a)；
（3）(－a+b)(a－b)； （4）(x2－y)(x+y2)；
5.(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8）（x16+y16)
【解析】原式=（x2y2 )( x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16) =(x16-y16)(x16+y16) = x32-y32
图2
只有符合(a+b)
【例1】运用平方差公式计算：
(a－ b)的形式才能
用平方差公式
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；(2) (b+2a)(2a－b);
14.2.1 平方差公式
1.经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式； 2.理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式．
回忆：多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘
另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
(2)原式
=(100+2)(100-2)
=(y2－22)-(y2+5y-y-5)
3;y+5
=10000－4
=-4y+1
=9996
1.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是
( （2）（5）（6） )
（1）(x+1)(1+x)；
（2）(a+b)(b－a)；
（3）(－a+b)(a－b)； （4）(x2－y)(x+y2)；
5.(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8）（x16+y16)
【解析】原式=（x2y2 )( x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16) =(x16-y16)(x16+y16) = x32-y32
图2
只有符合(a+b)
【例1】运用平方差公式计算：
(a－ b)的形式才能
用平方差公式
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；(2) (b+2a)(2a－b);
平方差公式课件ppt
(1) (x+3)(X-3)=x2-9 (2) (-1-2x)( 2x-1)= 1-4x2 (3) (m+n)(n-m)=n2-m2 (4) (-1+y)(-y-1)=1-y2 (5) (-3a2+2b2)(-3a2-2b2)=9a4-4b4
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
= x2 − 4y2
你还有其它的计 算方法吗？
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⑴ (a+1)(a-1)= a2-1 ⑵ (3+x)(3-x)= 9-x2 ⑶ (a+2b)(a-2b)= a2-(2b)2 =a2-4b2 ⑷ (3x+5y)(3x-5y)= (3x)2-(5y)2 =9x2-25y2 ⑸ (10s-3t)(10s+3t)= (10s)2-(3t)2
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例2：计算 （1）102×98 (2) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
(2)解：原式=y2-4-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1
= (2a)2 − b2 = 4a2 − b2
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例1 运用平方差公式计算： (1) (3x+2)(3x − 2）
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= x2 − 4y2
你还有其它的计 算方法吗？
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⑴ (a+1)(a-1)= a2-1 ⑵ (3+x)(3-x)= 9-x2 ⑶ (a+2b)(a-2b)= a2-(2b)2 =a2-4b2 ⑷ (3x+5y)(3x-5y)= (3x)2-(5y)2 =9x2-25y2 ⑸ (10s-3t)(10s+3t)= (10s)2-(3t)2
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例2：计算 （1）102×98 (2) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
(2)解：原式=y2-4-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1
= (2a)2 − b2 = 4a2 − b2
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例1 运用平方差公式计算： (1) (3x+2)(3x − 2）
平方差公式课件PPT
$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab - 2bc$
$(a-b+c)^2 = a^2 - b^2 + c^2 + 2(ab)c$
平方差公式的其他变种形式
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ $(a-b)^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
平方差公式课件
目录
CONTENTS
• 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的推导过程 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用举例 • 平方差公式的变种 • 总结与回顾
01 平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
总结词
平方差公式是数学中一个重要的恒等 式，用于表示两个数的平方差与这两 个数之间的关系。
$(a+b+c)^3 = (a+b+c)(a^2 - ab + b^2 - ac + bc - c^2)$
06 总结与回顾
本节课的重点回顾
01
02
03
04
平方差公式的形式和结 构
平方差公式的推导过程
平方差公式的应用范围 和条件
平方差公式的代数表示 和几何意义
本节课的难点解析
01
02
03
04
如何理解和记忆平方差公式的 形式和结构
目标
证明该公式成立
证明的步骤
01
02
03
步骤1
展开左侧，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2 + ab - ab$
步骤2
合并同类项，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$
《平方差公式说》课件
围。
二次项系数不为1的平方差公式推广
当二次项系数不为1时，平方差 公式仍然成立，但形式会有所不
同。
推广后的公式可以适用于更广泛 的情况，包括二次项系数不为1
的等式和恒等式。
通过推广平方差公式，我们可以 更好地理解和应用数学中的一些
基本概念和原理。
平方差公式的其他形式和推广
除了标准的平方差公式外，还有许多 其他形式和推广的平方差公式。
03
CATALOGUE
平方差公式的证明
利用数学归纳法证明
总结词
数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，通过归纳递推 的方式，证明命题对所有自然数都成立。
详细描述
首先证明基础步骤，即n=1时命题成立；然后假设n=k时命 题成立，推导出n=k+1时命题也成立；最后由归纳递推得出 ，命题对所有自然数n都成立。
利用多项式乘法法则推导
总结词
通过多项式乘法法则，将平方差公式进行拆解和重组，推导出其公式形式。
详细描述
首先将平方差公式中的每一项视为一个多项式，然后利用多项式乘法法则，将 每一项与另一项相乘，得到的结果再合并同类项，最终推导出平方差公式。
利用因式分解法推导
总结词
通过对平方差公式进行因式分解，将其拆解为更简单的形式，从而推导出其公式 形式。
通过学习和掌握这些公式，我们可以 更好地理解和应用数学中的一些基本 概念和原理，从而更好地解决实际问 题。
这些公式可以用来解决一些特定的问 题，例如求解某些数学问题和证明某 些等式。
THANKS
感谢观看
平方差公式的应用范围
01
02
03
04
在代数中，平方差公式常用于 因式分解和多项式简化。
在几何中，它可以用于计算某 些图形的面积和周长。
二次项系数不为1的平方差公式推广
当二次项系数不为1时，平方差 公式仍然成立，但形式会有所不
同。
推广后的公式可以适用于更广泛 的情况，包括二次项系数不为1
的等式和恒等式。
通过推广平方差公式，我们可以 更好地理解和应用数学中的一些
基本概念和原理。
平方差公式的其他形式和推广
除了标准的平方差公式外，还有许多 其他形式和推广的平方差公式。
03
CATALOGUE
平方差公式的证明
利用数学归纳法证明
总结词
数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，通过归纳递推 的方式，证明命题对所有自然数都成立。
详细描述
首先证明基础步骤，即n=1时命题成立；然后假设n=k时命 题成立，推导出n=k+1时命题也成立；最后由归纳递推得出 ，命题对所有自然数n都成立。
利用多项式乘法法则推导
总结词
通过多项式乘法法则，将平方差公式进行拆解和重组，推导出其公式形式。
详细描述
首先将平方差公式中的每一项视为一个多项式，然后利用多项式乘法法则，将 每一项与另一项相乘，得到的结果再合并同类项，最终推导出平方差公式。
利用因式分解法推导
总结词
通过对平方差公式进行因式分解，将其拆解为更简单的形式，从而推导出其公式 形式。
通过学习和掌握这些公式，我们可以 更好地理解和应用数学中的一些基本 概念和原理，从而更好地解决实际问 题。
这些公式可以用来解决一些特定的问 题，例如求解某些数学问题和证明某 些等式。
THANKS
感谢观看
平方差公式的应用范围
01
02
03
04
在代数中，平方差公式常用于 因式分解和多项式简化。
在几何中，它可以用于计算某 些图形的面积和周长。
人教版八年级数学上册14.2.1平方差公式课件(共41张PPT)
=
4 9
x2
-
y2
(3m＋2n)(3m－2n)
变式一 ( －3m＋2n)(－3m－2n)
变式二 ( －3m－2n)(3m－2n) 变式三 (－3m－2n)(3m＋2n)
1 利用平方差公式计算：
（1）(7+6x)(7−6x)；（2）(3y ＋ x)(x−3y)； （3）(−m＋2n)(−m−2n)．
1.本节课你有何收获？ 2.你还有什么疑问吗？
一个公式：（a+b)(a-b)=a2-b2
两种作用 (1)简化某些多项式的乘法运算 (2)提供有理数乘法的速算方法
三个表示 公式中的a，b可表示 (1)单项式 (2)具体数 (3)多项式
拓展提升
利用平方差公式计算:
（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
【预习导学】
一、自学指导:自学1：自学课本P107－108页“探究与思考与例1、例2”，掌
握平方差公式，完成下列填空。
能否运用公式，若能直接说出结果 (l)(-a+b)(a+b)= _________ (2)(a-b)(b+a)= __________ (3)(-a-b)(-a+b)= ________ (4)(a-b)(-a-b)= _________ (5)(a+b)(-a-b)=________ (6)(a-b)(-a+b)=________
2 利用平方差公式计算：[]
（1）1992×2008
（2）39.8×40.2.
王捷同学去商店买了单价是9.8元/千克 的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器， 王捷就说出应付99.96元，结果与售货员计 算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说： “你真是个神童！”王捷同学说：“过奖 了，我只是利用了在数学上刚学过的一个 公式.”
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人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
14.2.1 平方差公式
人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
规律探索：
人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
计算： (1) (x+1)(x-1) = x2 - 1 (2) (m+2)(m-2) = m2 - 4 (3) (2x+1)(2x-1) = 4x2 - 1
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人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
运用平方差公式计算：
1、(m+n)(-n+m) = 2、(-x-y) (x-y) = 3、(2a+b)(2a-b) = 4、(x2+y2)(x2-y2)=
注意：a、b可以是数，也可以是整式
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知识延伸
人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
灵活运用平方差公式计算：
（1）(3x+4)(3x-4) – (2x+3)(3x-2);
（2）(x+y)(x-y)(x2+y2); (3) x(x-1)-(x-1)(x1) 33
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小结
人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
平方差公式
字母：(a+b)(a-b)=a2-b2
特征： 有两个完全相同的项 和两个符号相反的项
14.2.1 平方差公式
人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
规律探索：
人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
计算： (1) (x+1)(x-1) = x2 - 1 (2) (m+2)(m-2) = m2 - 4 (3) (2x+1)(2x-1) = 4x2 - 1
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人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
运用平方差公式计算：
1、(m+n)(-n+m) = 2、(-x-y) (x-y) = 3、(2a+b)(2a-b) = 4、(x2+y2)(x2-y2)=
注意：a、b可以是数，也可以是整式
人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
知识延伸
人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
灵活运用平方差公式计算：
（1）(3x+4)(3x-4) – (2x+3)(3x-2);
（2）(x+y)(x-y)(x2+y2); (3) x(x-1)-(x-1)(x1) 33
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人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
小结
人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
平方差公式
字母：(a+b)(a-b)=a2-b2
特征： 有两个完全相同的项 和两个符号相反的项
人教版八年级数学上册《14.2.1 平方差公式》课件 (共18张PPT)
例1 利用平方差公式计算： （1）(7+6x)(7−6x)； （2）(3y ＋ x)(x−3y)； （3）(−m＋2n)(−m−2n)． 解：（1） (7+6x)(7−6x)= 72-（6x）2= 49－36x2
（2）(3y+x) (x−3y) = x2－3y2= x2－9y2
（3）(−m+2n)(−m−2n ) =(－m)2－(2n)2 =m2－4n2
=(1000 −4) ×(1000+4 ) =10002 −42 =1000 000−16 =999 984
判断下列式子能否用平方差公式计算：
(1) (a+2b)(a−2b) ； (不能) (第一个数不完全一样 ) (2) (a−2b)(2b−a) ； (不能) (3) (2a+b)(b+2a)； (不能) (4) (a−3b)(a+3b) ； (能) −(a2 −9b2)= −a2 + 9b2 ； (5) (2x+3y)(3y−2x)． (不能)
例4 改正错误 (1)(x+3)(x-3)=x2-3 错，x2-9 (2)(-3a-1)(3a-1)=9a2-1 错，1-9a2 (3)(4x+3y)(4x-3y)=4x2-3y2 错，16x2-9y2 (4)(2xy-3)(2xy+3)=4xy2-9 错，4x2y2-9
例5 用两种方法计算(3x5)(3x5)
（1）公式左边两个二项式必须是相同两 数的和与差相乘；且左边两括号内的第 一项相等、第二项符号相反（互为相反 数或式.
（2）公式右边是这两个数的平方差；即 右边是左边括号内的第一项的平方减去 第二项的平方．
（3）公式中的 a和b 可以是数，也可以是 代数式．
人教版教材《平方差公式》课件ppt1
多项式与多项式是如何相乘的？
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am+an +bm+bn
（x ＋ 3)( x＋５） =x2＋5x ＋3X ＋15 =x2 ＋8x ＋15
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘 另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
计算下列多项式的积：
(1) (x+1)(x-1) = X2-1 =x2 - 12
（ x4 y）4 (x4+y4) x8 y8
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
小结
平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
B.(a-b)(b-a)
C.（100+8)(100-7)
D.(x+y-1)(x+y-1)
C
2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( )
A.(x-2y)(2y+x)
B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y)
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
D.(-2b-5)(2b-5)
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
例2 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
(2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2) （2）(b+2a)(2a－b)
=(3x)2－22
=(2a+b)(2a－b)
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am+an +bm+bn
（x ＋ 3)( x＋５） =x2＋5x ＋3X ＋15 =x2 ＋8x ＋15
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘 另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
计算下列多项式的积：
(1) (x+1)(x-1) = X2-1 =x2 - 12
（ x4 y）4 (x4+y4) x8 y8
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
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小结
平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
B.(a-b)(b-a)
C.（100+8)(100-7)
D.(x+y-1)(x+y-1)
C
2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( )
A.(x-2y)(2y+x)
B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y)
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
D.(-2b-5)(2b-5)
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
例2 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
(2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2) （2）(b+2a)(2a－b)
=(3x)2－22
=(2a+b)(2a－b)
平方差公式ppt课件
1. 计算 (+)(−) 的结果是(
A. −
B. −
)
A
C. −
D. −
2. 下列多项式相乘中，不能用平方差公式计算的是( A )
A. ( − )( − )
B. (− + )(− − )
C. ( − )( + )
D. ( + )( − )
3．(1)(2021德阳)已知a＋b＝2，a－b＝3，则a 2－b2 的值
为
6
；
(2)计算：(x＋2)(x－2)(x 2＋4)＝
x 4－16 ．
知识点三：巧用平方差公式计算
技巧：当出现多个因式相乘时，要仔细观察式子的特点，
看是不是符合平方差公式的结构特征或根据题意“凑”出
符合平方差公式结构的形式，然后依次运用公式，一直到
小结：正确列式表示图①和图②中的阴影面积是关键.
例1 判断下列各式是否满足平方差公式的结构特征，若满足，则运用平方差公式计算.
【点拨】先观察题中的式子是否符合“ ( + )( − ) ”的结构特征，若符合，进
而确定式子中的“ ”与“ ”，然后依据公式可得出运算结果.
例3 计算：
【点拨】 （1） (−) 与 (+) 符合平方差公式的形式,其结果再与 ( +) 结合．（2）
观察式子的特点， (+) 可以理解为 × (+) = (−)(+) = − ,这样可借助平方差公
式计算．
（1） (−)( +)(+) ；
【解】原式 = (−)(+)( +)
平方差公式(课件)八年级数学上册(人教版)
2
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
14.2.1 平方差公式 课件-人教版八年级数学上册
一 平方差公式——(a+b)(a–b)=a2–b2
练习2：下列各式的计算正确吗？如果不正确，应当怎样改正？
①(x + 2 )(x – 2 ) = x2 – 2
× = x2 – 4
②(-3a – 2)(3a – 2 ) = 9a2 – 4 × = 4 – 9a2
③(4x + 3y)(4x – 3y) = 4x2 – 3y2 × = 16x2 – 9y2
(2) 原式＝(-x)2 – (2y)2 ＝x2 – 4y2；
一 平方差公式——(a+b)(a–b)=a2–b2
例 2： 102×98
练习4： 51×49
解：原式＝(100 + 2)(100 – 2) ＝1002 – 22 ＝9996;
原式＝(50 + 1)(50 – 1) ＝502 – 12 ＝2499.
一 规律探究
(x + 1) (x – 1) = x2 – 12 (m + 2) (m – 2) = m2 – 22 (2x + 3) (2x – 3) = 4x2 – 9
一 规律探究
(x + 1) (x – 1) = x2 – 12
(m( a+ +2)b(m) (–a2–) b)== am2 -2 –b222
⑤ (2x + 3) (2x – 3) = 4x2 – 2x + 2x – 9 = 4x2 – 9
一 规律探究
(x + 1) (x – 1) = x2 – 1 (m + 2) (m – 2) = m2 – 4 (2x + 3) (2x – 3) = 4x2 – 9
一 规律探究
(x + 1) (x – 1) = x2 – 1 (m + 2) (m – 2) = m2 – 4 (2x + 3) (2x – 3) = 4x2 – 9
人教版课件《平方差公式》PPT课件1
(1)94x2 (2)x2y2 1 z2
4
范例 例2. 分解因式：
(1 )1(x 6y)29(xy)2 (2) 4 (2mn)2
25
把括号看作一个整体
巩固 4.把下列各式分解因式：
(1)(ab)2c2 (2)x (p)2(xq)2 (3)x (y)2(zm )2
• 例3.分解因式：
(1) x 4 y 4 ;
感谢观看，欢迎指导！
两数的平方差，等于这两数的和 与这两数差的积。
因式分解平方差公式：
a2b2(ab)a (b)
范例 例1.分解因式：
(1)x2 4 (2)4n29m2
先确定a和b
巩固
2.下列多项式能否用平方差公式分解因 式？
x2 y2
x2 y2
x2 y2
x2 y2
a2和b2的符号相反
巩固 3.分解因式：
因式分解要分到 每个因式都不能
(2)a
3b
ab
.
分为止. 若有公因式，一定
要先提取公因式.
范例 例4.简便计算：
56254325
利用因式分解计算
巩固
4.计算：
(651)2 (341)2
2
2
探究 根据数的开方知识填空：
4( )2
3( )2
结论：
a在实数范围内分解因式：
•
8通过了解穆罕默德的主要活动，学习 他不畏 困难的 坚强意 志和为 阿拉伯 民族统 一与幸 福而奋 斗的远 大抱负 。
•
9.掌握隋唐科举制度的主要内容，联 系当今 考试的 实际培 养分析 问题的 能力； 学生对 唐朝人 衣食住 行的时 尚和博 大宏放 的精神 面貌的 了解， 感知科 举制度 的创新 对社会 进步的 促进作 用；想 象唐朝 人的生 活，培 养学生 丰富的 想象力 。
4
范例 例2. 分解因式：
(1 )1(x 6y)29(xy)2 (2) 4 (2mn)2
25
把括号看作一个整体
巩固 4.把下列各式分解因式：
(1)(ab)2c2 (2)x (p)2(xq)2 (3)x (y)2(zm )2
• 例3.分解因式：
(1) x 4 y 4 ;
感谢观看，欢迎指导！
两数的平方差，等于这两数的和 与这两数差的积。
因式分解平方差公式：
a2b2(ab)a (b)
范例 例1.分解因式：
(1)x2 4 (2)4n29m2
先确定a和b
巩固
2.下列多项式能否用平方差公式分解因 式？
x2 y2
x2 y2
x2 y2
x2 y2
a2和b2的符号相反
巩固 3.分解因式：
因式分解要分到 每个因式都不能
(2)a
3b
ab
.
分为止. 若有公因式，一定
要先提取公因式.
范例 例4.简便计算：
56254325
利用因式分解计算
巩固
4.计算：
(651)2 (341)2
2
2
探究 根据数的开方知识填空：
4( )2
3( )2
结论：
a在实数范围内分解因式：
•
8通过了解穆罕默德的主要活动，学习 他不畏 困难的 坚强意 志和为 阿拉伯 民族统 一与幸 福而奋 斗的远 大抱负 。
•
9.掌握隋唐科举制度的主要内容，联 系当今 考试的 实际培 养分析 问题的 能力； 学生对 唐朝人 衣食住 行的时 尚和博 大宏放 的精神 面貌的 了解， 感知科 举制度 的创新 对社会 进步的 促进作 用；想 象唐朝 人的生 活，培 养学生 丰富的 想象力 。
新人教版平方差公式ppt课件
平方差公式
（a+b)(a-b)= a²-b²
两数和与这两数差的积 等于这两数的平方差 。
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
两数和乘以这两数的差
相同为a
适当交换
（a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
算一算，比一比，看谁算得又快又准!
计算下列各题
①(x+2)(x-2) = x²-4 ②(1+3a)(1-3a) =1-9a²=1-(3a)² ③(m+5n)(m-5n) =m²-25n²=m²-(5n)² ④(3y+z)(3y-z) =9y²-Z²=(3Z)²-Z²
同学们，你发现了什么规律？
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
合理加括号
相同数的平方减去相反数的平方
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
再 见！
相反为b 合理加括号
特点：相同数的平方减去相反数的平方。 公式变形:
1、(a-b)(a+b) = a2-b2 2、(b+a)(-b+a) = a2-b2
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
相同项的平方减去相反项的平方
3、判断正误
（1）（2b+a）(a-2b)=4b2-a2 ( ×)
a2-4b2
（a+b)(a-b)= a²-b²
两数和与这两数差的积 等于这两数的平方差 。
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
两数和乘以这两数的差
相同为a
适当交换
（a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
算一算，比一比，看谁算得又快又准!
计算下列各题
①(x+2)(x-2) = x²-4 ②(1+3a)(1-3a) =1-9a²=1-(3a)² ③(m+5n)(m-5n) =m²-25n²=m²-(5n)² ④(3y+z)(3y-z) =9y²-Z²=(3Z)²-Z²
同学们，你发现了什么规律？
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
合理加括号
相同数的平方减去相反数的平方
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
再 见！
相反为b 合理加括号
特点：相同数的平方减去相反数的平方。 公式变形:
1、(a-b)(a+b) = a2-b2 2、(b+a)(-b+a) = a2-b2
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
相同项的平方减去相反项的平方
3、判断正误
（1）（2b+a）(a-2b)=4b2-a2 ( ×)
a2-4b2
14.2.1《平方差公式》ppt课件(共28张PPT)
14.2.1《平方差公式》ppt课件（共28张PPT）
5.化简：(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16).
【解析】原式=（x2y2 )( x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16) =(x16-y16)(x16+y16) = x32-y32.
个边长为b的小正方形，如图1，拼成
如图2的长方形，你能根据图中的面
图1
积说明平方差公式吗？
(a+b)(a－b)=a2－b2
图2
【例题】
【例1】运用平方差公式计算：
只有符合(a+b) (a－ b)的
形式才能用平方差公式
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) .(2) (b+2a)(2a－b).
【解析】 (1) (3x＋2)(3x－2) (2)(b+2a)(2a－b)
=(3x)2－22
=(2a+b)(2a－b)
=9x2－4.
=(2a)2－b2
=4a2－b2.
【例2】计算
(1) 102×98. (2)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5).
【解析】
（1） 102×98
(2)原式
=(100+2)(100-2)
=(y2－22)-(y2+5y-y-5)
=1002－22
= y2－22－y2-5y+y+5
=10 000－4
5.化简：(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16).
【解析】原式=（x2y2 )( x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16) =(x16-y16)(x16+y16) = x32-y32.
个边长为b的小正方形，如图1，拼成
如图2的长方形，你能根据图中的面
图1
积说明平方差公式吗？
(a+b)(a－b)=a2－b2
图2
【例题】
【例1】运用平方差公式计算：
只有符合(a+b) (a－ b)的
形式才能用平方差公式
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) .(2) (b+2a)(2a－b).
【解析】 (1) (3x＋2)(3x－2) (2)(b+2a)(2a－b)
=(3x)2－22
=(2a+b)(2a－b)
=9x2－4.
=(2a)2－b2
=4a2－b2.
【例2】计算
(1) 102×98. (2)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5).
【解析】
（1） 102×98
(2)原式
=(100+2)(100-2)
=(y2－22)-(y2+5y-y-5)
=1002－22
= y2－22－y2-5y+y+5
=10 000－4
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9
(a+b)(a−b)=a2−b2
（1）公式左边两个二项式必须是相同两
数的和与差相乘；且左边两括号内的第
平方 差公 式的 结构
一项相等、第二项符号相反（互为相反 数 （或 2）式公. 式右边是这两个数的平方差；即 右边是左边括号内的第一项的平方减去 第 （二 3）项公的式平中方的．a和b 可以是数，也可以是
13
例3 判断下列式子能否用平方差公式计算：
(1) (a+2b)(a−2b) ； (不能) (第一个数不完全一样 )
(2) (a−2b)(2b−a) ； (不能) (不能)
(3) (2a+b)(b+2a)； (能) −(a2 −9b2)= (4) (a−3b)(a+3b) ； (不能)
−a2 + 9b2 ；
(5) (2x+3y)(3y−2x)．
14
例4 改正错误 (1)(x+3)(x-3)=x2-3 错，x2-9 (2)(-3a-1)(3a-1)=9a2-1 错，1-9a2 (3)(4x+3y)(4x-3y)=4x2-3y2 错，16x2-9y2 (4)(2xy-3)(2xy+3)=4xy2-9 错，4x2y2-9
（1）1992×2008 解：（1）1992×2008
=(2000 −8) ×(2000+8 ) =20002 −82 =4000 000−64
=3 999 936
（2）996×1004 （2）996×1004
=(1000 −4) ×(1000+4 ) =10002 −42 =1000 000−16 =999 984
= [a+(b-c)][(a- (b-c)] = [(a－2b)＋3][(a－2b)-3]
=a2－(b－c)2
= (a－2b)2－9
=a2－(b2－2ab＋c2) =(a2－4ab＋b2) －9
= a2－b2＋2ab－c2 =a2－4ab＋b2－9
18
练一练
(3a＋b＋c)(3a＋b－c) =[(3a＋b) ＋c][(3a＋b) －c] =(3a＋b)2－c2 =9a2＋6ab＋b2－c2
公式标准形式．
=25−9x2．
16
知识要点
添括号法则：
添括号时，如果括号前面是正号，括到
括号里的各项都不变符号；如果括号前面是
负号，括到括号里的各项都改变符号． 也就是说，遇“加”不变，遇“减”都
变．
17
例6 计算 （1）(a+b－c)(a-b＋c) （2）(a-2b+3)(a－2b-3)
解：（1）(a+b－c)(a-b＋c) （2）(a－2b＋3)(a－2b-3)
15
例5 用两种方法计算(3x5)(3x5)
法一
(3x−5)(3x−5)
利用加法交换律，变 =(5－3x ) (－5＋3x)
成公式标准形式．
=(5)2 −(3x)2 = 25−9x2．
法二
(3x−5)(3x−5)来自提取两“−”号中=-(3x+5) (3x−5)
的“−”号，变成
=－[(3x)2−52]
（1）(b+2)(b−2) =b2－4
（2）(a +2b)(a−2b) =a2－4b2 （3）(−3x+2)(−3x−2) =9x2－4 （4）(−4a+3)(−4a−3) =16a2－9 （5）(−3x+y)(3x+y) =9x2－y2
（6）(y−x)(−x−y) =x2－y2
12
例2 利用平方差公式计算：[来源:]
19
例7 计算 （1）(x+y)(x-y)(x2+y2) 解： (x+y)(x-y)(x2+y2)
特征
代数式． （4）各因式项数相同．符号相同的放在
前面平方，符号相反的放在后面平方．
10
例1 利用平方差公式计算：
（1）(7+6x)(7−6x)； （2）(3y ＋ x)(x−3y)； （3）(−m＋2n)(−m−2n)． 解：（1） (7+6x)(7−6x)= 72-（6x）2= 49－36x2
3
难点
1．公式的推导由一般到特殊的过程的理 解；
2．正确运用公式，理解公式中字母的广 泛含义；
3．理解平方差公式的结构特征，灵活应 用平方差公式；
4．在多项式与多项式的乘法中如何适当 添括号达到应用公式的目的．
4
计算下列多项式的积． （1）（x＋6）（x－6） （2）（m＋5)(m－5) （3）（5x＋2）（5x－2） （4）（x＋4y）（x－4y）
接把结果写出来呢？
7
知识要点
一般地，我们有 （a＋b)(a－b)=a2－b2 即两个数的和与这两个数的差的积，等 于这两个数的平方差． 这个公式叫做（乘法的）平方差公式．
8
(a+b)·(a-b)= a2-b2
边长为b的小正方形纸片放置在边长 为a的大正方形纸片上，未盖住部分的面积 为_(_a_+_b_)_·(_a_-_b_) _．
观察上述多项式，你发现
什么规律？运算出结果后，
你又发现什么规律？
5
（1）（x＋6）（x－6）=x2－62 （2）（m＋5)(m－5)=m2－52 （3）（5x＋2）（5x－2）=5x2－22 （4）（x＋4y）（x－4y）=x2－4y2
6
计算 （1）(x+3)(x−3)=；x2−9 =x2−32 ；
（2）(1+2a)(1−2a) ；=1−4a2 =12−(2a)2 ； （3）(x+4y)(x−4y) ；=x2−16y2 ；=x2−(4y)2 ； （4）(y+5z)(y−5z) ；=y2−25z2 =y2−(5z)2 ．
像这样具有特殊形式的多项式相乘，
我们能否找到一个一般性的公式，并加以
熟记，遇到相同形式的多项式相乘时，直
（2）(3y+x) (x−3y) = x2－3y2= x2－9y2
（3）(−m+2n)(−m−2n ) =(－m)2－(2n)2 =m2－4n2
11
练一练
（1）(b+2)(b−2)；
（2）(a +2b)(a−2b) ；
（3）(−3x+2)(−3x−2) ； （4）(−4a+3)(−4a−3) ；
（5）(−3x+y)(3x+y) ； （6）(y−x)(−x−y) ．
平方差公式
[来源:学科网ZXXK]
(a+b)(a-b)=?
1
学习目标
知识与能力
1．理解平方差公式的意义； 2．掌握平方差公式的结构特征； 3．正确地运用平方差公式进行计算； 4．添括号法则；
2
学习重难点
重点
1．平方差公式的推导和应用； 2．掌握公式的结构特征及正确运用公 式； 3．理解添括号法则，进一步熟悉乘法 公式的合理利用．
(a+b)(a−b)=a2−b2
（1）公式左边两个二项式必须是相同两
数的和与差相乘；且左边两括号内的第
平方 差公 式的 结构
一项相等、第二项符号相反（互为相反 数 （或 2）式公. 式右边是这两个数的平方差；即 右边是左边括号内的第一项的平方减去 第 （二 3）项公的式平中方的．a和b 可以是数，也可以是
13
例3 判断下列式子能否用平方差公式计算：
(1) (a+2b)(a−2b) ； (不能) (第一个数不完全一样 )
(2) (a−2b)(2b−a) ； (不能) (不能)
(3) (2a+b)(b+2a)； (能) −(a2 −9b2)= (4) (a−3b)(a+3b) ； (不能)
−a2 + 9b2 ；
(5) (2x+3y)(3y−2x)．
14
例4 改正错误 (1)(x+3)(x-3)=x2-3 错，x2-9 (2)(-3a-1)(3a-1)=9a2-1 错，1-9a2 (3)(4x+3y)(4x-3y)=4x2-3y2 错，16x2-9y2 (4)(2xy-3)(2xy+3)=4xy2-9 错，4x2y2-9
（1）1992×2008 解：（1）1992×2008
=(2000 −8) ×(2000+8 ) =20002 −82 =4000 000−64
=3 999 936
（2）996×1004 （2）996×1004
=(1000 −4) ×(1000+4 ) =10002 −42 =1000 000−16 =999 984
= [a+(b-c)][(a- (b-c)] = [(a－2b)＋3][(a－2b)-3]
=a2－(b－c)2
= (a－2b)2－9
=a2－(b2－2ab＋c2) =(a2－4ab＋b2) －9
= a2－b2＋2ab－c2 =a2－4ab＋b2－9
18
练一练
(3a＋b＋c)(3a＋b－c) =[(3a＋b) ＋c][(3a＋b) －c] =(3a＋b)2－c2 =9a2＋6ab＋b2－c2
公式标准形式．
=25−9x2．
16
知识要点
添括号法则：
添括号时，如果括号前面是正号，括到
括号里的各项都不变符号；如果括号前面是
负号，括到括号里的各项都改变符号． 也就是说，遇“加”不变，遇“减”都
变．
17
例6 计算 （1）(a+b－c)(a-b＋c) （2）(a-2b+3)(a－2b-3)
解：（1）(a+b－c)(a-b＋c) （2）(a－2b＋3)(a－2b-3)
15
例5 用两种方法计算(3x5)(3x5)
法一
(3x−5)(3x−5)
利用加法交换律，变 =(5－3x ) (－5＋3x)
成公式标准形式．
=(5)2 −(3x)2 = 25−9x2．
法二
(3x−5)(3x−5)来自提取两“−”号中=-(3x+5) (3x−5)
的“−”号，变成
=－[(3x)2−52]
（1）(b+2)(b−2) =b2－4
（2）(a +2b)(a−2b) =a2－4b2 （3）(−3x+2)(−3x−2) =9x2－4 （4）(−4a+3)(−4a−3) =16a2－9 （5）(−3x+y)(3x+y) =9x2－y2
（6）(y−x)(−x−y) =x2－y2
12
例2 利用平方差公式计算：[来源:]
19
例7 计算 （1）(x+y)(x-y)(x2+y2) 解： (x+y)(x-y)(x2+y2)
特征
代数式． （4）各因式项数相同．符号相同的放在
前面平方，符号相反的放在后面平方．
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例1 利用平方差公式计算：
（1）(7+6x)(7−6x)； （2）(3y ＋ x)(x−3y)； （3）(−m＋2n)(−m−2n)． 解：（1） (7+6x)(7−6x)= 72-（6x）2= 49－36x2
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难点
1．公式的推导由一般到特殊的过程的理 解；
2．正确运用公式，理解公式中字母的广 泛含义；
3．理解平方差公式的结构特征，灵活应 用平方差公式；
4．在多项式与多项式的乘法中如何适当 添括号达到应用公式的目的．
4
计算下列多项式的积． （1）（x＋6）（x－6） （2）（m＋5)(m－5) （3）（5x＋2）（5x－2） （4）（x＋4y）（x－4y）
接把结果写出来呢？
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知识要点
一般地，我们有 （a＋b)(a－b)=a2－b2 即两个数的和与这两个数的差的积，等 于这两个数的平方差． 这个公式叫做（乘法的）平方差公式．
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(a+b)·(a-b)= a2-b2
边长为b的小正方形纸片放置在边长 为a的大正方形纸片上，未盖住部分的面积 为_(_a_+_b_)_·(_a_-_b_) _．
观察上述多项式，你发现
什么规律？运算出结果后，
你又发现什么规律？
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（1）（x＋6）（x－6）=x2－62 （2）（m＋5)(m－5)=m2－52 （3）（5x＋2）（5x－2）=5x2－22 （4）（x＋4y）（x－4y）=x2－4y2
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计算 （1）(x+3)(x−3)=；x2−9 =x2−32 ；
（2）(1+2a)(1−2a) ；=1−4a2 =12−(2a)2 ； （3）(x+4y)(x−4y) ；=x2−16y2 ；=x2−(4y)2 ； （4）(y+5z)(y−5z) ；=y2−25z2 =y2−(5z)2 ．
像这样具有特殊形式的多项式相乘，
我们能否找到一个一般性的公式，并加以
熟记，遇到相同形式的多项式相乘时，直
（2）(3y+x) (x−3y) = x2－3y2= x2－9y2
（3）(−m+2n)(−m−2n ) =(－m)2－(2n)2 =m2－4n2
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练一练
（1）(b+2)(b−2)；
（2）(a +2b)(a−2b) ；
（3）(−3x+2)(−3x−2) ； （4）(−4a+3)(−4a−3) ；
（5）(−3x+y)(3x+y) ； （6）(y−x)(−x−y) ．
平方差公式
[来源:学科网ZXXK]
(a+b)(a-b)=?
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学习目标
知识与能力
1．理解平方差公式的意义； 2．掌握平方差公式的结构特征； 3．正确地运用平方差公式进行计算； 4．添括号法则；
2
学习重难点
重点
1．平方差公式的推导和应用； 2．掌握公式的结构特征及正确运用公 式； 3．理解添括号法则，进一步熟悉乘法 公式的合理利用．