(甘志国)谈谈三次函数图象的切线的求法

谈谈三次函数图象的切线的求法
见甘志国著《极限与导数、数学归纳法》(哈工大出版社，2014)第50-52页
因为三次函数的导数是数学高考考查的重点内容，所以本文将谈谈三次函数图象的切线的求法.
例 已知曲线x x x f C 3)(:3-=，点⎪⎭
⎫
⎝⎛---25,1),3,1(),34,2(),2,1(),2,1(),0,0(T S R Q P O ，
求：
(1)曲线C 在点Q 处的切线方程； (2)曲线C 过点R P O ,,的切线方程； (3)曲线C 过点S Q ,的切线方程； (4)曲线C 过点T 的切线方程. 解 33)(2-='x x f .
(1)因为0)1(='f ，所以曲线C 在点Q 处的切线方程为
)1(02-=+x y
即 2-=y
(2)先求曲线C 过点O 的切线方程.
因为点O 在曲线C 上，所以点O 可能是切点，也可能不是切点. 若O 为切点，同(1)可求得切线方程为x y 3-=.
若O 不为切点，可设切点为)0)(3,(3
≠-'O O O O x x x x O ，得曲线C 在该点O '处的切线
O O '斜率为
33,33)(2
3
2
-=-=-='O O
O O O
O x x x x k x x f
所以 )0(3332
2
≠-=-O O O x x x
但此方程无解，所以曲线C 过点O 的切线方程为x y 3-=.
再求曲线C 过点P 的切线方程.
因为点P 不在曲线C 上，所以点P 不可能是切点.可设切点为
)1)(3,(3
≠-'P P P P x x x x P ，得曲线C 在点P '处的切线P P '斜率为
1
2
3,33)(3
2
---=-='P P P
P
P x x x k x x f 所以 1
2
3333
2
---=-P P P P x x x x
05322
3=+-P P x x 0)552)(1(2
=+-+P P P x x x
1-=P x
得切点为)2,1(-'P ，斜率为0)1(=-'f ，所以曲线C 过点P 的切线方程是2=y . 还需求曲线C 过点R 的切线方程.
因为R 不会是切点，所以可设切点为)2)(3,(3
≠-'R R R R x x x x R ，得曲线C 在点R '处的切线R R '斜率为
2
34
3,33)(3
2
---=-='R R R
R
R x x x k x x f 所以 2
34
3333
2
---=-R R R R x x x x
02032
3=+-R R x x 0)105)(2(2
=+-+R R R x x x
2-=R x
得切点为)2,2(--'R ，斜率为9)2(=-'f ，所以曲线C 过点R 的切线方程是
0169=+-y x .
(3)先求曲线C 过点Q 的切线方程.
当Q 是切点时，(1)中已求出切线方程是2-=y .
当Q 不是切点时，可设切点为)1)(3,(3
≠-'Q Q Q Q x x x x Q ，得曲线C 在点Q '处的切线
O O '斜率为
21
2
31
)1()(,33)(2
3
2
-+=-+-=
--=
-='Q Q Q Q Q Q Q Q O x x x x x x f x f k x x f
所以 2332
2-+=-Q Q Q x x x
)1(0122
≠=--Q Q Q x x x
2
1-=Q x
得切点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-
'811,21Q ，斜率为4921-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-'f ，所以曲线C 过点Q 的切线方程是
0149=-+y x .
即曲线C 过点Q 的切线方程有两条：2-=y 和0149=-+y x .
(注：在以上解法中，分式
1
)1()(--Q Q x f x f 一定能约成整式，这是解答本题的一点技巧，
若不约分，去分母后将变成三次方程，难度加大.)
再求曲线C 过点S 的切线方程.
因为S 不会是切点，所以可设切点为)1)(3,(3
≠-'S S S S x x x x S ，得曲线C 在点S '处的切线S S '斜率为
1
3
3,33)(3
2
-+-=-=''S S S
S
x x x k x S f 所以 1
3
3333
2
-+-=-S S S S x x x x
0322
3=-S S x x
0=S x 或2
3
进而可求得曲线C 过点S 的切线方程有两条：x y 3-=和027415=--y x . (4)因为T 不会是切点，所以可设切点为)1)(3,(3
≠-'T T T T x x x x T ，得曲线C 在点T '处的切线T T '斜率为
1253,33)(3
2
-+
-=
-='T T T T T x x x k x x f
所以 1
25
3333
2
-+
-=
-T T T T x x x x
01642
3=+-T T x x
21=
S x 或2
31 进而可求得曲线C 过点T 的切线方程有三条：0149=++y x 和
0533233=±-±y x .
练习 1.(由2007年全国卷(II)理科压轴题改编)已知函数x x x f -=3)(. (1)求曲线)(x f 在点))(,(t f t M 处的切线方程；
(2)证明：设0>a ，则过点),(b a 可作曲线)(x f y =的三条切线)(a f b a <<-⇔. 2.(2010·湖北·文·21)设函数c bx x a x x f ++-=2
32
31)(，其中0>a ，曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线方程为1=y .
(1)确定c b ,的值；
(2)设曲线)(x f y =在点))(,(11x f x 及))(,(22x f x 处的切线都过点(0,2)，证明：当
21x x ≠时，)()(21x f x f '≠'；
(3)若过点)2,0(可作曲线)(x f y =的三条不同切线，求a 的取值范围.
(答案：1.(1)23(31)2y t x t =--；(2)略.2.(1)1,0==c b ；(2)略；(3)),32(3+∞⋅.)。