第十三章机械波

第十三章 机械波

教学基本要求

1、理解机械波产生的条件，掌握描述波动各物理量的物理意义及其相互关系，并能熟练地确定这些量。

2、掌握波动方程及其物理意义，能熟练应用波动方程的多种表达式。根据已知质点的谐振动方程或波形图，能建立平面简谐波的波动方程。

3、理解波动能量的特点，了解波的能流、能流密度的概念及相关计算。

4、理解惠更斯原理和波的叠加原理。掌握波的相干条件，能应用相位差或波程差的概念分析和确定相干波叠加后的振幅加强或减弱的条件。

5、理解驻波的形成和波节、波腹的概念，掌握驻波的振幅和相位的特点，了解半波损失的概念以及产生条件。

6、了解多普勒效应及其产生的原因。

教学内容提要

1、平面简谐波的波动方程

（1）波动方程 )]) (cos[ϕω+-=u

x

t A y ]) (2cos[ϕλ

νπ+-=x t A y ])( 2cos[ϕπν+-=u

x t A y ])(2cos[ϕπ+-=u

x t T A y （2）各物理量的关系

周期 νωπ

1

2T == 波长 uT =λ 相速度 νλλ==T

u 2、波动方程的多种表达式

]) (2cos[ϕλ

νπ+-=x t A y ])( 2cos[ϕπν+-=u

x t A y ])(2cos[ϕπ+-=u

x t T A y 3、波的能量

（1）平均能量密度 22 0 2

1wdt 1ωρA T w T ⎰==

（2）平均能流密度（即波强） u A u w s P I 22 21ωρ=== 4、波的叠加和干涉

（1）惠更斯原理：介质中波动传到的各点都可以看作发射子波的新波源，在以后的时刻里，这些子波的包络面就是该时刻的波面。

（2）叠加原理：几列波在一种介质中同时传播时，各波在相遇后都保持原有的特性（如频率、波长、振动方向等）沿着各自原来的传播方向继续向前，好像在各自的传播途径中，并没有遇到其它的波一样，各波是独立传播的。在各个波的相重叠区内某质点的振动位移，是各个波在该处单独引起的振动位移的矢量和，这一规律称为波的叠加原理，又叫波的传播的独立性原理。

（3）波的干涉

相干条件：频率相同、振动方向相同、相位差恒定。

干涉相长与相消的条件：若12ϕϕ=，则

⎪⎩

⎪⎨⎧⋅+±±=-=2)12(12λλδk k r r 0,1,2,k =干涉相消干涉相长 若12ϕϕ≠，则在相遇点满足

πλπ

ϕϕϕk r r 22)(1212±=---=∆ ,.....2,1,0=k 干涉相长 πλ

πϕϕϕ)12(2)(1212+±=---=∆k r r ,......2,1,0=k 干涉相消 （4）驻波——两列频率、振幅和振动方向均相同，而传播方向相反的同类列波相干叠加后形成的波称为驻波。

波节和波腹 波节处质点振动的振幅为零，始终处于静止状态；波腹处质点的振动振幅最大，等于2A 。

相位分布特点 相邻两波节之间所有质点振动相位相同，同步振动；任一波节两侧各质点振动相位相反，相差为π。

半波损失 又称为相位突变，波从波疏媒质入射到波密媒质（入射角较小时），在反射处，反射波的振动相位与入射波的相反（干涉后形成波节），即相位在反射处发生了π突变，即为半波损失。

5、多普勒效应

若波源与观察者或两者同时相对于介质在运动，观察者接收到的频率不同于波源频率，这种现象称为多普勒效应。

νυυνs

o u u ±=' ν'为接收频率，ν为波源频率。 重点和难点分析

本章主要讨论机械波的产生、描述、能量特点以及波的干涉等，并适当的介绍了多普勒效应相关问题。本章的重点内容是：平面简谐波的基本概念，波动方程及波的干涉。难点内容是：惠更斯原理和波的叠加原理。

学习时要注意掌握机械波产生的条件，描述简谐波的各物理量（特别是相位）及各量间的关系和波函数的物理意义，以及由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方

法。关于机械波的干涉，从波的相干条件、干涉现象到应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件，以及驻波及其形成条件几个方面仔细理解波动和振动的联系和区别。另外还要注意弄清波的能量传播特征及与振动能量特点的区别。

例题分析

例13-1：横波在弦上传播，波动方程为

()x t y 5200cos 02.0-=π (SI)

求：（1）?=μλ、、、、T v A

（2）画出s s t 005.00025.0、=时波形图。

解：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=λπλπμπωx T t A x vt A x t A y 2cos 2cos 2cos 此题波动方程可化为

⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4.001.02cos 02.04.01002cos 02.040200cos 02.0x t x t x t y πππ

由上比较知： m A 02.0=

s m /40=μ Hz v 100= m 4.0=λ s T 01.0=

另外：求λμ、可从物理意义上求。

（a ）λ=同一波线上相位差为π2的二质点间距离

设二质点坐标为x 1、x 2（设x 2> x 1），有

()()πππ25200520021=---x t x t ，得

m x x 4.05

212==-=λ （b ）μ=某一振动状态在单位时间内传播的距

离。

设1t 时刻某振动状态在1x 处，2t 时刻该

振动状态传到2x 处，有

()()221152005200x t x t -=-ππ

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨

⎧