平面几何三大作图难题

平面几何三大作图难题
相传有一年，平静的爱琴海的第罗斯岛上，降临了一场大瘟疫，几天时间内，岛上的许多人就被瘟疫夺取了生命，惨不忍睹，幸存的人吓得战战兢兢，毫无办法，纷纷躲进圣庙，期求神灵保佑自己和家人。

人们的祈求和哀嚎声并没有感动上苍，相反，瘟疫仍在蔓延，死去的人越来越多。

他们不知什么事情触怒了神灵。

心城的人们日夜匍匐神庙的祭坛前，请求神灵的宽容和饶恕。

悲惨的现实使人们的心灵受到了极大的创伤，泪珠和汗滴交织在一起，使神坛前面一片湿润。

许多人在神坛前就到下了。

据说，神终于被感化了，并叫巫师传达了旨意：“第罗斯人要想活命，必须将圣庙中的祭坛加大一倍，并且不能改变祭坛的形状。

”活着的人好象得到了救命的灵丹妙药，马上就量好祭坛（长方体）的长、宽、高，连夜请工匠把长宽高加大一倍的新祭坛造好了，送进了圣庙。

人们好象完成了一项光荣的使命，等待神的宽恕，然而，时间一天天过去了，瘟疫更加疯狂肆虐，人们的思想再次陷入极度的痛苦之中。

在神坛前，人们说道：“尊敬的神啊，你饶恕我们第罗斯人吧，我们已经按照你的旨意办了，将神坛加大了一倍......”。

后来，巫师再次传达了神的旨意，巫师冷冷地说：“你们没有满足神的要求，你们没有将祭坛加大一倍，而是加大7倍，神灵将继续严惩你们......”？聪明的人们终于明白了其中的道理，他们的确将祭坛加大为原来的8倍。

但，在原来的基础上如何将祭坛加大一倍呢？第罗斯人经过长时间的思考，无法解决，只好派人到首都雅典去请教当时最著名的学者伯拉图。

伯拉图经过长时间的思考，也无法解决，他搪塞说：“由于第罗斯人不敬几何学，神灵非常不满，才降临了这场灾难。

”
这个悲惨的故事，当时是人们虚构的，但其中提到的数学问题却是几何三大作图难题之一的立方倍积问题，另外两个问题是“三等份角问题”以及“化圆为方的问题”。

古希腊的几何作图只准用没有刻度的直尺和圆规。

这三大问题看似简单，可它们折磨数学家大约有两千多年的时间。

任意平分一个角，用尺规是很容易的，可能有的人会认为：三等分角的问题，只是由二等分到三等分一个小小的变化，没有什么困难吧。

是的古希腊每一位
接触到这个问题的人都认为它简单，毫不思考的拿起了直尺和圆规，但时间一天天过去了，人们磨秃了无数支笔，始终也没有画出符合题意的图形来。

这个看似平淡无奇的几何问题，吸引了许许多多的数学家。

从古希腊最伟大的数学家阿基米德到笛卡尔、牛顿......都纷纷那起了直尺和圆规来检查自己的智力，但都失败了，两千多年来，一代又一代的数学家和数学爱好者为这个问题绞尽脑汁，从初学几何的少年到天才的数学家，没有任何人冲出这个迷宫。

无数次的失败，使人们逐渐怀疑这个问题是否能够用直尺和圆规所能解决，法国数学家闻脱兹尔在1837年，首先从理论上证明了三等份任意角是无法用尺规完成的。

最终使人们走出了这座迷宫，之后他又证明了：只用尺规解决立方倍积问题也是不可能的。

只是后者的证明较繁琐，不够清晰。

后来，德国数学家克莱因给出了一个简单而又无懈可击的证明。

化圆为方的问题，首先是公元前5世纪，古希腊数学家安拉克萨哥拉研究的，有一次，他对别人说：“太阳并不是一尊神，而是像那样大的一个火球。

结果他得到亵渎神灵的罪名，进了牢房，为了打发寂寞无聊的铁窗生活，他思考了这样的一个问题：“怎样作出一个正方形，使它的面积与一个圆的面积相等？”当然，他失败了，两千多年来无数数学家也都失败了。

为什么他们都失败了呢？不妨来分析一下，设一个正方形的边长为a，一个圆的半径为r，要使其面积相等，即：a2等于（派）r2，得到a=根号（派）乘以r，只要用尺规作出(派)r,要作（派）r，只要考虑（派）是否为有理数，是有理数就能作出a，不是有理数就不能。

（派）不是有理数，这是由数学家林得曼首先证明的，从而确认化圆为方是不能用尺规作图解决的，至此几何三大作图难题经过两千多年漫长的岁月，无数人的研究。