管理运筹学 第三章 对偶理论

可见，对于原LP问题是求极小值问题时， 对偶问题中：
约束条件左右两端符号（>=、<=、=）由原问题所对应
变量取值范围（ >=0、<=0、无约束 ）决定，并且是不一
致的。
变量的取值范围（ >=0、<=0、无约束 ）由原问题所对 应约束条件左右两端符号（>=、<=、=）决定，并且是一 致的。
原问题与对偶问题对应关系
LP
max z 2 x1 x2 3x3 5 x4
DLP
x1 2 x2 3 x3 x4 5 3x x 2 x x 9 3 4 s.t. 1 2 2 x1 2 x2 4 x3 x4 4 x1 0, x2 0, x3无约束，x4 0
min w 5 y1 4 y 2 9 y 3 y1 2 y 2 4 y 3 3 s.t. 2 y1 y 2 3 y 3 2 y1 , y 2 , y 3 0
3.1.2 规范形式的线性规划问题
原问题（LP） 对偶问题（DLP）
max z CX AX b s.t. X 0
起源： 1928年美籍匈牙利数学家冯· 诺伊曼在研究对策论时发现线性规划与 对策论之间存在着密切的联系。两人零和对策可表达成线性规划的原问 题和对偶问题。G.B.丹齐克 (1951)、 C.莱姆基 (1954)…. 应用： 在原问题和对偶问题的两个线性规划 中求解任何一个问题时，会自动地给出另 一个问题的最优解； 当对偶问题比原问题有较少约束时， 求解对偶规划比求解原规划要方便得多； 对偶规划中的变量最优解就是影子价 格。
min w b1 y1 b2 y 2 11 y1 21 y 2 c1 s.t.12 y1 22 y 2 c 2 y1 , y 2 0
2 约束方程不是“≤”的情况
max z c1 x1 c 2 x 2 11x1 12 x 2 b1 s.t.21x1 22 x 2 b2 x1 , x 2 0
应约束条件左右两端符号（>=、<=、=）决定，并且是不
一致的。

例3.5 求解下面线性规划的对偶规划
max z 2 x1 x 2 3x3 5 x 4 x1 2 x 2 3 x3 x 4 5 3x x 2 x x 9 1 2 3 4 s.t. 2 x1 2 x 2 4 x3 x 4 4 x1 0, x 2 0, x3 无约束，x 4 0
0
0 0
0
3 2 2 4 1
0
x5
0 0
[1] 1/2
0 0
0 0
1 0
-2 -3/2
5/2 3/2
1 0
-3/2 -1/2
1 6
3/2 3/2
0 3
x3 x1
0 1
2
x2
0
0
1
0
0
0
-2
-1/2
1
-1/2
1
13/2
3.3 影子价格和灵敏度分析
3.3.1 影子价格
对偶变量的经济含义就是资源的定价，然而这种价格同市场价格不同，我 们称之为影子价格。它反映了资源对于企业的紧缺程度、利润贡献程度等，并不 能反映资源的生产成本，以及在外部市场的紧缺程度。
min w b1 y1 b2 y 2 11 y1 21 y 2 c1 s.t.12 y1 22 y 2 c 2 y1 , y 2 0
max z c1 x1 c 2 x 2 11x1 12 x 2 b1 s.t.21x1 22 x 2 b2 x1 0, x 2 0
生产计划问题（LP1）
资源定价问题（LP2）
max z 3x1 2 x 2 x1 2 x 2 5 2 x x 4 1 2 s.t. 4 x1 3x 2 9 x1 , x 2 0
min w 5 y1 4 y 2 9 y 3 y1 2 y 2 4 y 3 3 s.t. 2 y1 y 2 3 y 3 2 y1 , y 2 , y 3 0
一定不存在可行解。

注意，该推论的逆反定理并不成立。

3.2.3 最优性定理
3.2.4 强对偶性定理（对偶定理）

如果原问题存在最优解X*，则其对偶问题一定具有最优解Y*， 且 CX * b' Y * 。
补充： 推论三: 若原问题有可行解,对偶问题无可行解,则原问题无界 解;若对偶问题有可行解,原问题无可行解,则对偶问题无界解; 对偶定理：若原问题与对偶问题都有可行解,则都有最优解,且 最优解对应目标函数值相等.
约翰· 冯· 诺依曼（1903-1957）
3.1.1 对偶问题的提出
例1 穗羊公司的例子 I A（千克） B（吨） C（百工时） 单位产品利润（万元） 1 2 4 3 II 2 1 3 2 每周可使用量 5 4 9
生产计划问题（LP1）
资源定价问题（LP2）
max z 3x1 2 x 2 x1 2 x 2 5 2 x x 4 1 2 s.t. 4 x 3 x 9 1 2 x1 , x 2 0
min w b1 y1 b2 y2 11 y1 21 y2 c1 s.t. 12 y1 22 y2 c2 y1 0, y2无约束
总结
对于原LP问题是求极大值问题时，对偶问题中：
约束条件左右两端符号（>=、<=、=）由原问题所对应
变量取值范围（ >=0、<=0、无约束 ）决定，并且是一致 的。 变量的取值范围（ >=0、<=0、无约束 ）由原问题所对
3/2
-3/2
0
0
1
0
1/2
-3/2
-1
-1
1/2
13/2
3 CB 0 0 0 XB x3 x4 x5 x1 1 [2] 4
2 x2 2 1 3
0 x3 1 0 0
0 x4 0 1 0
0 x5 0 0 1 b 5 4 9

5/1 4/2
9/4
3
0 3 x3 x1 0 1
2
3/2 1/2
0
1 0
0
-1/2 1/2
第3章 线性规划对偶理论及其应用
(duality theory)
两个黄鹂鸣翠柳 一行白鹭上青天 窗含西岭千秋雪 门泊东吴万里船
第3章 线性规划对偶理论及其应用
3.1 线性规划的对偶问题 本节主要知识点：
对偶问题的提出 规划形式LP的对偶问题 非规范形LP的的对偶问题
第3章 线性规划对偶理论及其应用
max z c1 x1 c2 x2 11x1 12 x2 b1 s.t.21x1 22 x2 b2 x1 0, x2 0
min w b1 y1 b2 y2 11 y1 21 y2 c1 s.t.12 y1 22 y2 c2 y1 0, y2 0
原问题（对偶问题） max 对偶问题（原问题） min
>=0
变
>= <= =
约 束
量
<=0
无约束
条
件
约
束 条
>=
<=
<=0
变
>=0
无约束
量
件
=
3.2 对偶规划的基本性质

3.2.1 对称性定理：线性规划的对偶问题的对偶问题是原问题。
max z CX AX b s.t. X 0
令z=-z’； 约束方程左右同 乘“-1” 对偶定义
n
a x
j 1
n
ij j
bi 也分为两种情况：
ij j
b ，约束条件比较松； i
b，约束条件比较紧； i

j 1 变量同其对偶问题的约束方程之间至多只能够有 一个取松弛的情况，当其中一个取松弛的情况时， 另外一个比较紧，即取严格等6 已知下面的LP1和LP2为一组对偶规划，且已知LP1的最优解为X=（1.5， 1）’。试运用互补松弛定理求出对偶问题的最优解Y。
min w 5 y1 9 y 2 4 y 3 y1 3 y 2 2 y 3 2 2 y y 2 y 1 1 2 3 s.t. 3 y1 2 y 2 4 y 3 3 y1 y 2 y 3 5 y1 0, y 2 0, y 3 无约束
3.2.5 互补松弛定理
互为对偶问题的最优解带入约束条件： 变量=0 变量=0
约束条件=
约束条件=
对应约束条件严格 = 对应约束条件严格 =
对应变量= 0
对应变量= 0
互补松弛定理的解释
yi>=0,分为两种情况： yi>0，约束条件比较松；
yi=0，约束条件比较紧；
约束 方程
a x
j 1 n
解：由X=（1.5，1）’得
x1 2 x2 3.5 5
y1 0
y1 2 y 2 4 y3 3 2 y1 y 2 3 y3 2
x1 0, x2 0
联立求解得：
y1 0, y 2 0.5, y3 0.5
-5 CB 0 0 yB y4 y5 y1 -1 -2
3.2.2 弱对偶性定理：
如果X、Y分别是原问题和对偶问题的一个可行解，则其对 应的原问题的目标函数值不大于对偶问题的目标函数值，也即
CX b Y
'
证明：因为X、Y分别是原问题（3.1）与对偶问题（3.2）的可行解，故：
AX b X 0
所以
A' Y C ' Y 0
min w b1 y1 b2 y 2 11 y1 21 y 2 c1 s.t.12 y1 22 y 2 c 2 y1 , y 2 0
max z c1 x1 c2 x2 11x1 12 x2 b1 s.t.21x1 22 x2 b2 x1 0, x2 0
max z c1 x1 c 2 x 2 11x1 12 x 2 b1 s.t. 21x1 22 x 2 b2 x1 0, x 2 无约束
min w b1 y1 b2 y 2 11 y1 21 y 2 c1 s.t.12 y1 22 y 2 c 2 y1 , y 2 0
证明：
min w b' Y A' Y C ' s.t. Y 0
令w’=-w； 约束方程左 右同乘“-1”
max w' b' Y A' Y C ' s.t. Y 0
min z ' CX AX b s.t. X 0
对偶定义
3.2 对偶规划的基本性质
-4 y2 [-2] -1
-9 y3 -4 -3
0 y4 1 0
0 y5 0 1 b -3 -2
-5
-4 0 y2 y5 1/2 -3/2 -3 -4 y2 -5/2
-4
1 0 0 1
-9
2 [-1] -1 0
0
-1/2 -1/2 -2 -3/2
0
0 0 0 2
0
3/2 -1/2 6 1/2
-9
y3
min w b' Y A' Y C ' s.t. Y 0
3.1.3 非规范形式线性规划的对偶问题
1 变量取值范围不符合非负要求的情况
max z c1 x1 c2 x2 11x1 12 x2 b1 s.t.21x1 22 x2 b2 x1 , x2 0
LP
DLP

例3.5 求解下面线性规划的对偶规划
min w 5 y1 9 y 2 4 y 3 y1 3 y 2 2 y 3 2 2 y y 2 y 1 1 2 3 s.t. 3 y1 2 y 2 4 y 3 3 y1 y 2 y 3 5 y1 0, y 2 0, y 3 无约束
CX X ' C ' X ' A' Y ( AX )' Y b' Y

推论一：原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问
题目标函数值的下界；反之对偶问题任一可行解的目 标函数值是起原问题目标函数值的上界。

推论二：如果原问题存在无界解，则对偶问题一定无 可行解；反之，如果对偶问题存在无界解，原问题也