资料同化课件

(7.2.2)
伴随模式:
t u * ( x, T ) 0 u* F * u* g (u, t )
（7.2.3)
F*是
Fu 的伴随算子(转置）：
* u *T Fu u u T F u *
• 关于反问题的进一步讨论 如果将由“原因”推得“结果”的问题称为正问 题，则由“结果”推求“原因”的问题可称为反问 题。 正问题 z=R(u) 这里算子R 已知，由u求z为正问题。反问题是原 来的已知条件未知（或部分未知），而原问题的解 已知，即由z求u的问题，形式上可写为 u=R-1z 这里R-1是R 的逆算子。我们要研究的反问题一般 是指R-1的显式表达式不可知的情况，只能由u的 “表现”z间接推求u。
第7讲 大气资料的四维变分同化方法
• §1 四维变分同化基本原理 四维同化的概念-利用模式消化吸收多时刻观测， 不断改进预报，优化大气状态的估计。 变分方法是一种实现四维同化的有力工具。 • 在进行大气资料分析时，我们有两种基本的可用 信息：（1）观测；（2）大气遵循的物理规律。 前面我们在作资料分析中用到过一些简化的物理 约束，四维变分同化利用完整的大气模式来作为 物理约束。 • 四维变分同化的基本思想是调整初始场，使由此 产生的预报在一定时间区间（同化窗口）τ内与 观测场距离最小
c0 J c * ( 0, x )
T B
c k J wk ( k k ) c * dt x x 0
回到四维变分同化来，也是一个最优控制问题－极 小化下面的目标泛函：
1 1 T 1 J (xO ) x O x B B x O x B 0 ( y t H (x t ))T Ot1 y t H (x t ) dt 2 2 J B JO
• 最优控制问题的一般提法应为：给定了系统的状态 方程以及品质指标和初始条件（t0, x0），目标集Ｓ， 控制域Ｕ后，要寻找一个容许控制u*（t），使系统 在时间间隔［t0, T］上由初始状态X0转移到目标集Ｓ 上的某一点Xr，且使相应的品质指标J（u）为极 小．这里终端时间T可以是固定的，也可以是自由 的． (容许控制的作用下，系统由初始状态X0转移到终端 状态XＴ．有些情况，我们要求终端状态应该是状态 空间中某一个点集Ｓ中的一个点．集合Ｓ常称为目 标集．当Ｓ只是状态空间中的一个确定的点时，称 终端是固定的．当Ｓ是整个状态空间时，称终端是 自由的)
根据这些要求所求得的控制函数称为最优控 制或极值控制，记为u*（t）．而相应的状态 向量称为最优Байду номын сангаас迹或极值值轨迹，记为X*(t）
从本质上讲，所求得的最优控制u*是时间 的函数．但从形式上来看，它可以直接表示 为时间的函数u*（t），也可以表示为状态 的函数u*（x）．如果求得的最优控制被直 接表示为时间的函数，即u*＝u*（t），则 称所求得的是开环最优控制．若求出的最优 控制被表示为状态的函数，即 u*＝u*(x） 则称所求得的是闭环最优控制．从控制理论 的一般知识可以知道，闭环控制比开环控制 有不少优越之处，所以在实际应用中，总是 力图寻找闭环控制规律．但是，在实际计算 中，寻找闭环最优控制规律要比寻找开环最 优控制规律困难得多．
解反问题的主要困难——不适定性 解的存在性、唯一性和稳定性不满足 吉洪诺夫的论著《不适定问题的解法》首 先引入“条件适定”的概念，基本思想是： 放弃求精确解转而求近似解解决了解不存在 的困难；近似解总存在，但不唯一，此时再 加适当约束条件，找出具有稳定性的解来。
• 广义解，目标泛函 反问题Au =z 的广义解： u∈U， z∈Z 对于给定的z∈Z在集U上使 Au z 取极小值的u*∈U, 称为方程Au=z在U上的 广义解。 若z∈AU，广义解等于经典解。(AU为U的 映象), . 为距离。 经典解解不存在: z不属于AU
这里所谓“最优”的标准就是品质指标J 取极小。但J 的形式的确定完全取决于对 本身的具体要求以及工作人员的工作经验， 并无普遍适用的法则。可以说，许多最优 控制问题的最困难之点就在于无法提出一 个恰当的品质指标泛函。
3, 用变分法解最优控制问题
显然最优控制问题是一个求带约束的泛函 的极小问题，前面讲述的变分方法同样适 用于解决这一问题。以下用一个例子来说 明一般做法。
*
xb
c c (k ( x) ) (k ( x) )]dxdt x x x x
0 T
c c c c [ u ( x) (k ( x) )]dxdt t x x x xa
*
xb
分部积分得到：
L
0 T xb obs B w ( c c ) cdxdt w ( k k )kdx c k xa xb
控制规律u不同时，相应的系统运动也是不 同的．所谓最优控制问题就是要选择适当的 控制 规律 u(t) 使相应的品质指标(cost function, 代 价函数或目标函数)
J (u) K[ x(T ),T ] L( x, u, t )dt
t0
r
达到最小．这里第一项代表了对终端条件的 要求，第二项代表了对整个变化过程的要求， 而总的品质指标是这两方面要求的综合．
这里x0=x(0), xt=x(t)，xt是由下面的预报模式产生的 解: x F (x), 0 t x(o ) x 0 t
控制变量也可以是方程的参数，比如s(x)
x F ( x) s ( x) t
从另一角度来推导： 先对伴随算子做些说明。在希尔伯特（Hilbert）空 间（H空间），称A*为线性算子A 的伴随算子，只 要对于属于H的任意元素x，y均有 < A x，y >=<x, A* y >, < , > 为内积. 在Hilbert 空间，内积的定义： x, y xyd
这里x0=x(0), xt=x(t). xt是由下面的预报模式产生的解:
X F ( x), t 0 t x (o) x 0
离散形式
1 1 n T 1 J( x 0 ) x 0 x B B x 0 x B ( H r (x 0 ) y r )T O1 H r (x 0 ) y r 2 2 r 0
xa

0
T
c* u( x )c* c* * c ( c [ ( k( x ) )] k c )dxdt t x x x x x xa c c c c [ u( x ) ( k( x ) )]dxdt t x x x xa
I
xb xa
M z, u Au z (u)
d 2 W ( H ( ) Y ) dx2
dx
如何定α? 给出α让 Au z ≈δ 迭代。
2, 最优控制理论
• 四维变分同化将问题提为一个最优控制问题。 最优控制问题的一般提法： 在系统工程中，一个系统通常可以用n个变量完 全描述清楚。我们以向量X 记这n个变量，并称之 为状态向量。系统的运动方程可以用时间间隔 ［T1,T2］上的状态方程来表示：
xa
无约束极小：
L(k , c0 , c ) J
* 0
T
c c c c (t , x )[ u( x ) (k ( x ) )]dxdt t x x x xa
*
xb
变分：
L J
0
T
c c c (t , x)[ u ( x) t x xa
c c c u( x ) (k ( x ) ) 0 t x x x
反演初值和k(x), 定义目标泛函：
1 J { 2 0
T xb obs 2 B 2 w ( t , x )( c c ) dxdt ( k ( x ) k ( x )) dx} xa xb
（n=0 成为三维同化）
• 4DVAR是微分方程反问题 将已知微分方程和定解条件（初条件，边条件） 求方程的解的问题作为正问题，那末，已知方程的 解（部分解）或解的某种函数反求定解条件或者方 程的一些未知项的问题被称之为微分方程的反问题。 因此，四维变分同化也是一类微分方程的反问题。 求反问题的解的过程称为反演。我们可将观测y 近似看作预报模式（方程）的解的某种函数，那末 上面表述的四维变分同化就是由观测反演初值的问 题。四维变分同化的一个显著特点是利用了过去时 间的观测资料，而且同化后的场是模式的一个预报 场，不会出现不协调的问题。四维变分同化方法还 有能力从一部分观测变量去反演另外的变量。比如， 由高度的观测反演风场。
• 假定算子方程 Au =z 的逆算子A-1存在但不连续依赖 于z，由u=A-1z计算u不再现实。正则化的思想是构造 一个连续的算子去逼近A-1，从而得到稳定的（但是近 似的）解。具体而言，他将求稳定的反问题的解归结 为求下面泛函的极小值：
(u ) 非负泛函,δ:观测误差.α正则系数，比如罚函 数： 2 2
4DVAR示意图：
按照这样的思想，四维同化变分同化可以表述为极 小化下面的目标泛函：
J (x O ) 1 xO x B T B 1 xO x B 1 0 (y t H ( xt ))T Ot1 yt H ( xt ) dt 2 2 JB JO
X f ( x, u, t ), t [T 1, T2 ]
'
其中Ｘ是n 维状态向量；u是r维（r < n）控制向量， 它是从系统之外按一定要求施加到系统上来的；f 是n 维向量函数。 由方程可以看出，只要f 满足一定的条件，在确定 T1, T2］ 的初始状态下，如果在时间间隔［t0, T］［ 上给定了一个控制规律u＝u（t）, 那末状态方程在 ［t0,T］上将有唯一解。这个解表示了系统的相点 在n维状态空间的一个运动．
一个简单的例子 扩散－输送问题 定解条件：
c c c u( x ) (k ( x ) ) 0 t x x x
x [ xa , xb ]
c(0, x) c0 ( x)
c (t, xa ) g1(t )
c (t, xb ) g2 (t )
几类反问题： • 待定微分方程中的未知参数的反问题—算子识别； • 待定初始条件的反问题—逆时间过程问题； • 待定边界条件的反问题—边界控制问题； • 待定边界形状的反问题—几何反问题。 • 还有的反问题是几类相混合。
*
xb
xb

0
T
xb
c( 0 , x )c * ( 0 , x )dx
利用了边界： c( t , xa ) c( t , xb ) 0 c * (T , x) 0, c * (t , xa) c * (t , xb) 0 要求终端和边界：
xa
要求变分为零得到伴随方程（它的定解条件前面已经 给出） c* u( x )c* c* obs (k ( x ) ) wc (c c ) t x x x T c B k J wk (k k ) c * dt 0 x x 0 两点边值问题 ： （迭代求解） c c c u( x ) (k ( x ) ) 0 t x x x 用下降算法,梯度：

(在N 维向量空间内积的定义
x, y x y xi yi
T I 1 N
显然，N 维向量空间的矩阵算子A的伴随算子就是 其转置AT ，因为xTAy= yT ATx)
预报模式方程：
u F(u) 0 t
（7.2.1)
线性化得到切线性模式:
u Fu u, 0t T t u(o) u 0