同济六版高数(上)期中考试卷(有答案)

高等数学Ⅰ期中考试试题

班级 学号 姓名 成绩

一、选择题(每小题3分,共15分)

1. 若函数()f x 在点0x 处的极限存在，则（ ）．

(A) ()f x 在0x 处的函数值存在且等于极限值

(B) ()f x 在0x 处的函数值存在，但不一定等于极限值

(C) ()f x 在0x 处的函数值未必存在

(D) 如果0()f x 存在，必等于极限值

2. 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =- 与 k

c x 为等价无穷小，则（ ）

(A) 1,4k c == (B) 1,4k c ==- (C) 3,4k c == (D) 3,4k c ==-

3. 若抛物线 2y ax = 与曲线 ln y x = 相切，则 a =（ ）． (A) 12e (B) 2e (C) 2e (D) e 2

4.设(),()f x g x 在[,]a b 上可导，且()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当(,)x a b ∈时， 有不等式（ ）． (A) ()()()()f x g x f a g a > (B) ()()()()

f x

g x f b g b > (C) ()()()()f x g x f a g a > (D) ()()()()f x g x f b g b >

5.设 ()(1)(2)(3)f x x x x x =--- ，则方程()0f x '=的实根共有（ ）．

(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个

二、填空题(每小题3分,共21分)

6. 设,a b 为常数，则 0sin sin lim lim sin sin 3x x ax bx bx ax x x x x

→∞→--+=++ .

7. 设y =，则微分d y = ．

8. 曲线12e 1e x

x

y --+=-的所有渐近线的方程为 ．

9. 设2e x y x =，则n 阶导数()n y = ．

10.设()x ϕ在x a =连续，则()||()F x x a x ϕ=-在x a =可导的充要条件是

11.设()f x ''存在，若3

()y f x =，则d d y x =；22d d y x =． 12.函数 2

()f x x = 在区间[,]a b 上使拉格朗日中值定理成立的ξ= ． 三、计算与证明题(第13-21题每小题6分, 第22题10分，共64分)

13.写出函数2

2()||(1)

x x f x x x -=- 的间断点，并指出间断点的类型. 14. 设1p >，求函数()(1)p p

f x x x =+-在[0,1]上的最大值与最小值. 15. 设 3

330y xy x -+=，求 22d d y x . 16. 求2

0lim (0,0)2x x x x a b a b →⎛⎫+>> ⎪⎝⎭

． 17. 求曲线 432y x x =- 的凹凸区间和拐点．

18. 求常数a b 、的值，使函数 2122()lim 1

n n n x ax bx f x x -→∞++=+ 为连续函数. 19. 设函数()y y x =由参数方程 33

11331133x t t y t t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩

确定，求函数()y y x =的极值. 20.设()f x 在0x =处连续，且20()lim

31x x f x e →=-，求(0)f 与(0)f '的值. 21.比较 e π 与 e π 的大小.

22.设函数()f x 对任意实数12,x x 有1212()()()f x x f x f x +=⋅，而且(0)1f '=，证明：

（1）()f x '=()f x ； （2）()e x f x =．

1：

9: 122(2)e n x n x -+ 10: ()0a ϕ= 11: 233()x f x ',3436()9()xf x x f x '''+

12: 2a b + 13: 间断点 0,1x =± （2分） 0x =，第一类中跳跃间断点；

1x =，第一类中可去间断点；

1x =-，第二类中无穷间断点； （6分）

15:

2d 1d y y x y x

-=- （3分） 2222d 2(1)()d ()

y y y x x y x --=- （6分） 16: 2

0lim 2x x x x a b ab →⎛⎫+= ⎪⎝⎭

17: 12(1)y x x ''=-

凹区间为(,0],[1,)-∞+∞

凸区间为[0,1]

拐点为(0,0),(1,1)-

18: 2,||11,||1()1,12

1,12a x bx x x x f x a b x a b x ⎧+<⎪⎪>⎪⎪=⎨++=⎪⎪-+-⎪=-⎪⎩ （3分）

(1)(1),1f f a b +-=+=

(1)(1),1f f a b +--=--=-

0,1a b == （6分）

2(1)3001x e ⎫-==⎪⎭

，(0)f =0()(0)1lim (0)2f x f f x →-'=，f

21: 证明 ()eln f x x x =- 在 [e,)+∞ 上单调增加后可得：

e

e ππ>

（2）由于()e ()e ()e ()e ()e ()0

x x x x x f x f x f x f x f x -----''=-+=-+= 所以 e ()x f x C -= ， ()e x f x C =

由(0)1f '=得1C =，故 ()e x f x = （10分）