数字图像的数学形态学处理与应用

数字图像的数学形态学处理与应用研究

何照文，石乐健，王伟，毕艳亮

摘要：伴随着计算机技术的不断发展，数字图像处理技术日益受到人们的重视，并在生产、生活的各个领域发挥出越来越大的作用。传统的数字图像处理方法一般直接在图像的空间域中进行；或在图像的变换域上间接进行，如傅里叶变换，在变换处理完成后再通过相应的逆变换回到空间域。区别于传统方法，本文研究了基于数学形态学的数字图像处理方法。本文首先研究了数学形态学的相关运算，包括二值图像形态学运算以及灰度图像形态学运算，在此基础上研究了数学形态学处理的相关应用，如边缘检测、图像分割等，最后给出了对数学形态学处理未来的展望。

关键词：数字图像处理数学形态学

1.引言

传统的数字图像处理方法一般直接在图像的空间域中进行；或在图像的变换域上间接进行，如傅里叶变换，在变换处理完成后再通过相应的逆变换回到空间域。本文研究的基于数学形态学的数字图像处理方法不同于传统方法，它从集合的角度来刻画和分析图像，因此拥有完备的理论体系，并在实际应用中不断深入。数学形态学是一门建立在集合论基础之上的学科，是几何形态学分析和描述的有力工具，该方法着重研究数字图像的几何结构，以图像的形态特征为研究对象，其历史可追溯到19世纪的Eular，Steiner，Crofton和90年代的Minkowski，Matheron和Serra。数学形态学的蓬勃发展，由于其算法简洁快速，易于实现，已引起学者们和工程师的普遍重视。目前，数学形态学已在计算机视觉、信号处理与图像分析、模式识别等领域有着非常广泛的应用。

数学形态学可以用来解决滤除噪声、特征提取、边缘检测、图像分割、形态骨架提取等图像处理问题。本文将主要对数学形态学的基本理论与算法，及其在数字图像处理的应用进行研究。

2.数字图像的形态学处理

数学形态学处理方法比起其它空间域或频率域图像处理和分析的方法具有一些明显的优势。利用形态学算法可以有效滤除噪声，同时保留图像中的原有信息，突出图像的几何特征便于进一步分析图像。该方法以形态结构元素为基础，在形态学中，结构元素是最基本最重要的概念，其在形态变换中的作用相当于信号处理中的“滤波窗口”，该方法的基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。因此，结构元素的选择对于我们能否有效提取图像的有关信息至关重要。数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们的基本形态特征，并除去不相干的结构。

数学形态学的基本运算有4个：膨胀、腐蚀、开启、闭合。它们在二值图像和灰度图像中各有特点。基于这些基本运算还可以推导和组合成各种数学形态学实用算法。

2.1二值图像的数学形态学运算

形态学的初始理论是以二值图像为基础的，二值图像的灰度值只能取两个值，“0”或“1”，因而图像与结构元素之间的运算可以等价为简单的逻辑运算，即“与运算”、“或运算”、“非运算”等。二值形态学运算处理的对象是集合，一般设A为图像集合，B为结构元素，数学形态学运算是用B对A操作。选取的结构元素大小和形状均会在不同程度上影响处理结果。剩下的问题就是如何选取适当的结构元素以及如何利用结构元素对图像进行操作。为此，数学形态学定义了两种基本对偶运算，称为膨胀与腐蚀运算。除了这对基本对偶运算，还有一对对偶运算起着非常重要的作用，即开运算和闭运算。下面将简要介绍二值图像的数学形态学运算：

2.1.1膨胀与腐蚀运算

形态学中的膨胀和腐蚀运算都是建立在集合的基础上进行和差运算所得到的。同时，膨胀与腐蚀运算也是形态学中最基本的运算，对于所有形态学变换来说都可以用这两种运算组合实现。用B(x)代表结构元素，对待处理图像I的每一点x，膨胀和腐蚀的定义为：

膨胀：{:()}

=⊕=⋂≠Φ

X I B x B X I

腐蚀：{:()}

X I B x B x I

=Θ=⊂

用B(x)对I进行膨胀的结果就是把结构元素平移后使B与I的交集非空的点构成的集合。而腐蚀运算与膨胀运算相反，结果是把结构元素平移后使B包含于

I的点构成的集合。

膨胀在数学形态学中的作用是把图像周围的背景点合并到物体中。如果两个物体之间距离较近，那么膨胀运算可能会使这两个物体连通在一起，所以膨胀对填补图像分割后物体中的空洞很有用。腐蚀的作用是消除物体边界点，它可以把小于结构元素的点去除，如果两个物体之间有细小的连通，当结构元素的选取足够大时，通过腐蚀可以将两个物体分开。

膨胀与腐蚀操作的效果如下图所示：

图2.1原始图像

图2.2腐蚀处理后图像

图2.3膨胀处理后结果

2.1.2开运算与闭运算

开运算与闭运算都是在膨胀与腐蚀运算基础之上进行的：

开运算是先结构元素B 先对待处理图像I 进行腐蚀，然后进行膨胀的结果，记为I B ：()I B I B B =Θ⊕

闭运算是用结构元素B 先对待处理图像I 进行膨胀，然后进行腐蚀的结果，记为I B ∙：()I B I B B ∙=⊕Θ

开运算与闭运算对待处理图像的操作效果如图所示：

图2.4原始图像 图2.5开运算后图像 图2.6闭运算后图像 由图可见，开运算具有消除细小物体，在纤细处分离物体和平滑较大物体边界的作用。而闭运算具有填充物体内细小空洞，连接临近物体和平滑边界的作用。

2.2灰度图像的数学形态学运算

二值图像形态学可以方便的推广到灰度图像，只是灰度形态学的运算对象和结构元素是灰度函数，可充分考虑图像的灰度信息，更完整的描述图像的特征。

2.2.1灰度腐蚀与膨胀

与二值图像形态学相同，在灰度形态学中，膨胀与腐蚀运算也是最基本最重要的运算，是组成其它形态学运算的基础。以下，设f(x,y)是输入图像，b(x,y)是结构元素。用结构元素b 对输入图像f 进行膨胀和腐蚀运算分别定义为： 膨胀：()(,)max{(,)(,)|(,),(,)}f b f b s t f s x t y b x y s x t y D x y D ⊕=--+--∈∈ 腐蚀：()(,)min{(,)(,)|(,),(,)}f b f b s t f s x t y b x y s x t y D x y D Θ=++-++∈∈

灰度膨胀与腐蚀的效果如下图所示：

图2.7原始图像 图2.8灰度膨胀处理 图2.9灰度腐蚀处理

由上图可见，在使用3*3的正方形平坦结构元素进行膨胀时，因为极大运算