高级微观经济学2利润最大化

– 如果∏ ( p* ) =0，则
x* x
利润最大化弱公理(WAPM)
• Weak Axiom of Profit Maximization • 假定ys , yt 为净产出向量，如果 ys , yt 在 Y 中，且厂商在 ps 和 pt 下进行选择，则有
p t y t p t y s 或者p s y s p s y t
• 可以得到 • 相加后得到
pt ( y t y s ) 0 - ps ( yt y s ) 0
( p t p s )( y t y s ) 0
py 0 • 即有 • 价格变动向量与相关联的净产出变动向量的内积一定是非负的
y y2
y
y1
y1
y2
x
图A：显示了违反 WAPM的数据
x
图B：显示了满足 WAPM的数据
利润最大化的一阶条件与二阶条件
• 一阶条件：
f ( X * ) p xi
wi 0
wi p
– 边际产出 – 技术替代率
MPi
TRSij
2 *
wi wj
D2 f ( X* ) x i x j
• 二阶条件
D f (X )
f ij ( X )
*
D 2 f ( X * ) 是半负定的。
YI
y
YO
y
y1 y2 x
YI 集是最小的凸的单 调集
y1 y2 x
YO 集是最大的凸的单 调集
3. 需求函数
• 要素需求函数和产出供给函数：
– 把价格作为自变量的投入产出最优选择函数。
• 要素需求函数：
y ( p, w ) f ( X ( p, w ))
– 是指利润最大化的投入向量组合。
X X ( p, w ) X { x V ( y ) : wx py ( p, w )}
''
'' x ( p , w ) ( x ( p, w )) x
2. 一阶条件对w求导
pf
• 则有
10
x ( p , w ) w

pf '' ( x ( p , w ))
1
0
即：要素需求是要素价格的减函数
单要素的产出价格变动分析
• 一阶条件对p求导 • 则有
f (x(p, w)) pf'' (x(p, w))
• 符号设定：
利润最大化的基本问题
• 成本：
C WX i 1 wi xi
n
• 收益：
R py
• 假定厂商选择有效生
产方式
• 利润最大化问题 max [ py WX ]
y, X
y f (X )
s.t . y f(X) X 0
max [ pf(X) WX ]
n xR
• 性质 ：要素需求函数是零次齐次的 • ——判断利润最大化是否成立的标准之一。 xi (tp, tw ) xi ( p, w )
要素需求函数的比较静态分析
•
单要素价格变动分析 1. 原来的利润最大化一阶和二阶条件 • 一阶条件 '
pf (x(p, w)) w 0
• 二阶条件
pf ( x ( p, w)) 0
M (a) f ( x, a)
x
• 则有
d ( M ( a )) da
dM ( a ) da

f ( x , a ) a x x*

f ( x , a ) x x a

f ( x , a ) a
,且
f ( x , a ) x x x*
0
• 如果把a看作是一个外生的变量，则包络定理可以理解为：
Dx ( w) [ D f ( x( w))]
• 替代矩阵D (x(ω))是一个对称的负定矩阵。
1. 要素需求是自身价格的减函数
2. 要素价格的交叉效应相等
dwdx dwDx (w)dxT 04. 利润函数
•
性质 1 ：π (p,w)是p的增函数，是w的减函数。即有： ① p1 p 2 ( p1 , w) ( p 2 , w) ② w w ( p, w , w i ) ( p, w 性质 2 ： π (p,w)是(p,w)的一次齐次函数。 即： t 0， (tp, tw ) ( p, w ) 性质 3 ： π (p,w)是(p,w)的凸函数。 t (0,1]，p 1 , p 2 , w 1 , w 2 即：
2. 等利润线
• 利润： • 最大化利润是由斜率W/p •
和f(X)决定的——等利润 线。 利润函数 ( p, w )
(p, ) pf ( X ) WX
y
~ py wx
y f (X )
• 二阶条件 D 2 f ( X * )
半负定，决定了利润最 大值的唯一性
利润最大化
• 主要内容：
– 利润最大化的必要条件 – 等利润线 – 需求函数及其特征 – 利润函数及其特征
1. 利润最大化的必要条件
• 基本假设：
• 技术约束：既定技术（ Y 是不变的）；没有技术进 步发生。 • 完全竞争：厂商是价格接受者。 • 生产函数连续单调严格拟凹：保证最大值的唯一性 一种产品，价格为p； n种要素投入的组合X=(x1, x2,…,xn)； 要素价格向量W=(w1, w2,…,wn)； 技术y≤f(X)
' x(p,w) p
0
x(p,w) p

f' pf''
0
• 即：要素需求是产出价格的增函数。
多要素需求函数的比较静态分析
• 为便于分析，假定产出品价格p=1 • 原来利润最大化的一阶条件为
Df ( x ( w )) w 0
• 对每一要素价格再求导的结果为 D 2 f ( x(w)) Dx (w) I 0 • 得到替代矩阵 2 1
(p, ) wi
f (X( p, w)) y ( p, w)
2. 要素需求函数
xi ( p, w)
李· 查德里原理
（ Le Chatelier Principle ）
• 厂商的某些行为在短期是受限制的，而在长期
看来却不是，即长期比短期有更多的要素可以 调整。
– 定义 z， πs(p, z) ， πL(p, z(p)) ，令 ∏ (p) = πL(p, z(p)) - πs(p, z) ≧0
函数的最优值等于最优选择时的函数值。
霍特林引理（ Hotelling’s Lemma ）
• 产品供给函数y(p,w)或者y(p) (p, ) pf (X) WX • 利润函数
1. 产品供给函数
(p, ) p
y ( p, w)
(p, ) p

p
pf (X( p, w)) WX X X ( p,w)
1 i 2 i 1 i 2 i
, wi )
•
•
p 3 tp1 (1 - t)p 2 w 3 tw 1 (1 - t)w 2
则有
( p 3 , w 3 ) t ( p1 , w 2 ) (1 t ) ( p 2 , w 2 )
包络定理
• 任意的最大化问题，其中的目标函数依赖于某个参数a，即