奇异值分解

2
i p 1

r
2 i
.
的下标划分为三个区间： i p 1, p i q, q 1 i r，则按照 5.55 式可得到三种奇异值 1 分解式图像：
现在我们把地震道分成相关性好的、不太好和差的三种情况进行分类，相应地把 i
T X LP i ui viT U LU L X XVLVLT , i 1 q T X BP i ui viT U BU B X XVBVBT , i p r
i 1 r
5.54
5.55
式中上角T 表示装置号，r为X 的秩，ui为XX T的第i个特征向量，vi为X T X 第i个特征向量，
i为X 的第i个奇异值.称ui viT 为X 的第i个特征图像.
显然当M 道地震数据为线性无关时，其秩r M .因此所有 i都不等于零，此时重建X 需要所有的特征图像u v i 1, , M 进行加权求和，即X i ui viT .这种情况等于维数

xM , xM
x1 , xM x2 , xM
其中 ii i2 i 1, , M , xi , x j 表示xi 和x j的内积.
12 12 1M 2 21 2 2 M , 2 M2 M M1
5.51
我们称ui viT 为X 的第i个特征图像由 5.51 式的组成看出特征图像在重建X 中的作用是正比于 . 奇异值 i的大小，而 i是按大小顺序排列的，所以最前面的几个特征图像在重建X 中所占 的比重最大. 一般X 不满秩，再将后面较小的 i 项部分舍取，这样可减少重建图像时数据处理量. 其误差也是最小的.
3. 模型和实际资料处理试验
1 模型试验
根据上述分析，通过适当选取p、q的值，将奇异值划分为三个区间，经低通、带通和 高通SVD滤波分别得到了下行波、下行波和噪声三种不同属性的剖面图. p和q值的选取很重要.p和q是用于确定低通、带通和高通的门限，也是决定上、下行波 分离质量的关键.一般p值较小，易于选取；q值的确定较难，而q值取不准确就会影响上行波 提取的效果为此，我们设法只用低通SVD滤波来实现上、下行波的分离，也就是只牵涉到p . p值的求取，而避开求q值的问题.具体做法是对VSP资料按下行波拉齐求取p值
理论模型试验中一般取p 2即可 ，经低通SVD滤波得到相应的SVD图像 即下行波剖面；
然后在原来的剖面上减去下行波，得到上行波和噪声剖面；在此剖面上按上行波拉齐， 求取p值，再用低通SVD滤波获得上行波剖面.我们把这种只用低通SVD滤波的方法称为 逐步消去法.在理论模型试验中，这种方法已得到较好的效果，但对实际资料的试验效果 并不理想，有待进一步完善.
即K L变换式 .
5.52 5.53
Y 可看作XX T的特征向量与一数据向量的内积 见 5.39 式 或X T X 的加权特征向量
见 5.52 式 .由 5.53 式可以看到X的奇异值分解与X的K L展开式之间的关系.
5.6.4 奇异值分解在垂直地震剖面中的应用 1. 概述 垂直地震剖面 VSP 资料处理中的关键一环是上、下行波的分离.这里介绍SVD法 应用于地震图像重建的方法原理并说明用SVD法分离VSP资料中的上、下行波是一种 较好的可行方法.我们对理论模型数据用低通、带通和高通SVD滤波得到了下行波、 上行波和噪声剖面，证明了本方法的有效性；对不等间隔采样和下行初至精度不高 的VSP资料做了模型试验，结果表明并不影响用本方法分离上、下行波德效果. 设二维地震剖面X 表示道数为M ，每道采样点数为N的地震数据矩阵： x11 x12 x1N x21 x22 x2 N X xij i 1,, M ; j 1, , N , xM 1 xM 2 xMN 由5.6节公式 5.51 知，X 的奇异值分解式可写成 X i ui viT ,
1
1
2
. 1 r
5.6.3 奇异值分解和K L变换之间的关系 在5.6.1节中我们知道X 的SVD为 X UDV T , 其中U 为M 阶正交矩阵，其列由XX T的特征向量组成，V 为N 阶正交矩阵，其行由X T X 的特征向量组成，D为M N 阶对角矩阵，对角元素为 1 2 r , i是D的第i个 奇异值. 在 5.40 式中可知K L展开式为 X UY , 其中U的列由XX T的特征向量组成由此得 . Y UT X 将SVD式X UDV T 代入上式, 得 Y U T UDV T DV T i viT . 将上式代入K L展开式，得 X UY UDV T .
相应于在VSP资料处理上，如果我们按下行波拉齐，显然下行波能量较强而相关性好，因此 一般可选用前几个 i 值就能重建下行波剖面，即X LP主要含有拉齐后的下行波分量当然也可以 . 先对上行波拉齐，此时由于上行波能量较弱、信噪比低，再加上强的下行波影响，所以相关 性没有下行波拉齐时好，因此效果也差.
p 1
5.56 5.57 5.58
X HP
i q 1源自文库
uv
T i i i
T T U H U H X XVH VH ,
我们分别称X LP、X BP 和X HP为低通、带通和高通奇异值分解式图像，其中带通图像是去除 了相关性较强的下行波和不相关的噪声而得到的. p和q的选择取决于奇异值的相对强度.具体作法是通过特征值i i2的下标i的函数曲线 来确定的，特征值曲线的形状由输入数据的道间相关性决定，如特征值曲线有突变的地方 较容易确定p和q值，否则不易确定，一般q值易确定，p值需经多次试验才能得最佳值.为了 提高确定q和p的灵敏度，我们采用了改进公式，用i 代替i，
i 1 M
减少误差平方和的观点看，取较大特征值所对应的各分量重建的X 误差较小经K L变换后， . 把原有相关成分去掉，都变换成不相关了在VSP中，由于上行波、下行波和噪声的能量各 . 不相同，一般下行波能量较强，上行波次之，噪声较弱，相应的相关性也有好坏之差异， 因此，我们可利用它们之间的差异，适当地选择不同的奇异值来重建我们所需要的上行波、 下行波和噪声剖面是可行的.
5.6.2 奇异值分解法的优缺点 矩阵的奇异值分解计算量比较大，特别是一个较高阶矩阵的奇异值分解，所以在实际 应用中受到了限制.随着高速计算机的发展，上述问题是能解决的.解决A UDV T 在数学 上是十分简单方便的，因为正交矩阵参与计算 不放大误差，且正交矩阵求逆很方便： U 1 U T ,V 1 V T，即求逆等于转置.求对角矩阵的逆也很方便： 1 1 D 1 如要解方程组AX B, 则 X A1 B UDV T B VD 1U T B.
T i i i 1 r
没有得到压缩，因此意义不大.如果各道地震数据都相似即M 道全线性相关时，X 的秩r 1， 即只要用一个特征图像加权，即X i ui viT 就可完全重建X 了以上显然是两种特殊的情况， . 一般情况存在一个p r , 按 5.55 式对特征图像进行加权求和来重建X ，其重建误差为
T i i
5.49
XX U u , i 1, 2,, n
5.50
这就说明ui是XX T的属于i的特征向量. 同理，因 X T X VDU T UDV T VD 2V T , 所以vi是X T X 的属于i的特征向量. 由 5.49 式和 5.50 式知协方差矩阵XX T 和X T X 的秩是相等的，所以非零特征值也相同， 在实际工作中采用XX T 还是X T X ，取决于M 和N的大小我们选取较小者. .
5.48
根据上述定义我们不难证明，在X 的奇异值分解X UDV T中U的列和V 的行分别 为XX T 和X T X 的特征向量. 这是因为 XX T UDV T VDU T UD 2U T , 即 XX T U Udiag 1 , 2 , , r , 0, , 0 . 将U 按列分块，并记U u1 , u2 , , un , 代入上式得
由于 0 1 1 2 2 0 D r 0 所以 5.48 式可写成 X i ui viT ,
i 1 r
0 0 , 0 r 0
T X LP i ui viT U LU L X , i 1 q T X BP i ui viT U BU B X , i p r p 1
5.60 5.61 5.62
X HP
i q 1
uv
T i i i
T U HU H X .
2 2 k i 2 i 1,, r , 2 k
i i 1
5.59
其中 j r , k为可调节数值.
j 1
r
当p和q确定后，我们即可通过低通、带通和高通SVD滤波获得垂直地震剖面的下行波、 上行波和噪声三种剖面，一般道数小于采样点数即M N，为了减少计算量，所以常利用 公式
5.63
显然上述矩阵的对角线上元素为各道在零时移的自相关值，即各道的能力或方差， 如 12 2 2 T , XX 5.64 2 M 这说明地震道能量的强弱与奇异值大小有关.特征值i i2的总和放映了地震信号的能量 总和：E X i2 .可见特征值 或奇异值 愈大的分量在地震信号中功率贡献也愈大.从要求
奇异值分解
5.6
奇异值分解 矩阵的奇异值分解 SVD 在解决最优化、最小二乘方以及多元统计分析等应用领域
有着广泛地应用. 5.6.1 矩阵的奇异值与奇异值分解 设X 为M N 阶矩阵，秩为r，则存在M 阶正交矩阵U，其列由XX T的特征向量组成, N 阶正交矩阵V，其行由X T X 的特征向量组成，使 U T XV DX UDV T , 0 其中D r , r diag 1 , 2 , , r .而 i i i 1, 2, , r ，特征值1 2 r 0 0 0 是矩阵X T X 的非零特征值的全体.称 i i 1, 2, , r 为X 的奇异值，而 X UDV T 称为X 的奇异值分解式.
2. 地震数据矩阵X 的分析 由于我们认为地震道的均值为零，因此二维地震数据矩阵X 的协方差矩阵C X XX T 可用相关矩阵RX 表示，即C X RX XX T .而 x1 x T XX 2 x1 x2 xM x1 , x1 x1 , x2 x , x x2 , x2 2 1 x , x x , x M 2 M 1 xM