四色问题的直观几何论证及单纯性地图四色定理

2013年9月图学学报September 2013第34卷第5期JOURNAL OF GRAPHICS V ol.34 No.5四色问题的直观几何论证及单纯性地图四色定理
张士庆1, 2，张号3
（1. 辽宁工程技术大学，辽宁阜新123000；2. 中国矿业大学银川学院，宁夏银川 750011；
3. 广东美的厨卫电器制造有限公司，广东佛山 528300）
摘要：对地图染色问题的论证已困扰学术界160余年，根本原因在于它不是经典数学问题，而人们总想用经典数学方法去证明它。

用直观几何方法将其转换为染色等价的正规地图，并严格证明“相邻域定理”；建立并分析最小单元地图的染色，发现了单纯性和关联性两种地图染色模式；建立基本单元地图模型，创造由基本单元地图模型成长为地图的过程与染色相结合的直观方法；严格证明四色定理：任何单纯性地图可以至多用4种颜色染色，而任何关联性地图所需颜色数目不确定；创造“缩灭法则”去简化复杂地图；举出了《中国行政区划正规地图》应用实例。

关键词：正规地图；染色等价；单纯性地图；相邻域；缩灭法则
中图分类号：k 99，O 189，TB 113
文献标识码：A 文章编号：2095-302X (2013)05-0046-05
Visualized Geometrical Demonstration of the Four Colors Problem and the
Four Color Theorem of Simple Map
Zhang Shiqing1, 2, Zhang Hao3
( 1. Liaoning Engineering and Technological University, Liaoning Fuxin 123000, China;
2. China University of Mining and Technology Yinchuan College, Ningxia Yinchuan 750011, China;
3. GD Midea Kitchen & Bath Appliances Mfg. Co., Ltd., Guangdong Foshan 528300, china )
Abstract: The arguments of the least colors that should be used to dye the 2D net color block graph, such as maps and patterns, have puzzled the academia for one hundred and sixty years or more. The basic reason is that the scholars have been working on to solve the problem with classical mathematics methods, even though it is not a classical mathematics problem. Visualized engineering geometry is used to turn the 2D net color block graph into dyeing equivalence normal map, and critically adjacent domain axioms proved. The smallest unit of maps and their dyeing mode is also established. Two kinds of map dyeing mode are found in the process. The first is simple dyeing mode, and the second is the relevant dyeing mode. At the same time, a visualized method is developed combining the dyeing and the process of turning the smallest map unit into maps together. It is proven critically that any simple maps are suitable for the least four colors dyeing method, but for the relevant maps, the number of colors that should be used are uncertain.
Key words: normal map; dyeing equivalence; simple map; adjacent domain; reducing rule
收稿日期：2012-09-22；定稿日期：2013-04-01
作者简介：张士庆（1947-），男，辽宁辽中人，教授，主要研究方向为图学理论及应用、图学教育、现代教育技术。

E-mail:comandnet@
通讯作者：张号（1977-），男，辽宁阜新人，研发项目负责人，主要研究方向为家电产品研发设计、计算机及网络应用。

“四色问题又称四色猜想、四色定理”，自1850年前后提出以来，以“看起来最简单”但又无法得到严格证明而“特别惹人注目”，成为“世界近代数学三大难题之一”。

对“图论”、“拓扑
学”的产生和发展影响深远。

[1-4]
四色问题困扰学术界160余年，其根本原因在于它不是经典数学问题，而人们总想用经典数学方法去证明它。

地图染色问题的本质是区域的形状及其相互间的位置关系。

其形、位可以“变换无穷”，而染色结果也可能不是唯一的。

因此，染色问题不是单纯的数逻辑问题，也不在经典几何公理体系内，它是特殊的数逻辑与极复杂的形、位关系相结合，并主要是位置关系问题。

基于这一认识，并借前人在拓扑学方面已取得的某些成就[5-7]，本文用直
观几何方法，对四色问题作一个完整的论证。

1 正规地图染色等价定理
若干简单封闭线（即区域的边界）将平面（注：球面和平面问题没有实质区别）分割为许多称为“区域”的部分，构成地图网络，如图1(a)所示。

定义 1 地图网络相邻的区域采用不同颜色，称为正确染色，简称染色。

如图1(a)之区域I 与区域II 、V ，必须采用不同颜色。

为使染色分析简明，对网络作如下染色等价变换。

(a) (b) (c) (d)
图1 地图、相邻域、正规化地图
定义2 若一顶点Ａ所属区域数目大于3时，在Ａ处增设一个小区域，如图1(b)所示，使每个顶点所属区域数目为3，成为3条线的汇聚点。

这一变换没有改变原地图各区域的邻域关系，称变换后的网络图为正规地图，如图1(c)所示。

正规地图染色等价定理（引理1） 正规地图Tn 正确染色后，则缩灭（减少）任意一个区域后的地图Tn-1也是正确染色。

简称：染色定理。

证明：设正规地图Tn 由区域A 、B 、C 、D ……组成。

将正规地图Tn 任意一个区域，例如A ，缩灭为一个点，得到地图Tn-1。

这一简单变换，没有改变地图Tn-1和地图Tn 上的对应区域B 、C 、D ……之间的相邻区域关系，即地图Tn 与地图Tn-1上的对应区域B 、C 、D ……染色可以相
同。

称此两图染色等价。

如图１所示：将图1(c)图之区域A 缩灭为一点，即成图1(a)图；图1(c)图上的区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ与图1(a)上的对应区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ可以一一对应染相同颜色。

图1(d)是图1(c)区域Ⅱ缩灭为一点后的图形；两图上的区域Ⅰ、A 、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ也一一对应。

证毕
2 两两相邻域定理
两两相邻域定理（引理2） 平面（或球面）上的地图网络，两两相邻的区域（注：以下简称相邻域）的最大数目是4。

简称：相邻域定理。

(a) (b) (c) (d)
图2 最大两两相邻域数目为4
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证明：在平面（或球面）S2上作简单闭曲线C1，C1分S2为两个相邻域Ⅰ、Ⅱ，C1为公共边界[8]，如图2(a)所示；在C1上任取两点a 、b ，将闭曲线Ｃ１分为两部分1、2。

任取区域Ⅰ、Ⅱ之Ⅱ（Ⅰ、Ⅱ没有实质区别），在Ⅱ内作一条含1（1、2没有实质区别）的简单闭曲线C2（如图2(a)虚线处所示），分区域Ⅱ为两个相邻区域Ⅱ、Ⅲ(注：分割后之Ⅱ是原区域Ⅱ的一部分，为讨论方便仍用Ⅱ标示；以后相似问题均如此处理)；C2的一部分（即虚线，不含边界1）为Ⅱ、Ⅲ的公共边界。

区域Ⅱ、Ⅲ均与区域Ⅰ相邻，公共边界分别为2、1；得到3个“两两相邻区域”，如图2(b)所示。

若有区域Ⅳ与Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ均相邻，则Ⅳ的外围边界线必含有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的边界。

用上述原理及方法必能作出区域Ⅳ：分别在Ⅰ、Ⅱ边界线上任取一点d ，在Ⅱ、Ⅲ边界线上任取一点e ，将这两段边界线分为关于区域Ⅱ位置“对称”的两部分（即拓扑学意义上的等价，以下的“对称”是同样意义），在Ⅱ内作一条简单闭曲线，如图2(b)虚线处所示。

如图2(c)所示，区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ即是4个两两相邻区域。

4个相邻域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的4条边界闭曲
线各自皆由本区域分别与其它3个区域的“3段公共边界线”组成，类似4个“对称”的三角形：△abe 、△ebd 、△dba 、△ade （△ade 是类似反演形式三角形），如图2(d)所示意。

在这样的类三角形闭曲线上，不存在两个界点，将这条闭曲线分为“对称”的两部分，使每部分均含有3段公共边界；因此不可能在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ之任意一个区域内分划出两个邻域，使它们同时与其它3个区域均相邻。

因此5个相邻域不存在。

没有5个相邻域，就不存在5个以上相邻域。

因为，如果存在6个相邻域必然包含5个相邻域，这与上述结论矛盾。

证毕
3 基本单元地图模型
地图是由若干基本单元组合而成。

基本单元地图的模型可归纳如图3所示。

图3(a)、图3(b)之图互为反演。

链式、内含式染色最少颜色数目不大于两两相邻式；图中各基本单元地图模型中“四域两两相邻式”（即4个相邻域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ）必须4种颜色才能正确染色，其余仅需2~3色就能正确染色。

(a) (b)
图3 基本单元地图模型
4 地图染色类型
若地图的每个区域染色均独立，称为单纯性地图；若存在两个以上区域染色关联，称为关联性地图。

例如两个区域Ⅳ1、Ⅳ2 同属一个国家Ⅳ，其中一部分Ⅳ2被其它国家Ⅴ隔开，成为一块飞地（或内含于第三区域）；虽然Ⅳ1、Ⅳ2不相邻，但必须染成同一种颜色，如图5右图所示。

单纯性地图仅考虑相邻区域不同色。

关联性地图还必须考虑染色关联区域同色。

5 单纯性地图四色定理
单纯性地图四色定理 每一幅单纯性地图可以至多用4种颜色正确地染色。

简称：四色定理。

证明：如图3所示，基本单元地图模型中4个相邻域所需颜色数目最多，必须采用4种颜色。

由4个相邻域基本单元地图为基础可以成长为任意的地图，如图4所示。

在4个相邻域基本单元地图基础上，任意增
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加一个区域Ⅴ，如图4上排图虚线处所示。

按照相邻域定理（引理2）：5个区域中，必至少有两个区域不相邻，例如图4(1, 2, 5, 6)图中Ⅴ与Ⅳ不相邻，图4(3)图中Ⅱ与Ⅳ不相邻，图4(4)图中Ⅱ与Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ不相邻。

不相邻区域Ⅳ、Ⅴ（或图4(3、4)图中Ⅱ、Ⅳ）染同一种颜色。

将同色区域之一，例如Ⅳ缩灭为一个点，按照染色定理（引理1），这一简单变换，没有改变其余4个区域的邻域关系和染色。

如图4上排图所示：图4(1, 2, 5,
6)图中Ⅳ、Ⅴ同色，图4(3, 4)图中Ⅱ、Ⅳ同色，
区域Ⅳ被缩灭为一个点。

如图4之下排图所示，新的4个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅴ，又是一个四域基本单元地图：分别是四域链式，如图4(1)图；四域内含式，如图4(4, 6)图；四域两两相邻式，如图4(2, 3, 5)图。

它们都可以至多用4种颜色正确地染色。

恢复Ⅳ，就是原来生成的五域地图，称此方法和过程为“缩灭法则”。

图4 由四域两两相邻基本单元地图成长为任意地图过程分析
在5域地图上任意增加一个区域Ⅵ，按照相
邻域定理（引理2），Ⅵ必至多与原来5域中3个相邻域相邻，形成一个含Ⅵ的4个相邻域；Ⅵ可选用这3个区域颜色之外的第4色。

若Ⅵ与更多区域相邻（注：非两两相邻域），必然改变原来相邻域关系，但改变后，这6个区域的最大相邻域数目仍不超过4（引理2）。

按照最大数目4分析，这4个相邻域之外的第5域的染色如上所述；之外的第6域必至多与5域中3个相邻区域结成4个两两相邻域，它必可选用其余两个与自己不相邻的区域之一的颜色染色。

重复以上过程，是7域地图；再重复下去可得到8域、9域……等任意多形式的地图。

需要指出：新增区域后，任何与新增区域染色无关区域都可缩灭为点，使之简化；甚至可以从新整理全图使之成为图4那样的简单状态，使染色分析一目了然。

按照“缩灭法则”可以将复杂的染色问题化解成为简单的染色问题。

图4(2)~图4（3）下排图形与图4(5)下排图形互为反演图形。

证毕
6 关联性地图
关联性地图正确地染色比较复杂，所需颜色数目不确定。

如图5左图所示，Ⅳ1、Ⅳ2是关联性两个区域，必须染同一种颜色；但Ⅳ1与Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ相邻，只能与Ⅱ同颜色；而Ⅳ2与Ⅱ相邻，必须染不同颜色。

因此，图5所示关联性地图必须采用5种颜色，如图5右图所示。

图5 关联性地图染色
7 结 束 语
近40年，因计算技术的高速发展，又形成一次研究高潮。

研究的深度广度远远超过前人。

“四色问题”不是经典数学问题，纯数学研究及建模的路线是错误的，除非经典数学因四色问题而有了质的突破；用计算机去计算更让人无法接受，因为在“四色定理”没有得到严格证明的前提下，任何数学建模本身就备受质疑，而巨量的计算机计算更受质疑。

“四色问题”确实不应该是一个超高难度数学问题，故而采用直观几何方法去研究，企图发现一种新的路线和方法去解决类似问题。

作此论文供学者讨论，供 “四色问题”爱好者、关注者参考。

第5期 张士庆等：四色问题的直观几何论证及单纯性地图四色定理 49
“四色问题”绝非游戏。

其应用价值也值得关注。

图6是《中国行政区划正规地图》[9]，她以极其简单的图形表达了各省、市、自治区相邻域关系及染色规则。

地图与书法相结合，构成一部简明教科书；学术、文化、地理等多层次信息一目了然。

可以作为多种传媒的载体，用于教材插图，辅助地图，图案题材设计，地图染色分析；也可做旅游、交通、文化、商业广告等传媒的载体，应用到社会各个方面。

图6 中国行政区划正规地图
参 考 文 献
[1] 百度百科. 四色定理[OL]./
view/43945/htm, 2012-02-10.
[2] 朱 彤. 四色问题[N]. 人民教育, 1979. 09. [3] 作者不详. 四色问题[J]. 曲阜师范大学学报(自然科
学版), 1978, （3）: 77.
[4] 田翔仁. 奇妙的四色问题[N]. 北京: 数学教学通讯,
2009.16.
[5] Ｄ·希尔伯特. 直观几何[M]. 王联芳. 北京: 高等教
育出版社, 1964: 330-336.
[6] Ｂ·г·巴尔佳斯基等. 拓扑学奇趣[M]. 裘光明. 北京:
北京大学出版社, 1987: 78-80.
[7] 苏步青. 拓扑学初步[M]. 上海: 复旦大学出版社,
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[8] Ｊ·Ｒ·曼克勒斯.拓扑学基本教程[M]. 罗嵩龄. 北京:
科学出版社, 1987: 408-416.
[9] 张士庆, 张学忠. 中国地图的线元化正规地图(中国
第二地图)及其应用[OL]. /duoloveren/ item/97bd1b17067737772b3e2249, 2012-06-19.
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