高中数学《直线与方程》章末复习

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由图知 kOP≥kOC 或 kOP≤kOB， ∵kOC＝23，kOB＝－13， ∴yxx不 存在，∴yx∈－∞，－13∪32，＋∞.
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[点评] (1)利用类比、联想、化归的思想方法是解决此 题的突破口，即将代数式恒等变化为yx－－00，联想斜率的坐标 公式，问题就转化为求过原点且与线段 BC 相交的直线斜率 问题，此法直观简捷，充分体现了“数形结合”思想的优越 性．
y1＋2 y2＝3×x1＋2 x2＋3， 则yx11－－yx22×3＝－1，
解得x1＝－54x2＋35y2－95， y1＝35x2＋45y2＋53.
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把(x1，y1)代入 y＝x－2， 整理得 7x2＋y2＋22＝0， 所以 l2 方程为 7x＋y＋22＝0. 解法二：因为直线 l：y＝3x＋3 与直线 y＝x－2 相交， 且交点为－52，－92.在直线 y＝x－2 上取点 B(0，－2)，则 点 B 关于直线 l：y＝3x＋3 的对称点为 B′(－3，－1)，所 以直线 y＝x－2 关于 l 的对称直线经过点－52，－92及 B′(－3，－1)，由两点式得直线方程为 7x＋y＋22＝0.
五、对称问题 在解析几何中，经常遇到对称问题，对称问题主要有两 大类：一类是中心对称，一类是轴对称． 1．中心对称 (1)两点关于点对称，设 P1(x1，y1)，P(a，b)，则 P1(x1， y1)关于 P(a，b)对称的点 P2(2a－x1,2b－y1)，也即 P 为线段 P1P2 的中点；特别地，P(x，y)关于原点对称的点为 P′(－x， －y)．
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(3)设直线 l 关于点 A(3,2)的对称直线为 l′， 由于 l∥l′，可设 l′为 y′＝3x′＋b(b≠3)． 由点到直线的距离公式得 |3×323＋－－2＋1b2|＝|3×323＋－－2＋132|， 即|b＋7|＝10，解得 b＝－17 或 b＝3(舍去)． 所以直线 l′的方程为 y′＝3x′－17， 即对称直线的方程为 3x－y－17＝0.
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六、数形结合思想 根据数学问题的条件和结论的内在联系，将抽象的数学 语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合．
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例 6 已知矩形 ABCD 中，A(－4,4)，D(5,7)，其对角线 的交点 E 在第一象限内且与 y 轴的距离为一个单位，动点 P(x，y)沿矩形一边 BC 运动，则yx的取值范围是( )
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3．两直线的平行与垂直
由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注 意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确 定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方 程．
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4．距离问题
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学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的 几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结 合．
(1)求直线 AB，BC，AC 的斜率和倾斜角； (2)若 D 为△ABC 的边 AB 上一动点，求直线 CD 的斜率 k 的取值范围．
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解 (1)由斜率公式，得 kAB＝1－1－－11＝0，
kBC＝ 32＋－11－1＝ 3，
kAC＝
23－＋－1－11＝
3 3.
因为 tan0°＝0，
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例 2 直线 l 过点(2,1)和第一、二、四象限，若直线 l 的横截距与纵截距之和为 6，求直线 l 的方程．
解 设直线 l 的横截距为 a，则它的纵截距为 6－a，由 于直线在两轴上的截距都不为 0，
故直线 l 的方程为ax＋6－y a＝1. 因为点(2,1)在该直线上，所以a2＋6－1 a＝1， 即为 a2－7a＋12＝0.所以 a＝4 或 a＝3. 当 a＝4 时，直线的方程为4x＋2y＝1，
(2)我们学了直线方程后，也可以用解方程组求解，也 可以用函数的思想求解．
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例 3 已知两条直线 l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y ＋b＝0，求分别满足下列条件的 a、b 的值．
(1)直线 l1 过点(－3，－1)，并且直线 l1 与直线 l2 垂直； (2)直线 l1 与直线 l2 平行，并且坐标原点到 l1，l2 的距离 相等．
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第三章 直线与方程
章末复习
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1知识系统整合
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2规律方法收藏
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1．直线的倾斜角与斜率对应关系 任何直线都有倾斜角，但并非任何直线都有斜率． 直线的倾斜角 θ 满足{θ|0°≤θ<180°}．当 θ＝0°时，k＝0， 直线与 y 轴垂直；当 θ＝90°时，直线的斜率不存在，直线与 x 轴垂直．当 0°<θ<90°时，斜率 k＝tanθ>0；当 90°<θ<180° 时，k＝－tan(180°－θ)<0. 当 α 由 0°→90°→180°(不含 180°)变化时，k 由 0(含 0) 逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到 0(不含 0)．
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例 4 两条直线 l1：ax－by＋b＝0 和 l2：(a－1)x＋y＋b
＝0，若 l1∥l2，且 l1 与 l2 的距离为 22，则 a＋b 的值是(
)
A．0 B．1 C．2 D．4
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解析 由 l1∥l2，可得 a×1－(－b)×(a－1)＝0，得 a＋ ab－b＝0.显然 a≠1，∴b＝1－a a，又 a＝0 时，b＝0，l1 不 存在，故 a≠0.
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解得 a＝2 或 a＝32.
因此 ab＝＝－2，2
或a＝23， b＝2.
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四、距离问题 在应用点到直线距离公式时，要注意直线方程必须化为 一般形式．而在应用两平行直线的距离公式时，要注意两直 线方程必须化为一般形式，且两条直线方程中 x 和 y 的系数 必须对应相等．高考中对本部分的考查常结合圆的知识进 行，如直线与圆相交、相切等，下章我们将详细研究．题目 难度中等，以选择题、填空题居多．预计将来仍会沿此方向 命题．
将 b＝1－a a代入两直线方程得 l1：(1－a)ax－ay＋a＝0， l2：(a－1)x＋y＋1－a a＝0.将 l2 变形为(1－a)ax－ay－1－a2a＝ 0，于是有 1a－＋a12－aa22a＋ a2＝ 22，解得 a＝2.
当 a＝2 时，b＝－2，适合题意，此时 a＋b＝0.
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3学科思想培优
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一、直线的倾斜角与斜率问题 直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念， 它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度．倾 斜角 α 与斜率 k 的对应关系和单调性，是做题的易错点，应 引起特别的重视．
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例 1 已知坐标平面内的三点 A(－1,1)，B(1,1)， C(2， 3＋1)．
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即为 x＋2y－4＝0，经过第一、二、四象限； 当 a＝3 时，直线的方程为3x＋3y＝1， 即为 x＋y－3＝0，也经过第一、二、四象限． 综上可知，所求直线 l 的方程为 x＋y－3＝0 或 x＋2y－ 4＝0.
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三、直线的平行与垂直问题 考查两条直线的平行与垂直关系时，通常有两种方式可 以选择：一是直线方程以斜截式给出，此时可通过斜率和直 线在 y 轴上的截距处理；二是直线方程以一般式给出，此时 可转化为斜率和直线在 y 轴上的截距处理，也可直接利用系 数处理．考查的题目常有求直线方程，直接用平行与垂直求 未知系数、对称问题、过定点问题等，题型则以选择题、填 空题居多，属容易题．解答此类问题时始终以平行与垂直对 方程系数的要求为切入点．
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2．直线的几种方程及比较
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解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点 斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示 与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原 点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意 A2＋ B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论．
即 yyx′′′2＋－－554＝×33×＝x－′12＋，4＋3， 所以 P′坐标为(－2,7)．
解得yx′′＝＝7－. 2，
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(2)解法一：设直线 l1：y＝x－2 关于直线 l 对称的直线 为 l2，则 l1 上任一点 P1(x1，y1)关于 l 的对称点 P2(x2，y2)一 定在 l2 上，反之也成立．
所以 AB 的倾斜角为 0°；
因为 tan60°＝ 3，
所以 BC 的倾斜角为 60°；
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因为 tan30°＝ 33，
所以 AC 的倾斜角为 30°.
(2)如图，当斜率 k 变化时，直线 CD 绕点 C 旋转，当
直线 CD 由 CA 逆时针转到 CB 过程中，直线 CD 与 AB 恒
有交点，即 D 在△ABC 的边 AB 上，此时 k 由 kCA 增大到 kCB，
所以
k
的取值范围为
33，
3.
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二、直线方程五种形式的应用 直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目条 件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适 用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．
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(2)两直线关于点对称，设直线 l1，l2 关于点 P 对称，这 时其中一条直线上任一点关于 P 对称的点在另外一条直线 上，并且 l1∥l2，P 到 l1，l2 的距离相等．
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2．轴对称 (1)两点关于直线对称，设 P1，P2 关于直线 l 对称，则 直线 P1P2 与 l 垂直，且线段 P1P2 的中点在 l 上，这类问题的 关键是由“垂直”和“平分”列方程． (2)两直线关于直线对称，设 l1，l2 关于直线 l 对称． ①当三条直线 l1，l2，l 共点时，l 上任意点到 l1，l2 的距 离相等，并且 l1，l2 中一条直线上任意一点关于 l 对称的点 在另外一条直线上； ②当 l1∥l2∥l 时，l1 到 l 的距离等于 l2 到 l 的距离．
A.－∞，－13 B.32，＋∞ C.－∞，－13∪23，＋∞ D．无法确定
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解析 如图，由题意设 E(1，y0)(y0>0)，
则由|AE|＝|DE|得 25＋y0－42＝ 16＋y0－72，解得 y0＝4.
由中点坐标公式得 B(－3,1)，C(6,4)，点 P(x，y)在 BC 上运动，∴yx＝kOP.
解 (1)∵l1⊥l2， ∴a(a－1)＋(－b)·1＝0. 即 a2－a－b＝0，① 又点(－3，－1)在 l1 上， ∴－3a＋b＋4＝0.② 由①②解得 a＝2，b＝2. (2)∵l1∥l2 且 l2 的斜率为 1－a， ∴l1 的斜率也存在，ba＝1－a，
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即 b＝1－a a. 故 l1 和 l2 的方程可分别表示为 l1：(a－1)x＋y＋4a－a 1＝0， l2：(a－1)x＋y＋1－a a＝0. ∵原点到 l1 与 l2 的距离相等， ∴4a－a 1＝1－a a，
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例 5 已知直线 l：y＝3x＋3，求： (1)点 P(4,5)关于 l 的对称点坐标； (2)直线 y＝x－2 关于 l 的对称直线的方程； (3)直线 l 关于点 A(3,2)的对称直线的方程．
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解 (1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′(x′，y′)， 则点 P，P′的中点 M 在直线 l 上，且直线 PP′垂直 于直线 l，