次线性期望空间下广义ND序列的强大数定律

ｎ
ｎ
( ) ∏ Ｅ＾ ｇｉ（Ｘｉ） ≤ Ｋ∏ Ｅ＾（ｇｉ（Ｘｉ）），ｎ≥ １，
ｉ＝１
ｉ＝１
其中，非负函数 ｇｉ∈ Ｃｌ，Ｌｉｐ（Ｒｎ），ｉ＝１，２，…，是非降
列是广义 ＮＤ序列。
引理 １［４］ 对于 Ｘ∈，如果Ｅ＾（｜Ｘ｜） ＜∞，
钟豪媛，吴群英
（桂林理工大学 理学院，广西 桂林 ５４１００６）
摘 要：在矩条件 ｓｉ≥ｕ１ｐＥ＾［｜Ｘｉ｜ｐｌｎｑ｜Ｘｉ｜］＜∞（０＜ｐ＜２，ｑ＞ｐ＋１）下，获得了次线性期望空间下不同
分布广义 ＮＤ序列的 Ｍａｒｃｉｎｋｉｃｗｉｃｚ强大数定律，推广了次线性期望空间下的大数定律。 关键词：次线性期望；Ｍａｒｃｉｎｋｉｃｗｉｃｚ强大数定理；广义 ＮＤ序列 中图分类号：Ｏ２１１４ 文献标志码：Ａ
第 ２期 钟豪媛等：次线性期望空间下广义 ＮＤ序列的强大数定律
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１）Ｖ（） ＝０，Ｖ（Ω） ＝１； ２）Ｖ（Ａ）≤ Ｖ（Ｂ），Ａ Ｂ，Ａ，Ｂ∈ 。 如果对于 所 有 的 Ａ，Ｂ∈ ，有 Ｖ（Ａ∪ Ｂ）≤ Ｖ（Ａ）＋Ｖ（Ｂ），则称 Ｖ具有次可加性，在次线性期望 空间可产生上容度和下容度（，ｖ），记 Ａｃ是 Ａ的补 集，定义
线性期望，定义Ｅ＾的共轭期望 ε＾为 ε＾（Ｘ）：＝－Ｅ＾（－Ｘ），Ｘ∈。 从定义中得出，对于所有的 Ｘ，Ｙ∈有
ε＾（Ｘ）≤ Ｅ＾（Ｘ），Ｅ＾（Ｘ＋ｃ）＝Ｅ＾（Ｘ）＋ｃ， Ｅ＾（Ｘ－Ｙ）≥ Ｅ＾（Ｘ）－Ｅ＾（Ｙ）。
而且如果Ｅ＾（Ｙ）＝Ｅ＾（Ｙ），则对于任意的 ａ∈ Ｒ有， Ｅ＾（Ｘ＋ａＹ） ＝Ｅ＾（Ｘ）＋ａＥ＾（Ｙ）。
∞
ｖ（Ａ）≤ （Ａ），Ａ∈ 。
∑Ｖ（Ａｎ） ＜∞，那么 Ｖ（Ａｎ，ｉ．ｏ．） ＝０，其中｛Ａｎ，
ｎ＝１
如果 Ｉ（Ａ）∈ ，则有
∞∞
（Ａ） ＝Ｅ＾（Ｉ（Ａ）），ｖ（Ａ） ＝ε＾（Ｉ（Ａ））；
ｉ．ｏ．｝
＝∩∪ ｎ＝１ｉ＝ｎ
Ａｉ。
引理 ３［５］ 令｛Ｘｎ，ｎ≥ １｝是在次线性期望空间
如果 ｆ≤ Ｉ（Ａ）≤ ｇ，ｇ，ｆ∈ ，则有
ｎ
Ｅ＾ｆ≤ （Ａ）≤ Ｅ＾ｇ，ε＾ｆ≤ ｖ（Ａ）≤ ε＾ｇ。
∑ （１）
下的广义 ＮＤ序列，满足Ｅ＾（Ｘｋ）≤ ０。令 Ｓｎ ＝ Ｘｋ，
ｋ＝１
可知，具有次线性性，ｖ和 ε＾没有。但有
（Ａ）∶＝ｉｎｆ｛Ｅ＾［ξ］∶ＩＡ≤ ξ，ξ∈ ｝，ｖ（Ａ）∶＝ 那么 ｜Ｘ｜＜ ∞，ａ．ｓ．，即（｜Ｘ｜＝∞） ＝０。
１－（Ａｃ），Ａ∈ 。
引理 ２ （ＢｏｒｅｌＣａｎｔｅｌｌｉ引理）假设｛Ａｎ，ｎ≥ １｝
是中 的 一 列 事 件，Ｖ是 可 数 次 可 加 的 容 度，如 果
根据定义，则有
０ 引言及引理
为解决金融中出现的风险测度和随机不确定 性等现象所带来的问题，Ｐｅｎｇ［１－２］提出了次线性期 望空间，建立了 相 应 的 理 论 体 系， 受 到 了 国 内 外 诸多研究者的关注，其中对强大数定律已有一定 的研究，并首先得到了次线性期望空间下二阶矩 存在条件 下 的 独 立 同 分 布 的 强 大 数 定 律； Ｃｈｅｎ［３］ 在 １＋α（α ＞０）阶矩存在的条件下得到了独立同 分布序列的 Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ强大数定律；Ｃｈｅｎｇ［４］在更 一般条件 ｓｉｕ≥１ｐＥ＾［｜Ｘｉ｜ψ（｜Ｘｉ｜）］＜∞ 下（ψ（ｘ）是在 ［０，∞）的慢变化函数）下得到独立不同分布序列的 Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ强大数定律；Ｚｈａｎｇ［５］在一阶 Ｃｈｏｑｕｅ积 分存在条件下得到同分布的广义 ＮＤ序列的强大数 定律；林敬航［６］在 ｐ阶 Ｃｈｏｑｕｅ积分存在条件下得到 了独立同分布序列的 Ｍａｒｃｉｎｋｉｃｗｉｃｚ强大数定律；江 龙等［７］得到基于加权 ｇ－期望大 数定律；余东 林 等［８］还研究获得了完全敛性。基于以上研究，本文 是在 ｓｉ≥ｕ１ｐＥ＾［｜Ｘｉ｜ｐｌｎｑ｜Ｘｉ｜］＜∞ 条件下得到的不 同分布的广义 ＮＤ序列的 Ｍａｒｃｉｎｋｉｃｗｉｃｚ强大数定 律，所得结果推广了文献 ［４－６］ 的结果。
ｙ｜，ｘ，ｙ∈ Ｒｎ，ｃ＞０，ｍ∈ Ｎ的取决于 φ。 定义 １ 次线性期望 Ｅ＾：→Ｒ。Ｅ＾满足以下 ４
个条件： １）单调性：如果 Ｘ≥Ｙ，那么Ｅ＾（Ｘ）≥Ｅ＾（Ｙ）； ２）保持常数不变：Ｅ＾（ｃ）＝ｃ； ３）次可加性：Ｅ＾（Ｘ＋Ｙ）≤Ｅ＾（Ｘ）＋Ｅ＾（Ｙ）； ４）正齐次性：Ｅ＾（λＸ）＝λＥ＾（Ｘ），λ≥０。 三元组（Ω，，Ｅ＾）称为次线性期望空间，Ｅ＾是次
定义 ２ 令 ，一个函数 Ｖ：→ ［０，１］被称 为容度，如果
收稿日期：２０１８－１２－１２ 基金项目：国家自然科学基金项目（１１６６１０２９）；广西自然科学基金项目（２０１８ＧＸＮＳＦＡＡ２８１０１１） 作者简介：钟豪媛 （１９９２—），女，硕士，研究方向：概率极限理论，２２７３８００４４３＠ｑｑｃｏｍ。 通讯作者：吴群英，女，博士，教授，ｗｑｙ６６６＠ ｇｌｕｔｅｄｕｃｎ。 引文格式：钟豪媛，吴群英．次线性期望空间下广义 ＮＤ序列的强大数定律［Ｊ］．桂林理工大学学报，２０１９，３９（２）：５２４－５２８．
第 ３９卷 第 ２期
桂林理工大学学报
Ｖｏｌ３９Ｎｏ２
２０１９年 ５月
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Ｍａｙ ２０１９
文章编号：１６７４－９０５７（２０１９）０２－０５２４－０５
ｄｏｉ：１０３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ１６７４－９０５７２０１９０２０３６
次线性期望空间下广义 ＮＤ序列的强大数定律
本文使 用 Ｐｅｎｇ提 出 的 次 线 性 期 望 空 间 的 框 架，假设 （Ω，） 是给定的可测空间，是定义
在 （Ω，） 上由实函数构成的线性空间，使得如
果 Ｘ１，Ｘ２，…，Ｘｎ ∈ ， 则 对 于 任 意 的 φ ∈ Ｃｌ，Ｌｉｐ（Ｒｎ），都 有 φ（Ｘ１，Ｘ２，…，Ｘｎ） ∈ ， 其 中 Ｃｌ，Ｌｉｐ（Ｒｎ）表示在线性空间的局部 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数，φ 满足 ｜φ（ｘ）－φ（ｙ）｜≤ Ｃ（１＋｜ｘ｜ｍ ＋｜ｙ｜ｍ）｜ｘ－