第1课时 基本不等式

2.2 基本不等式第1课时 基本不等式课标解读课标要求核心素养1.掌握基本不等式√≤a+b2(a>0,b>0,当且仅当a=b 时等号成立).(重点)2.能灵活运用基本不等式解决一些证明、比较大小的问题.(难点)1.通过学习并掌握基本不等式,培养学生数学抽象素养.2.借助基本不等式的简单应用,提升学生数学运算、逻辑推理素养.填写下表:a b √ab a +b2 √ab 与a+b 2的大小关系 1 1 1 1 4 16 2 2 … …12 18 14 516 √<a+b 21 1 1 5 √ab <a+b 24 16 8 10 √ab <a+b 2 2 2 2 2 √ab =a+b2……………问题1:观察√ab 与a+b2的大小关系,从中你发现了什么结论?答案 观察得到结论:一般地,如果a>0,b>0,那么√ab ≤a+b2(当且仅当a=b 时取“=”).问题2:你能给出它的证明吗?答案 用比较法证明:a+b2-√ab =12[(√a )2+(√b )2-2√a ·√b ] =12(√a -√b )2≥0,当且仅当√a =√b ,即a=b 时取“=”.1.如果a>0,b>0,那么√ab ①≤a+b2,当且仅当②a=b 时,等号成立.其中,a+b2叫做正数a,b 的算术平均数,√ab 叫做正数a,b 的几何平均数.2.变形:ab≤(a+b 2)2,a,b∈R,当且仅当a=b 时,等号成立.a+b≥2√ab ,a,b 都是正数,当且仅当a=b 时,等号成立. 思考:不等式a 2+b 2≥2ab 与不等式√ab ≤a+b2成立的条件一样吗? 提示 不一样.a 2+b 2≥2ab 成立的条件是a,b∈R,√ab ≤a+b2成立的条件是a>0,b>0.探究一 对基本不等式√ab ≤a+b2(a>0,b>0)的理解 例1 (多选)下面给出的四个推导过程正确的是( )A.∵a、b 为正实数,∴b a +ab ≥2√ba ·ab =2 B.∵a∈R,a≠0,∴4a +a≥2√4a ·a =4C.∵x、y∈R,xy<0,∴x y +yx =-[(-xy )+(-yx )]≤-2√(-xy )·(-yx )=-2 D.不等式a+1a ≥2√a ×1a =2,当且仅当a=1a ,即a=±1时等号成立 答案 AC解析 A.∵a、b 为正实数,∴ba 、ab 为正实数,符合基本不等式的条件,故A 的推导正确. B.∵a∈R,a≠0,不符合基本不等式的条件,∴B 的推导错误.C.由xy<0,得xy 、yx 均为负数,但在推导过程中将整体x y +yx 提出负号后,-xy 、-yx 均变为正数,符合基本不等式的条件,故C 的推导正确.D.不等式a+1a ≥2√a ×1a =2,只有a>0时才成立,且等号成立的条件是a=1. 故选AC. 思维突破1.基本不等式√ab ≤a+b2(a>0,b>0)反映了两个正数的和与积之间的关系. 2.对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面:(1)定理成立的条件是a 、b 都是正数;(2)“当且仅当”的含义:当a=b 时,√ab ≤a+b2的等号成立,即a=b ⇒a+b2=√ab ;仅当a=b时,a+b 2≥√的等号成立,即a+b2=√a=b.1.下列不等式的推导过程正确的是 (填序号). ①若x>1,则x+1x ≥2√x ·1x =2;②若x<0,则x+4x =-[(-x )+(-4x )]≤-2√(-x )·(-4x )=-4; ③若a,b∈R,则b a +ab ≥2√ba ·ab =2. 答案 ②解析 ①中忽视了基本不等式等号成立的条件,当x=1x ,即x=1时,x+1x ≥2的等号成立,因为x>1,所以x+1x >2.③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件.探究二 利用基本不等式比较大小例2 若0<a<1,0<b<1,且a≠b,试找出a+b,a 2+b 2,2√ab ,2ab 中的最大者.解析∵0<a<1,0<b<1,且a≠b,∴a+b>2√ab,a2+b2>2ab,∴最大者应从a+b,a2+b2中选择.∵a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),0<a<1,0<b<1,∴a(a-1)<0,b(b-1)<0,∴a2+b2-(a+b)<0,即a2+b2<a+b,∴a+b最大.思维突破利用基本不等式比较实数大小时的注意事项1.利用基本不等式比较大小,要注意观察其形式(和与积).2.利用基本不等式时,一定要注意条件要满足a>0,b>0.2.比较大小:2√x2+12(填“>”“<”“≥”或“≤”).答案≥解析2√2=√x2+1+√2≥2,当且仅当√x2+1=√2,即x=0时,等号成立.探究三利用基本不等式证明不等式例3 (易错题)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1+1a )(1+1b)≥9.易错辨析:利用基本不等式证明不等式时,易出现的错误有两个,一是不注意基本不等式的使用条件;二是证明步骤不完整,如例3中容易忘掉说明等号成立的条件.证明∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+1a =1+a+ba=2+ba,同理,1+1b =2+ab,∴(1+1a )(1+1b)=(2+ba)(2+ab)=5+2(ba+ab)≥5+4=9.∴(1+1a )(1+1b)≥9当且仅当a=b=12时等号成立.易错点拨利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略:从基本不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.(2)注意事项:①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;②累加法是不等式证明中的一种常用方法;③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型后再使用.3.(1)(变结论)例3的条件不变,证明:1a +1b+1ab≥8;(2)(变结论)例3的条件不变,证明:(a+1a )2+(b+1b)2≥252.证明(1)1a +1b+1ab=1a+1b+a+bab=2(1a+1b),∵a+b=1,a>0,b>0,∴1a +1b=a+ba+a+bb=2+ab+ba≥2+2=4当且仅当a=b=12时等号成立,∴1a +1b+1ab≥8当且仅当a=b=12时等号成立.(2)由a2+b2-(a+b)22=(a-b)22≥0,得a2+b2≥(a+b)22(当且仅当a=b时等号成立). ∵a+b=1,∴(a+1a )2+(b+1b)2≥(a+1a+b+1b)22=(1+a+b a+a+b b)22=(3+b a+a b)22≥(3+2√b a·a b)22=252当且仅当a=b=12时等号成立.∴(a+1a )2+(b+1b)2≥252当且仅当a=b=12时等号成立.1.下列不等式成立的是( )A.ab≤a 2+b 22B.ab≥a 2+b 22C.a+b≥2√abD.a+b≤2√ab 答案 A a 2+b 2-2ab=(a-b)2≥0,∴a 2+b2≥2ab,ab≤a 2+b 22,故选A.2.设0<a<b,则下列不等式中正确的是( ) A.a<b<√ab <a+b2 B.a<√ab <a+b2<b C.a<√ab <b<a+b2D.√ab <a<a+b2<b 答案 B 因为0<a<b,所以由基本不等式得√ab <a+b 2,且a+b 2<b+b2=b, 又a=√aa <√ab ,故a<√ab <a+b2<b. 3.不等式9x -2+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是( ) A.x=3 B.x=-3C.x=5D.x=-5答案 C 易知不等式等号成立的条件为9x -2=x-2,即x=5(x=-1舍去). 4.已知a,b 是不相等的正数,x=√a+√b√2,y=√a +b ,则x,y 的大小关系是 .答案 x<y 解析 x 2=a+b+2√ab 2,y 2=a+b=a+b+a+b2. ∵a+b>2√ab (a>0,b>0,且a≠b), ∴x 2<y 2,又易知x>0,y>0,∴x<y.5.已知a,b,c∈R,求证:a 2+b 2+c 2≥ac+ab+bc. 证明 a 2+b 2≥2ab(当且仅当a=b 时,取“=”), b 2+c 2≥2bc(当且仅当c=b 时,取“=”), c 2+a 2≥2ac(当且仅当a=c 时,取“=”).以上三式相加,得2(a 2+b 2+c 2)≥2(ab+bc+ac),即a 2+b 2+c 2≥ac+ab+bc(当且仅当a=b=c 时,取“=”).逻辑推理——利用基本不等式证明不等式已知a 、b 、c 为不全相等的三个正数,求证:b+c -a a+c+a -b b +a+b -cc >3. 素养探究:在利用基本不等式证明不等式时,要进行整体考虑,即先将不等式化简或变形,再根据已知条件构造出基本不等式.该类题目能够很好地提升学生的逻辑推理素养.证明b+c -a a+c+a -b b +a+b -cc =b a +c a +c b +a b +a c +bc -3=(ba +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )-3. ∵a、b 、c 都是正数,∴b a +ab ≥2√ba ·ab ,即b a +ab ≥2①(当且仅当a=b 时,“=”成立). 同理可证:c a +ac ≥2②(当且仅当a=c 时,“=”成立),c b +bc≥2③(当且仅当b=c 时,“=”成立).①②③两边分别相加得(ba +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )≥6④(当且仅当a=b=c 时,“=”成立). 又a 、b 、c 不全相等,∴①②③不能同时取到等号,∴④取不到等号. ∴(ba +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )>6, 即b a +c a +c b +a b +a c +b c >6. ∴b+c -a a +c+a -b b +a+b -cc >3.已知a>0,b>0,求证:a 2b +b 2a ≥a+b.证明 ∵a>0,b>0,∴a 2b +b≥2√a 2b ·b =2a,当且仅当a=b时等号成立,b 2a +a≥2√b 2a ·a =2b,当且仅当a=b 时等号成立,∴a 2b +b+b 2a +a≥2a+2b,∴a 2b +b 2a ≥a+b,当且仅当a=b 时等号成立.1.(多选)下列条件可使ba +ab≥2成立的是( )A.ab>0B.ab<0C.a>0,b>0D.a<0,b<0答案ACD2.若b>a>0,且a+b=1,则12,2ab,a2+b2,b中最大的是( )A.bB.a2+b2C.2abD.12答案 A 取b=34,a=14,则2ab=38,a2+b2=1016,b=34=1216,则b最大.3.若t=a+2b,s=a+b2+1,则t与s的大小关系是( )A.s≥tB.s>tC.s≤tD.s<t答案 A t-s=a+2b-(a+b2+1)=-(b-1)2≤0,∴s≥t.4.a,b∈R,则a2+b2与2|ab|的大小关系是( )A.a2+b2≥2|ab|B.a2+b2=2|ab|C.a2+b2≤2|ab|D.a2+b2>2|ab|答案 A ∵a2+b2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,∴a2+b2≥2|ab|(当且仅当|a|=|b|时,等号成立).5.已知a>0,b>0,且ab=2,那么( )A.a+b≥4B.a+b≤4C.a2+b2≥4D.a2+b2≤4答案 C ∵a>0,b>0,∴a+b≥2√ab=2√2,故A,B均错误.a2+b2≥2ab=4,故选C.6.已知函数y=4x+ax(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= .答案36解析y=4x+ax ≥2√4x·ax=4√a(x>0,a>0),当且仅当4x=ax,即x=√a2时等号成立,此时f(x)取得最小值4√a.又已知x=3时, f(x)取得最小值,∴√a2=3,即a=36.7.已知a>b>c,则√(a -b )(b -c )与a -c2的大小关系是 .7.答案 √(a -b )(b -c )≤a -c2解析 ∵a>b>c,∴a -b>0,b-c>0. ∴a -c 2=(a -b )+(b -c )2≥√(a -b )(b -c ), 当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c 时取等号. 8.若a>0,b>0,则1a +1b 4a+b.(填“>”“<”“≥”或“≤”) 8.答案 ≥解析 ∵a>0,b>0,∴1a +1b ≥2√1ab =√ab ,4a+b ≤√ab,∴1a +1b ≥4a+b .9.已知a>0,b>0,c>0,求证:a 2b +b 2c +c 2a ≥a+b+c. 9.证明 ∵a,b,c,a 2b ,b 2c ,c 2a 均大于0,∴a 2b +b≥2√a 2b ·b =2a,当且仅当a 2b =b 时等号成立.b 2c+c≥2√b 2c ·c =2b,当且仅当b 2c =c时等号成立. c 2a +a≥2√c 2a ·a =2c,当且仅当c 2a=a 时等号成立.相加得a 2b +b+b 2c +c+c 2a +a≥2a+2b+2c,当且仅当a=b=c 时等号成立.∴a 2b +b 2c +c 2a ≥a+b+c.10.(多选)已知a>0,b>0,则下列不等式恒成立的是( ) A.a 2+1>aB.(a +1a )(b +1b )≥4C.(a+b)(1a +1b )≥4 D.a 2+9>6a 10.答案 ABC 由于a2+1-a=(a -12)2+34>0,故A 恒成立;由于(a +1a )(b +1b )=ab+1ab +b a +a b ≥2√ab ·1ab +2√b a ·ab =4.当且仅当{ab =1ab ,b a =a b ,即a=b=1时,“=”成立,故B 恒成立;由于(a+b)(1a +1b )=2+b a +ab ≥2+2√ba ·ab =4.当且仅当a b =ba ,即a=b 时,“=”成立,故C 恒成立;当a=3时,a 2+9=6a,故D 不恒成立.故选ABC.11.已知a>0,b>0,a+b=4,则下列各式中正确的是( ) A.4ab ≥1 B.1a +1b ≥2 C.√ab ≥2D.1a +1b ≤1411.答案 A ∵a>0,b>0,∴4=a+b≥2√ab (当且仅当a=b=2时取“=”),∴0<ab≤4, ∴1ab ≥14,∴4ab ≥1,故A 正确;而0<√ab ≤2,故C 不正确;1a +1b =a+b 4a +a+b 4b =12+b 4a +a4b≥1(当且仅当a=b=2时取“=”),故B 、D 不正确,所以选A.12.已知a>0,b>0,则下列不等式中不成立的是( ) A.a+b+√ab≥2√2 B.(a+b)(1a +1b )≥4 C.22√ab ≥2√ab D.2aba+b >√ab12.答案 D a+b+√ab ≥2√ab +√ab≥2√2, 当且仅当a=b=√22时,等号成立,故A 成立; (a+b)(1a+1b)=2+b a +a b≥2+2√b a·a b=4, 当且仅当a=b 时,等号成立,故B 成立; ∵a 2+b 2≥2ab>0,∴22√ab ≥2√ab ,当且仅当a=b 时,等号成立,故C 成立;∵a+b≥2√ab ,a>0,b>0,∴2√aba+b ≤1,2aba+b ≤√ab , 当且仅当a=b 时,等号成立,故D 不成立.13.某公司第一年产值增长率为p,第二年产值增长率为q,这两年的平均增长率为x,那么x 与p+q2的大小关系为 .13.答案 x≤p+q2解析 设公司最初产值为a(a>0),则a+ap+a(1+p)q=a(1+x)2, ∴a(1+p)(1+q)=a(1+x)2, ∴1+x=√(1+p )(1+q )≤1+p+1+q 2=2+p+q 2=1+p+q2(当且仅当p=q 时,“=”成立).∴x≤p+q2.14.如图,C 为线段AB 上的点,且AC=a,CB=b,O 为AB 中点,以AB 为直径作半圆.过点C 作AB 的垂线交半圆于D,连接OD,AD,BD.过点C 作OD 的垂线,垂足为E.则图中线段OD 的长度是a,b 的算术平均数,线段 的长度是a,b 的几何平均数.14.答案 DC解析 由已知得tan∠DAC=tan∠CDB,则DC AC =CB DC ,所以DC 2=AC·CB,所以DC=√AC ·CB =√ab , 即线段DC 的长度是a,b 的几何平均数.15.已知a,b 都是正数,求证:21a +1b ≤√ab ≤a+b 2≤√a 2+b 22. 15.证明 ∵1a +1b ≥2√1ab ,∴11a +1b≤2√1ab , 即21a +1b ≤√ab (当且仅当a=b 时“=”成立).又∵(a+b 2)2=a 2+2ab+b 24≤a 2+a 2+b 2+b 24=a 2+b 22(当且仅当a=b 时“=”成立), ∴a+b 2≤√a 2+b 22.又∵a+b 2≥√ab ,∴21a +1b ≤√ab ≤a+b 2≤√a 2+b 22(当且仅当a=b 时取“=”).16.(2019山东泰安第四中学高一月考)我们学习了二元基本不等式:设a>0,b>0,a+b 2≥√ab ,当且仅当a=b 时,等号成立.利用基本不等式可以证明不等式,也可以利用“和定积最大,积定和最小”求最值.(1)对于三元基本不等式请猜想:设a>0,b>0,c>0,a+b+c 3≥ ,当且仅当a=b=c 时,等号成立(把横线上的内容补全);(2)设a>0,b>0,c>0,利用(1)中猜想的三元基本不等式证明:(a 2+b 2+c 2)(a+b+c)≥9abc;(3)设a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,利用(1)中猜想的三元基本不等式求(1-a)(1-b)(1-c)的最大值.16.解析 (1)通过类比,可以得到当a>0,b>0,c>0时,a+b+c 3≥√abc 3,当且仅当a=b=c 时,等号成立.(2)证明:∵a>0,b>0,c>0,由(1)可得a 2+b 2+c 23≥√a 2b 2c 23,∴a 2+b 2+c 23·a+b+c 3≥√a 2b 2c 23·√abc 3=√a 3b 3c 33=abc, ∴(a 2+b 2+c 2)(a+b+c)≥9abc.(3)由(1)可得,(a+b+c 3)3≥abc,由题可知a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,∴1-a=b+c>0,1-b=a+c>0,1-c=a+b>0,∴(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b)≤[(b+c )+(a+c )+(a+b )3]3=23(a+b+c)3=(23)3=827,当且仅当b+c=a+c=a+b,即a=b=c 时取等号,∴(1-a)(1-b)(1-c)的最大值为827.。