第七章-图的基本概念答案

第七章 图的基本概念
一、 单项选择题
1. 设V ＝{a,b,c,d},与V 能构成强连通图的边集E ＝(A ) (A) {<a,b>,<a,c>,<d,a>,<b,d>,<c,d>} (B) {<a,d>,<b,a>,<b,c>,<b,d>,<d,c>}
(C) {<a,c>,<b,a>,<b,c>,<d,a>,<d,c>} (D) {<a,d>,<b,a>,<b,d>,<c,d>,<d,c>} 2. n 阶无向完全图K n 中的边数为（ A ）
(A)
2)1(-n n (B) 2
)
1(+n n (C) n (D)n(n+1) 3. 给定无向图G 图5－1所示，下面给出的顶点集子集中，不是点割集的为（A ） (A) {b,d} (B) {d} (C) {a,c} (D) {g,e} 4. 下列数组中，不能构成无向图的度数列的数组是( B ) (A) (1,1,1,2,3) (B) (1,2,3,4,5) (C) (2,2,2,2,2) (D) (1,3,3,3)
5. 图 中 从v 1到v 3长度为3 的通路有（
4）条。

A ． 0；
B ． 1；
C ． 2；
D ． 3。

v 1到v 3长度为3 的通路: V 1V 3V 1V 3 ; V 1V 1V 1V 3 ; V 1V 4V 1V 3 ; V 1V 1V 4V 3 ; 6．给定无向图>=<E V G ,，如下图所示，下面哪个边集不是其边割集（ B ）。

A 、},,,{4341><><v v v v ；
B 、},,,{6451><><v v v v ；
C 、
},,,{8474><><v v v v ；D 、
},,,{3221><><v v v v。

7.有向图D=<V , E>
，则41v v 到长度为2的通路有（ B ）条。

A 、0；
B 、1；
C 、2；
D 、3 。

二、 填空题
1.设有向图D ＝<V ,E>的邻接矩阵为A(D)=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡11
00
10000100
0120
，那么∣E ∣
b f
c e
2. 有16条边，每个顶点都是2度顶点的无向图有 16 个顶点．
3.图G 有21条边,3个4度结点,其余均为3度结点,则G 有__13____个结点. 三、解答题
1. 指出有向图D(如图5－5)中各图是强连通，单侧连通还是弱连通？
强连通图为 (1),(4),(5)；单侧连通图为 (1),(2),(4),(5)
弱连通图为： (1)～(5)
2. 设简单连通无向图G 有12条边，G 中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，
3.无向图G 有12条边,G 中有6个3度结点,其余结点度数均小于3,问G 中至少有多少个结点?为什么?
解 设图G 有x 个结点．除6个3度结点外，其余都小于3度，则小于或等于2度，由握手定理，有2×12≤3×6+2×(x －6)，解得x ≥9．故图G 至少有9个结点． 4．若有n 个人，每个人都恰有三个朋友，则n 必为偶数。

证明：将每个人用结点表示，当两个人是朋友时，则对应两结点连一条边，则得一无向图
>=<E V G ,。

因为每个人恰有三个朋友，所以，)(,3)d e g (V u u
∈∀=，由任意图
奇数度结点一定是偶数个，可知，此图结点数一定是偶数。

5.有n 个药箱，若每两个药箱里有一种相同的药，而每种药恰好在两个药箱中，问共有多少
种药品？
解：用n 个结点表示n 个药箱，当两种药箱放一种相同药时，则对应的两点连一条边，则得
第八章 几种特殊图
一、单项选择题
1. 无向完全图K 4是（ B ）
（A ）欧拉图 （B ）哈密顿图 （C ）树 （D ）非平面图 2. 以下各图中存在哈密顿回路的图是 ( C )
(1) (2) (3) (4) (5)
3. 设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r= ( A )．
(A) e －v ＋2 (B)v ＋e －2 (C)e －v －2 (D) e ＋v ＋2 4. 无向图G 是欧拉图，当且仅当( C )
(A) G 中所有结点的度数全为偶数 (B) G 中所有结点的度数全为奇数
(C) G 连通且所有结点的度数全为偶数 (D) G 连通且所有结点的度数全为奇数 5、下图中既不是Eular 图，也不是Hamilton 图的图是（ B ）
6.在Peterson 图中，至少填加（ D ）条边才
能构成Euler 图。

A 、1；
B 、2；
C 、4；
D 、5 。

7.下列图中是欧拉图的有( A )。

K n 是欧拉图．K n 存在欧拉
3. 无向连通图G
4.在平面图>=<E V G ,中,则
∑=r
i i
r 1
)deg(,r)是图G 的面．
5. 设图>=<E V G ,是简单图，若图中每对结点的度数之和 ， 则G 一定是哈密顿图．
图 的对偶图为 。

7.
三、计算题
1. 在有6个结点，12条边的简单平面连通图中，每个面有几条边围成？为什么？ 6个 解答：图G 中有5个有限面，一个无限面，共6个面．
2. 在图6－4所示的两个图中各有几个面，写出每个面的边界和次数．
解图(a)有5个面：r 0，r 1，r 2，r 3，r 3．r 0的边界：acbda ；r 1的边界：abca ；r 2的边界：bdeb ；r 3的边界：aeda ；r 4的边界：abca ．面次数：)deg(0r ＝4，)deg(1r ＝3，)deg(2r ＝3，)deg(3r ＝3，)deg(4r ＝3．
图(b)有2个面：r 0，r 1．r 0的边界：abcdefcba ；r 1的边界：cdefgfc ．面次数：)deg(0r ＝8，
)deg(1r ＝6．
3 试判断图6－6所示的四个图是否为可平面图．
解在图(a)中，只要改动三条边，就可以得到平面图，如6－7(a)所示．
在图(b)中，只要改动三条边，就可以得到平面图，如6－7(b)所示． 在图(c)中，只要改动三条边，就可以得到平面图，如6－7(c)所示．
故图6－5中(a),(b),(c)都是可平面图．图6－5(d)是无向完全图K 5，它是非平面图．
4．给定三个图如图6－7所示，试判断它们是否 为欧拉图、哈密顿图、或平面图？并说明理由．
d
g
(a ) (c ) 图6－6
c d d (a ) (b ) (d ) 图6－7
图G 1 图G 2 图G 3
图6－7
解 图G 1是欧拉图，因为每个结点度数均为偶数。

图G 2是哈密顿图，存在哈密顿回路，如cdgfebac ．(不惟一)。

图G 3是平面图．可以改画成可平面图，如图6－7．
5. 说明图G(如图6－8所示)不是哈密顿图．
解 图G 中有一个割点，因而图G 不可能是哈密顿图． 取V 1=｛d ｝，则G －V 1的连通分支数W(G －V 1)＝2>∣V 1∣=1。

根据哈密顿图的必要条件可知图G 不是哈密顿图． 6．某次会议有20人参加，其中每人至少有10个朋友，这20人拟围一桌入席，用图论知识说明是否可能每人邻做的都是朋友？（理由）
解：可能。

将人用结点表示，当两人是朋友时相应结点间连一条边，则得一个无向图
>=<E V G ,，20人围一桌，使每人邻做都是朋友，即要找一个过每个点一次且仅
一次得回路。

由题已知，10)deg(,10)deg(,
,≥≥∈∀v u V v u ，
20)deg()deg(≥+∴v u ，由判定定理，G 中存在一条汉密尔顿回路。

即所谈情况可能。

7.某年级共有9门选修课程，期末考试前必须提前将这9门课程考完，每人每天只在下午考一门课，若以课程表示结点，有一人同时选两门课程，则这两点间有边（其图如右），问至少需几天？ 解：)(G χ即为最少考试天数。

用
Welch-Powell
方法对
G
着色：
685421739v v v v v v v v v
第一种颜色的点 6419v v v v ，剩余点85273v v v v v 第二种颜色的点 573v v v ，剩余点82v v 第三种颜色的点 82v v 所以)(G χ≤3
任932v v v 构成一圈，所以)(G χ≥3 故)(G χ=3
c 图6－8
所以三天下午即可考完全部九门课程。

第9章 树
一、单项选择题
1. 以下命题为真的是( D )
(A) 无向完全图都是欧拉图 (B) 有n 个结点n －1条边的无向图都是树 (B) 无向完全图都是平面图 (D) 树的每条边都是割边 2. 有4个结点的非同构的无向树有 ( A )个．
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
3. 设G 是有6个结点的无向完全图，从G 中删去( C )条边，则得到树． (A) 6 (B) 9 (C) 10 (D) 15
4. 若连通图G=<V ,E>,其中V =n ，E =m 则要删去G 中( C )条边,才能确定G 的一棵生成树.
A. n －m －1
B. n －m+1
C. m －n+1
D. m －n －1.
5.在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（A ）个4度结点。

A ．1；
B ．2；
C ．3；
D ．4 。

6．设无向图>=<E V G ,是连通的且m E n V ==, 若（ B ）则G 是树。

A 、M=N+1 ； B 、n=m+1 ； C 、63-≤n m ； D 、63-≤m n 。

二、计算题
1. (1)在1棵有2个2度结点，4个3度结点，其余为树叶的无向图中，应该有几片树叶？ (2) 画出两棵不同构的满足条件(1)的结点度数的无向树T 1，T 2．
解. (1)设有k 片树叶，则该树有k+2+4个结点，根据树的等价定义，有k+5条边．由握手定理，2×(k+5)=k+2×2+4×3＝k+16,故k=6．即有6片树叶． (2) 非同构的树如图6－8．
2.一棵树T 最大度为4，且有两个2度结点,一个3度结点,三个4度结点, 问T 有几个1度结点．
解 设T 有x 个1度结点．T 有结点数是2+1+3+x=6+x 个，边数m=6+x －1＝5+x ，用握手定理2×2+×1×3+3×4+x ＝2m=10+2x ．解得x=9．
3. 试画所有不同构的四阶无向树(四个结点)．
5．一棵树T 中，有3个2度结点，一个3度结点，其余结点都是树叶。

（1）T 中有几个结点；
(1)
（2）画出具有上述度数的所有非同构的无向图
解：（1）设该树树叶数为t ，则树T 的结点数为t ++13，又边数 = 结点数 － 1，
∑=倍边数2)deg(i
v ，∴ )113(213123-++=⨯+⨯+⨯t t
即t t 269+=+ ，∵ 3=t ，∴ T 中7个结点。

（2）具有3个两度结点，一个3度结点，3片树叶的树（非同构的）共有以下三种：
四、树的应用
1.右图给出的赋权图表示五个城市54321v v v v v ，，，，
及对应两城镇间公路的长度。

试给出一个最优化的设计 方案使得各城市间能够有公路连通。

解 此问题的最优设计方案即要求该图的最小生成树， 由破圈法或避圈法得最小生成树为：
其权数为1+1+3+4 = 9 。

2.用 Huffman 算法求出带权为2，3，5，7，8，9的最优二叉树T ，并
求W （T ）。

若传递a ，b ， c ， d ，e ， f 的频率分别为2%， 3% ，5 %， 7% ，8% ，9%求传输它的最佳前缀码。

解：(1)
83282729354342)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=T W
（1） 用0000传输a 、0001传输b 、001传输c 、01传输f 、10传输d 、11传输e 传输它们的最优前缀码为{0000，0001，001，01，10，11} 。

3.如下图所示的赋权图表示某七个城市721,,,v v v 及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。

解： 用库斯克（Kruskal ）算法求产生的最优树。

算法为：
6
1615454434337337272277117123
),(17),(3),(9),(4),(1),(v v e v v w v v e v v w v v e v v w v v e v v w v v e v v w v v e v v w ============选选选选选选
结果如图：
树权W(T)=23+1+4+9+3+17=57（万元）即为总造价
5.假设英文字母，a ，e ，h ，n ，p ，r ，w ，y 出现的频率分别为12%，8%，15%，7%，6%，
10%，5%，10%，求传输它们的最佳前缀码，并给出happy new year的编码信息。

解根据权数构造最优二叉树：
传输它们的最佳前缀码如上图所示，happy new year的编码信息为：
10 011 0101 0101 001 110 111 0100 001 111 011 000
附：最优二叉树求解过程如下：。