浅谈竞赛中泰勒公式的应用技巧
泰勒公式使用方法
泰勒公式使用方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊泰勒公式的使用方法，这可真是个神奇的玩意儿啊！
你想想看，泰勒公式就像是一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门呢！它能把一个复杂的函数近似地表示成一系列简单的多项式之和。
比如说，当你面对一个很难直接计算的函数时，泰勒公式就能派上大用场啦！就好像你要爬上一座很高的山，直接爬可能很难，但如果有了合适的路径和工具，那就变得容易多了。
那怎么用这把神奇的钥匙呢？首先呢，你得确定好要展开的函数，然后找到它在某个点的泰勒展开式。
这就像是给这个函数穿上了一件特别定制的衣服，让它变得更好理解和处理。
咱举个例子哈，比如那个 sinx，它的泰勒展开式多好用啊！在一些小范围内，用它的泰勒展开式来近似计算，那可太方便了。
这不就像是你要估算一个东西的长度，用一个大概的数值就能解决问题，而不用精确到小数点后好多好多位。
还有啊，在求极限的时候，泰勒公式也能大显身手呢！它能把那些复杂的式子化简，让你一眼就能看出答案来。
这感觉就像在一团乱麻中找到了线头，轻轻一拉，整个问题就迎刃而解了。
再想想，如果遇到一些函数的导数或者积分不好求，泰勒公式也能帮上忙啊！它能让这些难题变得不再那么可怕，就像给你配备了一副超级厉害的眼镜，让你能看清那些模糊不清的东西。
当然啦，要用好泰勒公式也不是那么容易的事儿，你得熟悉各种常见函数的泰勒展开式，就像你得熟悉自己家里的每一个角落一样。
而且还得会灵活运用，不能生搬硬套。
总之呢，泰勒公式就是数学世界里的一个宝贝，只要你掌握了它的使用方法，就能在数学的海洋里畅游无阻啦！它能让那些看似不可能的问题变得可能，让你的数学之旅变得更加精彩有趣！怎么样，是不是觉得泰勒公式超级厉害呀？赶紧去试试吧！。
开题报告浅谈泰勒公式及其应用5页word文档
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。论文（设计）题目
浅谈泰勒公式及其应用
浅谈泰勒公式及其应用摘要：大学泰勒公式在数学分析中是极其重要的公式，并且在经济领域中也占有一席之地。
泰勒公式是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，在近似计算上有着独特的优势，在微积分的各个方面有着重要的应用。
本文主要对泰勒公式在求极限、估计误差、证明求解积分、经济学计算等几个方面的应用给予举例说明进行研究。
关键词：泰勒公式 求极限 不等式 行列式泰勒公式的应用1、利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具。
利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。
当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。
例1 求2240cos limx x x e x -→-分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单。
解： 因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x eo -=+-+-+-又244cos 1()2!4!x x x o x =-++所以 24442111cos ()()()2484x x ex o x o x --=-+-441()12x o x =-+ 故2442441()cos 112limlim 12x x x x o x x e x x -→∞→∞-+-==- 例2 求极限2240cos limsin x x x ex-→-解： 因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，22x e -展开到x 的4次幂即可。
24411cos 1()2!4!x x x o x =-++ 22224211()()22!2x x x eo x -=-+-+故 2240cos limsin x x x e x-→-444011()()4!8lim x x o x x →-+=112=-带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单。
taylor公式及其应用
taylor公式及其应用Taylor公式是数学中的一个重要理论，它是将某个函数在某点附近展开成无限项的多项式，并且可以用于各个数学领域中的求解问题。
下面我们将对Taylor公式及其应用进行详细介绍。
一、Taylor公式的定义Taylor公式是将一个函数在某一点附近展开成一个无限项的多项式的表达式。
它的一般形式为：f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n其中f(x)表示原函数，x表示自变量的值，a表示展开中心，f^{(n)}(a)表示在a点处的n阶导数，n!表示n的阶乘，(x-a)^n表示自变量与展开中心的差的n次方。
二、Taylor公式的应用1. 函数求导很多函数的求导运算可以通过Taylor公式来解决。
比如f(x)的导函数为f'(x)，那么可以通过Taylor公式展开f(x)，然后求导得到f'(x)的表达式。
2. 函数逼近Taylor公式可以用于对函数进行逼近，在某一点附近用一条直线或曲线去逼近函数的值。
这个近似值可以用来进行数值计算，比如在数值方法中应用广泛。
3. 函数的错误估计Taylor公式中每一项的误差都会随着项数的增加而逐渐减小。
因此，可以通过Taylor公式来估计某个函数的误差范围，从而优化数值计算的结果。
4. 求函数值通过Taylor公式展开，可以用少量的计算得到特定点的函数值。
这在某些数值计算领域中非常有用，比如计算机图形学中的三维曲面绘制。
5. 解微积分方程在微积分领域中，有很多微积分方程难以用解析法求解。
而Taylor公式可以通过展开式子，求取高阶导数来求解微积分方程。
以上就是Taylor公式及其应用的详细介绍。
在数学领域中，Taylor公式的应用非常广泛，具有较高的实用性和理论性。
由两道数学竞赛题谈泰勒公式及其应用_张现强
教育教学论坛 ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ ＴＥＡＣＨＩＮＧ ＦＯＲＵＭ
Ｆｅｂ．２０１６ ＮＯ．５
在上式中分别取ｘ＝１和ｘ＝－１，再由ｆ ′（０）＝０得
四、应用举例
１＝（ｆ １）＝（ｆ ０）＋
１ ２！
ｆ
″（０）＋
１ ３！
ｆ
苁（ξ１），０＜ξ１＜１
关于导数结论的证明的题目一般分为关于存在 性和关于任意性的证明两类。由上面两道竞赛题来
间）
（２）
（１）式称为函数（ｆ ｘ）在ｘ＝ｘ０处的泰勒公式或泰勒
展开式，（２）式称为（ｆ ｘ）在ｘ＝ｘ０处的拉格朗日余项。也
ｎ
可记Ｒ（ｎ ｘ）＝ｏ（ｘ－ｘ０），称之为（ｆ ｘ）在ｘ０处的皮阿诺余项。
特别地，在（１）式中令ｘ０＝０则得到
（ｎ）
（ｆ ｘ）＝（ｆ ０）＋ｆ ′（０）ｘ＋ ｆ ″（０）ｘ２＋…＋ ｆ ２！
②
２
看，使用泰勒公式时关键是确定出对哪个函数在哪一
点进行泰勒展开，展开到几阶导数。一般来讲，题目中
有若有关于某点导数的信息，或者哪个点的导数值比
较好确定，就将函数在这一点展开，若有给定点的函
数值，就将这点代入展开式。下面我们再通过两道例
题进行分析。
例３ 设（ｆ ｘ）在［０，１］上二阶可导，且（ｆ ０）＝（ｆ １）＝０，
０＝（ｆ １）＝－１＋ ｆ ″（２ξ！ ２）（１－ｘ０）（２ ξ２介于ｘ０与１之间）
所以，ｆ ″（ξ１）＝
２
２
，ｆ ″（ξ２）＝
２
２
ｘ０
（１－ｘ０）
又因为ｘ０∈（０，１），所以
奂 奂 ｆ ″（η）＝ｍａｘ
２， ２
２
２
≥
２
＝８
ｘ０ （１－ｘ０）
浅谈泰勒公式的应用_刘云
196浅谈泰勒公式的应用刘云 王阳 崔春红（河北农业大学中兽医学院 河北定州 073000）[摘 要]泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用，它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。
[关键词]泰勒公式；高阶导数；皮亚诺型余项；拉格朗日型余项泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
下面举例阐述泰勒公式几种常见的应用技巧。
一、利用泰勒公式求极限为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理分式的极限，就能简捷地求出。
例：求极限 422cos lim xex x x −→−。
（！） 分析： 此为00型极限，若用罗比塔法则很麻烦。
这时可将xcos 和22x e−分别用其泰勒展开式代替，则可简化此比式。
解：由()244cos 12!4!x x x o x =−++()4222222212x o x x e x +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=−得：=−−22cos x ex ()()44442121!221!41x o x x o x +−=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅−，于是()121121lim cos lim44002−=+−=−→−→xx o x x ex x xx 。
用泰勒公式计算极限的实质是利用等价无穷小的替代来计算极限。
我们知道，当0→x 时，x x ~sin ，x tgx ~等，这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开至一次项，有些问题用泰勒公式和我们已经熟知的等价无穷小法相结合，问题又能进一步简化。
例：求极限 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−→2201sin 1lim x x x 解：2222220011sin lim lim sin sin x x x x x x x x →→−⎛⎞−=⎜⎟⋅⎝⎠（*） 下面用泰勒公式法与等价无穷小相结合来考虑。
泰勒展开与泰勒公式的原理及应用
泰勒展开与泰勒公式的原理及应用在数学领域中，泰勒展开和泰勒公式是非常重要的概念。
它们不仅仅是数学的基本理论，还有广泛的应用，涉及到数学、物理、工程等各个领域。
本文将对泰勒展开和泰勒公式的原理和应用进行详细的讲解。
一、泰勒展开的原理泰勒展开是将一个函数在某点进行展开，使得该函数在该点处的函数值等于其展开式中前几项的和。
具体来说，泰勒展开的原理是利用函数的导数来逼近函数的值。
泰勒展开公式如下：$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+…$其中，$f(x)$表示要展开的函数，$a$表示展开点，$f'(a)$表示$f(x)$在$a$点的一阶导数，$f''(a)$表示二阶导数，$f'''(a)$表示三阶导数，$…$表示高阶导数。
展开式总共有无限项，即展开式中包含了函数的所有导数。
如果只取展开式中的前$n$项，则可以得到如下式子：$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$这就是泰勒展开的$n$阶近似公式。
二、泰勒公式的原理泰勒公式是将一个函数在某个区间内进行展开，使得该函数在这个区间内的函数值可以用展开式中的前几项来近似表示。
具体来说，泰勒公式的原理是通过多项式逼近原函数。
泰勒公式与泰勒展开的区别在于，泰勒公式是在一个区间内进行展开，而泰勒展开一般是在某一点进行展开。
泰勒公式可以表示为：$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)$其中，$f(x)$表示要展开的函数，$n$表示要展开的级数，$x_0$表示展开的中心点，$R_n(x)$表示余项，表示展开式与原函数之间的误差。
泰勒公式的应用与技巧
泰勒公式的应用与技巧
泰勒公式又称为差分量化展开式，它具有极强的多项式和多元函数近似扩展能力，能够精确地表示一个函数曲线的关系，在工程领域应用广泛。
以下是泰勒公式的应用与技巧：
1. 应用
(1) 在离散系统分析中，泰勒公式可以提供系统动态响应曲线以及各自对输入信号的响应，从而降低系统设计的复杂性。
(2) 在数值分析中，泰勒公式可以用来估算函数值及其发散性，进而可以估算函数的零点及其根的估计精度。
(3) 在经济学领域，泰勒公式用来分析一系列宏观经济指标的变化对经济效果的影响，以此决定政策制定的深度和维度。
(4) 在电子工程领域，泰勒公式可以用来表征电路作用功能，求解电路实现特定功能的最优解，从而提高电路设计的效率。
2. 技巧
(1) 避免系数繁多带来的计算量大，可以将展开项作简化处理，以消除多余系数，且减少复杂度。
(2) 对于数据情况复杂的情况，可以采用交叉验证的方法，令数据集分割成多组，轮流用作训练集和测试集进行模型训练和验证，从而可以更准确地识别数据趋势。
(3) 充分利用光滑点和区间插值减少计算量，使用雅可比条件数字求
导法应对多变量多元函数及其导数求解。
(4) 针对大量样本，可以采用分类、线性回归、判别分析等机器学习模型，来更精确地分析泰勒公式的表达结果。
例谈高中物理竞赛中Maclaurin公式的一阶和二阶近似
例谈高中物理竞赛中Maclaurin公式的一阶和二阶近似作者：张启迪来源：《物理教学探讨》2015年第10期摘要：Maclaurin公式是Taylor公式的特殊形式，在中学物理竞赛和自主招生的解题中有着重要的应用。
然而，Maclaurin公式在进行近似计算时，有时取一阶近似，有时取二阶近似。
本文以两道竞赛题为例，浅谈在应用该公式时，如何对阶数进行取舍。
关键词：Maclaurin公式；一阶近似；二阶近似；物理情景；物理意义中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2015）10-0028-21 引言Taylor公式和Maclaurin公式是大学物理学习过程中非常常用的两个公式，而Maclaurin公式是泰勒公式的特殊情况，即在满足Taylor定理的前提下，当泰勒公式中x0=0时，公式成为f（x）=f（0）+f'（0）x+x2+…+xn+xn+1，（0在一定条件下，所有的函数都可以用Maclaurin公式展开，由公式可以看出，展开后分别为x的一次方到n+1次方。
在物理学中，很多时候需要近似计算，当x→0时，我们可以略去高阶无穷小量，从而使函数关系变得简单，易于找到其中的物理规律。
下面我们通过两道竞赛题来看看如何对阶数进行取舍。
2 Maclaurin公式一阶近似举例例1 新发现一行星，其星球半径为6400 km，且由通常的水形成的海洋覆盖着它的所有表面，海洋的深度为10 Km。
学者们对该行星进行探查时发现，当把试验用的样品进入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变。
试求此行星表面处的自由落体加速度。
已知万有引力常数G=6.67×10-11 N·m2/kg2。
我们知道，质量均匀分布的球壳对中间任意一点的万有引力合力为零，对样品真正有引力作用的应当是内部水球壳和星球。
随着样品在水中不断下降，内部水球壳的质量显然在减小，那么样品受到的万有引力一定在减弱，严格来说，样品是不可能以恒定的加速度下落的。
浅谈泰勒公式的应用
浅谈泰勒公式的应用作者：张培雨
来源：《读与写·教育教学版》2020年第01期
摘; 要：首先我们对泰勒中值定理，泰勒公式的几种形式做了简单的介绍。
关于泰勒公式的应用是多方面的，本文主要阐述泰勒公式在极限运算、级数的敛散性判断以及不等式证明、近似计算中的简单应用。
关键词：泰勒中值定理; 泰勒公式
中图分类号：O151.21; ; ; ; ;文献标识码：A; ; ; ; ; ; 文章编号：1672-1578（2020）01-0031-02
3; ;结语
泰勒公式是高等数学中一个非常重要的工具，通过本文可以看出它在极限运算、级数的敛散性判断、不等式的证明、近似计算等方面都有着重要的应用。
因此，掌握和理解泰勒公式有一定的重要意义，同时对高等数学的学习也有一定的帮助。
参考文献：
[1] 费為银，王传玉，项立群等，高等数学[M].中国科学技术大学出版社，2018.
[2] 同济大学数学系，高等数学[M].高等教育出版社，2014.。
2014年高等数学竞赛讲义3 第三部分 中值定理与泰勒公式
f(b) 0 ， 证 明 （ 1 ） 存 在 (a,b) ， 使 f ( ) 0 成 立 。（ 2 ） 存 在 1,2 (a,b) 使 得
f (1) 0, f (2 ) 0 。
例 7 设函数 f (x) 在[0,1] 上非负连续。（1）证明 存在点 x0 (0,1) ，使得在[0, x0 ] 上以 f (x0 ) 为高
x
x
一的一个 (x) (0,1) ，使得 f (t)dt f (t)dt x[ f ( (x)x) f ( (x)x)] 。（2）求 lim (x) 。
0
0
x0
3. 利用中值定理、泰勒公式讨论函数导数的性质
例 1 设 f (x) 在 [0,) 上二次连续可微。如果 lim f (x) 存在，且 f (x) 在 [0,) 上有界。证明 x
得 f ( ) 1；（2）证明存在 (1,1)使得 f () f () 1 成立。
1
练习 设 f (x) 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，f (1) k k xe1x f (x)dx, (k 1) ，证明：存在 (0,1) 0
15
使得 f ( ) (1 1) f ( ) 。
例 4 设 f (x) c[a,b] ，在 (a,b) 内具有连续导数。试证存在 c (a,b) 使得
f (b) 2 f ( a b) f (a) (b a)2 f (c)
2
4
例 5 设 pn (x) a0 xn a1xn1 an (a0 0) 为实系数多项式且其根都是实数。试证明导函数
第三部分 中值定理与泰勒公式
§1 基本内容
定理 1 （费尔马定理）若函数 f (x) 满足条件 ：
2024年高等数学竞赛讲义3第三部分中值定理与泰勒公式
第一节中值定理中值定理是微积分中的重要定理，它揭示了函数在一些区间上的平均变化率与其在该区间上一些点的瞬时变化率之间的关系。
中值定理一般有以下几种形式：1.罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。
罗尔中值定理的几何意义是，如果一条曲线在两个端点处的斜率相等，那么在这之间必然存在一点，其切线的斜率为0。
2.拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
拉格朗日中值定理的几何意义是，如果一条曲线在两个端点处的斜率相差不大于整个区间的平均变化率，那么在这之间必然存在一点，其切线的斜率等于整个区间的平均变化率。
3.柯西中值定理：若函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且g'(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点c，使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)=[f'(c)/g'(c)]。
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，它使得两个函数在一些点上的变化率可以完全不一样。
4.罗尔中值定理（三角函数形式）：若函数f(x)在(0,π/2)上连续，在(0,π/2)内可导，并且f(0)=f(π/2)=0，则在(0,π/2)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。
这个定理的几何意义是，如果一条曲线在两个端点处的斜率都为0，则在这之间必然存在一个点，其切线的斜率也为0。
中值定理在微积分中具有非常广泛的应用，它可以用来证明一些重要的定理，例如费马定理和柯西-施瓦茨不等式等。
第二节泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要工具，它通过将函数在一些点处展开成无限项的幂级数，来近似表示函数在附近的取值。
一般来说，对于任意可导的函数f(x)，在一些点a处，可以将f(x)在a的一些邻域内展开成泰勒级数的形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数，f''(a)表示二阶导数，以此类推。
浅谈泰勒公式的应用
浅谈泰勒公式的应用泰勒公式是数学中的一个重要工具，它可以将一个光滑函数在一些点的附近用无穷阶的多项式来近似表示。
泰勒公式的应用非常广泛，涉及到物理、工程、金融等多个领域。
以下将从几个方面来浅谈泰勒公式的应用。
一、函数近似表示泰勒公式可以将一个函数在一些点附近用多项式来近似表示。
这对于研究函数的性质和行为非常有用。
比如，在数值计算中，我们常常需要对函数进行逼近计算，而泰勒公式可以提供一个简单而准确的方法。
此外，在物理学中，泰勒公式也常用于描述物理量的变化规律，比如速度、加速度等。
二、数值计算在数值计算中，泰勒公式可以用于求解函数的近似值。
通过选择适当的展开点和多项式次数，可以得到满足精度要求的近似解。
泰勒公式的应用在数值积分、数值微分和数值方程求解等方面都有重要作用。
比如，在求根算法中，泰勒公式可以用于构造迭代格式，从而提高求解效率。
三、物理建模泰勒公式在物理建模中也有广泛的应用。
物理现象往往可以用函数来描述，而泰勒公式可以将函数在其中一点附近展开成多项式，从而方便对物理现象进行研究。
比如，在力学中，我们可以利用泰勒公式来研究物体的运动规律，推导出牛顿第二定律等重要定理。
此外，在电磁学中，泰勒公式也可以用于描述电场和磁场的变化规律。
四、金融工程泰勒公式在金融工程中也有一定的应用。
金融市场中的价格变动往往是连续的，而泰勒公式可以将价格变动用多项式来逼近。
这对于金融衍生品的定价和风险管理非常重要。
比如，在期权定价中，可以利用泰勒公式将期权价格展开成多项式，从而方便计算和分析。
此外，在风险管理中，泰勒公式也可以用于计算金融产品的敏感性，帮助投资者进行风险控制。
总之，泰勒公式是数学中的一个重要工具，它的应用涵盖了各个领域。
无论是数值计算、物理建模还是金融工程，泰勒公式都发挥着重要的作用。
通过泰勒公式，我们可以对函数进行近似表示，进行数值计算，描述物理现象和分析金融风险。
因此，熟练掌握泰勒公式的应用是非常重要的。
浅谈泰勒公式及其应用
［1］潘 晟.掌 握 现 代 网 球 底 线 击 球 技 术 的 教 法 探 索[J].苏 州 大 学 学 报 ：自 然 科 学, 2001,17(4). ［2］ 长 号 . 单 手 正 拍 [J]. 网 球 ,2005(06). ［3］ 张 侠 . 微 观 “ 全 能 王 ” 费 德 勒 [J]. 网 球 天 地 ,2006(12). ［4］ 陶 志 翔 . 网 球 运 动 教 程 [M]. 北 京 :北 京 体 育 大 学 出 版 社 ,2007.
）
＜2 8！
（1
8
）=
1
－6
＜10
2 5160960
于是 姨 e
=1＋
1 2
＋
1 2！
（1
2
） ＋…＋
1
2
7！
（1
7
） ≈1.648721
2
2.2 在求极限方面的应用
对于待定型的极限问题，一般采用洛必达法则来求。 但是对于一
些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛必达法则的情况下，泰勒公式
往往是比洛必达法则更为有效的求极限工具。
阶导数。 设 x0 ∈［a，b］为一定点，则对于任意 x∈［a，b］，成立：
（n）
f（x）＝f（x0
）＋f′（x0
）（x－x0
）＋
f″（x0 2！
）
2
（x－x0 ） ＋…＋
f
（x0 ） n！
n
（x－x0 ） ＋rn
（x） （2）
（n＋1）
其中余项
rn
（x ） 满 足
rn
（x）=
f （ξ） （n＋1）！
随着运动技能的巩固和发展， 暂时联系达到非常巩固的程度以 后，动作即可出现自动化现象。 所谓自动化，就是练习某一套技术动作 时，可以在无意识的条件下完成。 其特征是对整个动作或者是对动作 的某些环节，暂时变为无意识的。
泰勒展开式及相关不等式放缩在导数中的应用(高阶拓展、竞赛适用)(学生版) 25年高考数学一轮复习学案
第13讲 泰勒展开式及相关不等式放缩在导数中的应用（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题不定，难度较大，分值为5分【备考策略】1能理解泰勒公式的本质2能运用泰勒公式求解【命题预测】泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终．泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ，去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数，所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓．泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了．但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用．运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想．在高中阶段，会基本运用即可知识讲解1．（2023·辽宁·二模）（多选）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式234e 12!3!4!!nxx x x x x n =+++++++L L()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n -+=-+-++-+-L L由此可以判断下列各式正确的是（ ）．A ．i e cos isin x x x =+（i 是虚数单位）B ．i e x i =-（i 是虚数单位）C ．()()2ln 221ln 202x x x x ³++³D ．()()24cos 10,1224x x x x £-+Î2．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在高等数学中，我们将()y f x =在0x x =处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n ¢¢=+¢-+-+×××+-+×××（其中()()n f x 表示()f x 的n 次导数），以上公式我们称为函数()f x 在0x x =处的泰勒展开式.(1)分别求e x ，sin x ，cos x 在0x =处的泰勒展开式；(2)若上述泰勒展开式中的x 可以推广至复数域，试证明：i e 10p +=.（其中i 为虚数单位）；(3)若30,2x æö"Îç÷èø，sin e 1a x x >+恒成立，求a 的范围.（参考数据5ln 0.92»）1．（2023·辽宁丹东·一模）计算器计算e x ，ln x ，sin x ，cos x 等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(),a b 内可以多次进行求导数运算，则当(),x a b Î，且0x x ¹时，有()()()()()()()()()02300000000''''''0!1!2!3!f x f x f x f x f x x x x x x x x x =-+-+-+-+L ．其中()'f x 是()f x 的导数，()''f x 是()'f x 的导数，()'''f x 是()''f x 的导数……．取00x =，则sin x 的“泰勒展开式”中第三个非零项为 ，sin1精确到0.01的近似值为 ．2．（23-24高二下·山西长治·期末）对于函数()f x ，规定()()f x f x ¢=¢éùëû，()()()2f x f x ¢¢éù=ëû，…，()()()()1n n f x f x ¢-éù=ëû，()()n f x 叫做函数()f x 的n 阶导数．若函数()f x 在包含0x 的某个闭区间[],a b 上具有n 阶导数，且在开区间(),a b 上具有()1n +阶导数，则对闭区间[],a b 上任意一点x ，()()()()000f x f x f x x x ¢=+-+()()()()()()()()2200002!!n nn f x f x x x x x R x n -++-+L ，该公式称为函数()f x 在0x x =处的n 阶泰勒展开式，()()n R x 是此泰勒展开式的n 阶余项．已知函数()()ln 1f x x =+．(1)写出函数()f x 在1x =处的3阶泰勒展开式（()()n R x 用()()3R x 表示即可）；(2)设函数()f x 在0x =处的3阶余项为()g x ，求证：对任意的()1,1x Î-，()0g x £；(3)求证：()27*222311111111e N 2222nn æöæöæöæö++++<Îç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL ．1．（2022年新Ⅰ卷高考真题第7题）设0.10.1e a =，19b =，ln 0.9c =-则（ ）A ．cb a <<B ．a bc <<C ．b a c <<D ．bc a <<2．（2022·全国·统考高考真题）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ）A ．c b a>>B ．b a c>>C ．a b c>>D ．a c b>>3．（2021·全国·统考高考真题）设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =-．则（ ）A ．a b c<<B ．b<c<aC ．b a c<<D ．c<a<b1．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知134e 3a =，2e eb =，则（ ）A ．2a b <<B ．2a b <<C ．2a b <<D ．2b a <<2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设ln 2a =，b =c =，则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．a b c<<3．（2024·全国·模拟预测）若log 4a =，14log 7b =，12log 6c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a>>D ．a c b>>4．（2023高三·全国·专题练习）已知453ln 4a =+，15b =-，43ln 54c =+，则（ ）A ．c a b>>B ．a b c>>C ．a c b>>D ．c b a>>5．（2024·陕西商洛·模拟预测）设13sin0.2,0.16,ln 22a b c ===，则（ ）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．c b a>>D ．c a b>>1．（2024·辽宁·一模）设123322e 1e 3a b c -==-=-，，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a<<D ．a c b<<2．（2024·辽宁·二模）若0.011.01sin0.01,1ln1.01,e a b c =+=+=，则（ ）A ．b c a >>B ．a c b >>C ．c b a>>D ．c a b>>3．（2024·山西·二模）设202310121011a æö=ç÷èø，202510131012b æö=ç÷èø，则下列关系正确的是（ ）A ．2e a b<<B ．2e b a <<C ．2e a b <<D ．2e b a <<4．（2024·全国·模拟预测）已知 2.012.0111110312,ln ,1001011021001015a b c æöæö=++==+ç÷ç÷èøèø，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．<<b c aD ．<<c a b5．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）若ln 4a =，32b =，33sin tan 44c =+，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．a c b <<D ．c<a<b6．（2023·全国·模拟预测）已知4ln 3a =，83b =，1sin 3c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b a c <<D ．b c a<<7．（2024·全国·模拟预测）已知20222023e a -=，ln2024ln2023b =-，1sin 2023c =，则（ ）A ．c<a<bB ．a c b<<C ．c b a <<D ．b c a<<8．（2024·全国·模拟预测）已知π10e a =，9π1sin 10b =+，61.1c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．c a b >>D ．c b a>>9．（2024·湖南邵阳·一模）设e56a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c<<D ．c<a<b10．（23-24高三上·安徽·期末）已知61log 4=a ，41log 3b =，()1e 1e c =+，则（ ）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．b a c<<D ．a c b<<11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设ln 2a =，b =c =，则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．a b c<<12．（2024·湖南长沙·一模）已知实数,a b 分别满足e 1.02a =，()ln 10.02b +=，且151c =，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b13．（2023高三·全国·专题练习）已知453ln 4a =+，15b =-，43ln 54c =+，则（ ）A ．c a b>>B ．a b c>>C ．a c b>>D ．c b a>>14．（23-24高三下·安徽·阶段练习）设ln1.01a =，1101b =，tan 0.01c =，则（ ）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．b<c<a D ．b a c<<15．（2024·甘肃陇南·一模）若0.10.25,7,e 4a b c ===，则（ ）A ．c b a>>B ．a b c>>C ．c a b>>D ．a c b>>16．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知()616,ln ,log 71ln555a b c ===-，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b>>D ．c a b>>17．（2024·辽宁沈阳·一模）已知πππ3642e ,e ,m n p -===，则（ ）A ．n m p >>B ．m p n >>C ．p n m>>D ．m n p>>1．2．3．4．18．（2024·全国·模拟预测）下列正确结论的个数为（ ）①13sin1010π> ②141sin sin 334< ③16tan 16> ④()tan π3sin 3->A ．1B ．2C ．3D ．419．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知函数()ln(1)f x x x =+-.(1)求()f x 的单调区间；(2)试证明11111ln(1)234n n+++++>+L ，*N n Î.20．（21-22高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)证明：()*1ln2ln3ln4ln (N ,1)34514n n n n n n -+++×××+<Î>+.。
基于全国大学生数学竞赛的理念下泰勒公式的应用
从而- - ? E' "(
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两边取绝对值"得!
式来解决的问题"不同的问题中用带有不同余项的泰勒公 式"为了有效地提升数学解题质量"应当准确辨析所有解 题方法"但泰勒公式不是万能公式"它有它特有的条件"必
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拉格朗日余项的泰勒公式"再适当地放缩来证明"不仅如 此"如果函数E' "( 是高阶导数都存在"且已知各阶导数的 上下界"就用带有拉格朗日余项的泰勒公式证明"还可以
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用类似的方法证明一些复杂函数或抽象函数的不等式# 例 已知 在 3! E'"( %%")&上二阶可导"且
浅谈泰勒公式及其应用
浅谈泰勒公式及其应用…… ……摘 要：泰勒公式是数学分析中重要的公式，它的基本思想是用多项式来逼近一个已知函数，而这个多项式的系数由给定函数的各阶导数确定。
本文主要归纳讨论了带不同余项的泰勒公式之间的关系，并研究泰勒公式在不等式证明、求极限、在积分计算、级数收敛性判断等方面的应用。
关键词：泰勒公式；导数；极限；不等式；敛散性Abstract ：Taylor formula is an important formula in mathematical analysis. Its basic idea is to approximate a given function by using a polynomial whose coefficients are determined by the derivatives of the function. This paper mainly summarizes the relationship of various items of the Taylor formula and discusses its applications in inequality proving, limit calculating, integral computation and the convergence and divergence judgment of series.Key words ：Taylor's formula; derivative; limits; inequality; convergence and divergence在高等数学中，多项式是较为简单的函数，泰勒公式提供了一种用多项式逼近一般函数的一种方法，这就给一些问题的处理带来了很大的方便，例如极限求解、级数的敛散性判别等问题。
如今一些高等数学教材中，在泰勒公式理论处理时有所欠缺及对泰勒公式的应用所用篇幅不足，造成学生特别是想考研的学生在处理一些问题时的困惑和无所适从，本文分析了其不足及弥补方法，并提供了应用泰勒公式解决一些问题的例子，降低了学生学习泰勒公式和利用其解决问题的上手难度。
浅谈泰勒公式及其应用
浅谈泰勒公式及其应用泰勒公式是数学中的一个重要定理，由英国数学家泰勒（Brook Taylor）于18世纪提出。
它通过将一个光滑函数在特定点附近进行多项式级数展开，从而将该函数用无穷级数表示。
泰勒公式及其应用在数学、物理、工程学等领域都有广泛的应用。
泰勒公式的一般形式为：对于任意实数x和可微的函数f(x)，在点a 附近存在一些正整数n，使得函数f在点a处的n阶导数存在。
则函数f 在点a附近可以近似表示为以点a为中心的n阶泰勒展开多项式，即f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中Rn(x)为余项，并且有以下表示方式：Rn(x)=(x-a)^(n+1)f^(n+1)(ξ)/(n+1)!其中ξ位于x和a之间。
泰勒公式的应用十分广泛。
一方面，泰勒公式可以用来近似计算函数的值。
由于泰勒展开多项式是以函数在特定点a的各阶导数为系数，而函数的导数通常是利用数值方法或者近似公式得到的，所以可以通过计算低阶导数的值来近似计算更高阶导数的值，并利用泰勒公式进行函数的近似计算。
这种方法在数值计算、数学极限计算以及工程问题中都有广泛的应用。
另一方面，泰勒公式也可以用来研究函数的性质。
通过泰勒公式，可以将一个复杂的函数用一个简单的多项式来描述，从而帮助我们研究函数在特定点附近的行为。
特别是当n趋近于无穷大时，泰勒公式可以用来研究函数的收敛性、奇点、极值等性质。
泰勒公式的应用可以使我们更好地理解和描述函数的行为。
泰勒公式的一个重要特点是，它可以将任意次可导函数在特定点附近展开成多项式形式，而展开的多项式可以逐项求和，从而将复杂的函数转化为简单的多项式。
不同的函数，通过泰勒公式展开的多项式会有不同的形式，这使得泰勒公式具有广泛的适用性。
总之，泰勒公式是数学中一个重要而广泛应用的工具。
它不仅可以用于函数的近似计算，还可以用来研究函数的性质。
根号1+x^2的泰勒公式
根号1+x^2的泰勒公式在数学的广袤天地里，泰勒公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们解锁很多复杂函数的秘密。
今天咱们就来聊聊根号 1 + x^2 的泰勒公式。
先来说说啥是泰勒公式。
简单点讲，泰勒公式就是把一个复杂的函数用一堆多项式来近似表示。
这可太有用啦，能让我们在计算和研究函数的时候省不少事儿。
那对于根号 1 + x^2 这个家伙，它的泰勒公式到底长啥样呢？咱们一步步来。
想象一下，你在一个数学竞赛的考场上，题目要求你用泰勒公式展开根号 1 + x^2 ，这时候是不是心里有点慌？别慌，咱们有办法。
先把根号 1 + x^2 进行变形，变成 (1 + x^2)^(1/2) 。
然后，咱们就可以按照泰勒公式的套路来展开啦。
咱们先求它的各阶导数。
这可有点麻烦，不过别怕，一步一步来。
一阶导数是 x / 根号(1 + x^2) ，二阶导数是 (1 / (1 + x^2)^(3/2)) ，三阶导数是 - 3x / (1 + x^2)^(5/2) ，四阶导数是 (15x^2 - 3) / (1 +x^2)^(7/2) ......这一堆导数看起来挺吓人的，不过别被它们吓住。
还记得我当年读大学的时候，有一次数学考试就考到了类似的题目。
我当时也是心里直打鼓，手心里全是汗。
但是我告诉自己，冷静，冷静，一定能做出来。
我就按照老师教的方法，一步一步地求导数，然后代入泰勒公式。
最后，终于算出了答案，那种成就感，简直没法形容！好啦，言归正传。
有了这些导数，咱们就可以根据泰勒公式来展开啦。
在 x = 0 处展开，得到：根号 1 + x^2 = 1 + 1/2 x^2 - 1/8 x^4 + 1/16 x^6 - 5/128 x^8 + ......这就是根号 1 + x^2 的泰勒公式展开式。
泰勒公式虽然厉害，但也不是万能的。
在实际应用中，我们要根据具体的问题和精度要求，选择合适的展开项数。
总之，根号 1 + x^2 的泰勒公式是数学中的一个重要工具，掌握了它，能让我们在解决数学问题的时候更加得心应手。
泰勒公式及其应用技巧
泰勒公式及其应用技巧
温少挺;阙凤珍
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2016(000)023
【摘要】泰勒公式是微积分中的一个重要公式,在高等数学的学习中具有广泛的应用性.本文主要从利用泰勒公式求函数极限、证明等式、证明不等式、进行近似计算、判断级数的敛散性及研究方程根的存在性和唯一性等六个方面说明泰勒公式的应用及其技巧.
【总页数】2页(P35-36)
【作者】温少挺;阙凤珍
【作者单位】黄河交通学院基础教学部,河南焦作454950
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.浅谈竞赛中泰勒公式的应用技巧
2.泰勒公式的应用及技巧
3.对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用
4.泰勒公式的应用与技巧
5.从泰勒公式的余项谈泰勒公式的应用
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浅谈竞赛中泰勒公式的应用技巧
【摘要】泰勒公式是大学数学重点内容之一，在大学生数学中占有极其重要的地位，而涉及泰勒公式的题目，难度一般偏大.本文主要通过实例展示，对比分析的方法介绍泰勒公式在求解竞赛中的极限题，证明题以及其他题目方面的应用技巧以及注意事项.
【关键词】竞赛；泰勒公式；极限；证明
泰勒公式是高等数学中的重点内容，泰勒公式在求函数的导数、函数的极限、函数的近似值、证明不等式以及其他方面都有着重要应用.泰勒公式的基本思想是用n次多项式
拟合一个函数，由于拟合是有误差的，所以就用余项表示误差，而常用的余项就有拉格朗日型余项和佩亚诺型余项，下面我们先介绍泰勒公式的基本定义.
泰勒公式的一般形式为：f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+ f″（x0）2！（x-x0）2+…+ f（n）（x0）n！（x-x0）n+Rn（x）.
其中若Rn（x）为拉格朗日型余项，则Rn（x）= f（n+1）（ξ）（n+1）！（x-x0）n+1，这里ξ介于x与x0之间；若Rn（x）为佩亚诺型余项，则Rn（x）=O[（x-x0）n].使用泰勒公式的前提条件是：函数f（x）在含有x0的某个开区
间（a，b）内具有直到（n+1）阶的导数，且公式中x∈（a，b）[1].
泰勒公式在数学竞赛中用法灵活，且主要用在求极限和证明题中.在极限题中泰勒公式主要与夹逼准则连用；而在证明题中，泰勒公式经常与函数导数、函数的连续性结合使用.同时，泰勒公式是微分中值定理的高度归纳，在某些方面比微分中值定理解题更简洁，所以在一些竞赛题目中，我们可以见到微分中值定理能解决的题目，泰勒公式也能解决.由于泰勒公式的具有包容性，所以在竞赛题中经常看到泰勒公式的影子.
下面结合几道泰勒公式应用于不同方面的竞赛题，讨论泰勒公式在运用时的关键点和注意事项.
1.利用泰勒公式求极限
例1 求极限lim x→∞e-x 1+ 1 x x2（第二届全国大学生数学竞赛非数学专业组试题）
分析本题第一想法是利用洛必达法则，但是发现难以解决，所以可以用泰勒公式试试，注意：对于1+ 1 x x2的处理是将其化为ex2ln 1+ 1 x .
解原式=lim x→∞e-xex2ln 1+ 1 x
=lim x→∞ex2ln 1+ 1 x -x
=lim x→∞ex2[ 1 x - 1 2x2 + 1 3x3 +o（1 x3 ）]-x
=lim x→∞e- 1 2 + 1 3x +o 1 x =e- 1 2 .
从上述例题可以看出，在利用泰勒公式求解极限问题时，我们通常使用皮亚诺型余项，且通常要将原式经过一定的变形之后才能运用泰勒公式，在本题中将ln 1+ 1 x 展开时，需要考虑应该展开到哪一项，有时候这需要结合题目去尝试，比如在本题中，展开后刚好可以留下O 1 x ，使得lim x→∞O 1 x =0，从而问题顺利解决.在求解极限问题时，也会遇到泰勒公式结合函数的奇偶性、单调性（一般是放缩后使用夹逼准则来处理）甚至周期性解题的情况，对此，需要深刻理解泰勒公式的代数意义，即逼近原理.
2.利用泰勒公式的级数收敛性证明
由于泰勒公式与泰勒级数有着密切的关联，而且泰勒公式与级数都有逼近的数学意义，所以利用泰勒公式证明级数的收敛性在竞赛中是常见的.在证明过程中我们应该在何处
展开泰勒公式，展开到几阶，是运用佩亚诺型余项还是拉格朗日型余项是难点，同时也是关键点，而且证明过程往往伴随着对函数的变形以及放缩，这又是难点.下面我们对比两道例题.
例2 设函数f（x）在x=0处存在二阶导数，且lim x→0 f（x）x =0，求证：级数∑∞n=1 f 1 n 收敛.（第五届全国大学生数学竞赛非数学专业组试题）
解∵lim x→0 f（x）x =0，∴f（0）=0.
则f′（0）=lim x→0 f（x）-f（0）x-0 =lim x→0 f（x）
x =0.
将f（x）在0处展开到二阶得：f（x）=f（0）+f′（0）x+ f″（0）2 x2+O（x2）= f″（0）2 x2+O（x2）.
∴ f 1 n = f″（0）2 1 n2 +o 1 n2 ，∴f 1 n 1 n2 = f″（0）2 +0 = |f″（0）| 2 .
又∵∑∞n=1 1 n2 收敛，∴级数∑∞n=1 f 1 n 收敛.
例3 设函数f（x）在x=0的某个领域内具有二阶连续导数，且lim x→0 f（x）x =0，求证：级数∑∞n=1 f 1 n 收敛.
解∵lim x→0 f（x）x =0，∴f（0）=0.则f′（0）=lim x→0 f（x）-f（0）x-0 =0.
将f（x）在0处展开：
f（x）=f（0）+f′（0）x+ f″（ξ）2 x2= f″（ξ）2 x2.
∴ f 1 n =| f″（ξ） 2 | 1 n2 ，其中ξ∈0， 1 n .
∵f（x）在x=0的某个领域内具有二阶连续导数，
∴α>0，M>0，使得在[-α，α]上有|f″（ξ）|≤M，
∴ f 1 n ≤M 2 1 n2 （n足够大时）而∑∞n=1 1 n2 收敛，∴级数∑∞n=1 f 1 n 收敛.
结合上面两道例题，能够看出，通常在已知点或者已知导数的点处展开泰勒公式，而且展开的阶次为题干中所给出
的最高阶次.对比两道例题，可以发现，例2中只给出了函数f（x）在x=0处存在二阶导数，所以例2不能用例3的方法，即不能用拉格朗日型余项，只能用佩亚诺型余项来表示.
3.利用泰勒公式证明不等式
例4 已知：在区间I上，f″（x）>0，x1，x2，x3，…，xn∈I，求证：1 n [f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]≥f x1+x2+…+xn n .
解令x0= x1+x2+…+xn n ，将f（x）在x0处展开，得f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+ f″（ξ）2 （x-x0）2 其中ξ介于x与x0之间
又∵f″（x）>0∴f（xi）≥f（x0）+f′（x0）（x-x0），其中i=1，2，3，…，n.
n个不等式相加，得
f（x1）+…+f（xn）≥nf（x0）+f′（x0）（x1+x2+…xn-nx0），即 1 n [f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]≥f（x0）=f x1+x2+…+xn n .
本题很有特色，它包含了运用泰勒公式的基本原则，同时又有创新，通过n个不等式相加得出结论是不容易想到的.
不等式的证明在高等数学中是重点，且具有很强的技巧性.证明不等式的方法很多，常见的就是作差法、作商法以及构造函数法，也会出现构造函数法与中值定理结合使用以及利用凸函数的性质证明不等式的情况，但是其中泰勒公式证
明不等式始终是个重点和难点，因为它涉及的内容多，与其他知识点结合的也较多，所以一旦运用不当，问题就得不到有效解决.
4.泰勒公式的其他应用
例5 不查表，求方程x2sin 1 x =2x-1977的近似解，精确到0.001（莫斯科铁路运输工程学院1977年竞赛试题）[3] 解x≠0时，令u= 1 x ，应用sinu的麦克劳林公式，得sinu=u+ 1 2 [-sin（θu）]u2，其中0<θ<1.
∴sin 1 x = 1 x - 1 2x2 sin θx .
代入原方程，得x=1977- 1 2 sin θx .
令α=- 1 2 sin θx ，∵- 1 2 1976，0< 1 x < 1 1976 ，0< θx < 1 1976 ，
∴|α|= 1 2 sin θx < 1 2 ? θx < 1 2×1976 <0.001，∴x=1977+α≈1977.
泰勒公式可以化繁为简，这使得它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.借助泰勒公式，我们可以求函数在某点的近似解，而这种近似思想已经在各个领域内广泛应用，所以在一些大型数学竞赛中也会时常出现求近似解的题目，并且常常是难题，这也值得我们注意.
总之，大学课本上所介绍的泰勒公式内容相对较少，而且相对于竞赛而言，没有介绍它实际的应用技巧，只看课本很难彻底掌握泰勒公式的基本原理.所以需要我们加强泰勒
公式的学习，补充常见的泰勒公式的应用方法，并且仔细思考使用它的原因，这样在竞赛的时候才能应用得当，顺利解题.
【参考文献】
[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2012.
[2]李心灿.大学生数学竞赛试题解析选编[M].北京：机械工业出版社，2011.
[3]陈仲.高等数学竞赛题解析教程[M].南京：东南大学出版社，2012.。