高中数学分类讨论

答案 a≤ 2
3 9 (2)在等比数列{an}中，已知 a3＝ ，S3＝ ，则 a1＝ 2 2 ________.
3 解析 当 q＝1 时，a1＝a2＝a3＝ ， 2 9 S3＝3a1＝ ，显然成立； 2 2 3 a1q ＝a3＝ ， 2 当 q≠1 时，由题意，得 3 9 a11－q ＝S3＝ . 2 1－ q
4．设函数f(x)＝ a的取值范围是(
{
log2x x＞0 ， log1/2(－x) x＜0 ， )．
若f(a)＞f(－a)，则实数
A．(－1,0)∪(0,1) C．(－1,0)∪(1，＋∞)
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0,1)
解析 若a＞0，则log2a＞loga，即2log2a＞0，所以a＞1； 若a＜0，则log(－a)＞log2(－a)，即2log2(－a)＜0，所以0＜－a＜1， －1＜a＜0. 所以实数a的取值范围是a＞1或－1＜a＜0，即a∈(－1,0)∪(1，＋∞)． 答案 C
②当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y＋3＝k(x＋4)，即
|－k＋2＋4k－3| 82 2 2 ＝5 ， 由题意可知 2 ＋ 2 1＋k
kx－y＋4k－3＝0.
4 解得 k＝－3，即所求直线方程为 4x＋3y＋25＝0. 综上所述，满足题设的 l 方程为 x＝－4 或 4x＋3y＋25＝0.
问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值
不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要
运用不同的求解或证明方法.
(6) 由实际意义引起的讨论 .此类问题在应用题中，
特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.
3.分类讨论的原则
(1)不重不漏.
(2)标准要统一，层次要分明.
(3) 能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原
(3) 由数学运算要求引起的分类讨论 .如除法运算中
除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的
要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以
一个正数、负数，三角函数的定义域等.
(4) 由图形的不确定性引起的分类讨论 . 有的图形类
型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、 线、面的位置关系等.
(5) 由参数的变化引起的分类讨论 . 某些含有参数的
8．在△ABC中，已知a＝5，b＝5，A＝30°，解三角形．
a b 5 3sin 30° 3 【解析】在△ABC 中，据正弦定理sin A＝sin B，得 sin B＝ ＝2. 5 ∵b＞a，∴B＞A＝30° ，∴B＝60° 或 120° . 当 B＝60° 时，C＝180° －(A＋B)＝180° －(30° ＋60° )＝90° ， a 5 ∴c＝sin A＝sin 30° ＝10； 当 B＝120° 时，C＝180° －(A＋B)＝180° －(30° ＋120° )＝30° ， asin C 5sin 30° ∴c＝ sin A ＝ sin 30°＝5. 综上，B＝60° ，C＝90° ，c＝10 或 B＝120° ，C＝30° ，c＝5.
7. 如图，已知以点 A(－1,2)为圆心的圆与直线 l1：x＋2y ＋7＝0 相切．过点 B(－2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M，N 两 点． (1)求圆 A 的方程； (2)当|MN|＝2 19时，求直线 l 的方程．
(2)设 MN 的中点为 Q，连接 AQ，则 AQ⊥MN. ∵|MN|＝2 19，∴|AQ|＝ 20－19＝1. 【解析】(1)设圆A的半径为r. ①当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x＝－ 由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切， 2 符合题意． |－1＋4＋7| ∴ r＝ ＝2 5. ②当直线 l5 与 x 轴不垂直时， 设直线 l 的方程为 y＝k(x＋2)， 即 kx －y＋ 2k＝0. (x＋1)2＋(y－2)2＝20. ∴圆 A的方程为 |－k－2＋2k| 3 则由|AQ|＝ ＝1，得 k＝4. 2 k ＋1 直线方程为 3x－4y＋6＝0. 综上，直线 l 的方程为 x＝－2 或 3x－4y＋6＝0.
则地讨论.
4.解分类问题的步骤
(1) 确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进
行分类讨论.
(2)对所讨论的对象进行合理的分类.
(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决.
(4)归纳总结，将各类情况总结归纳.
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐 类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要 的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与 归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性， 能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情 况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分 类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可 以称为性质型。 ③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时 分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要 通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不 遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不 重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论 对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、 分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最 后进行归纳小结，综合得出结论。
a q2＝3， 1 2 所以 9 2 a11＋q＋q ＝ ， 2
2
① ②
1＋q＋q 2 由①②，得 ＝3，即 2q －q－1＝0， 2 q 1 所以 q＝－ 或 q＝1(舍去). 2 1 a3 3 当 q＝－ 时，a1＝ 2＝6.综上可知，a1＝ 或 a1＝6. 2 2 q 3 答案 或 6 2
当p≠1且p≠0时，{an}是等比数列；
当p＝1时，{an}是等差数列；
当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是
等差数列也不是等比数列.
答案 D
5.已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.
(1)求数列{an}的通项公式； 解 设数列{an}的公差为d，
3a1＋3d＝6， a1＝3， 由已知，得 解得 8a1＋28d＝－4， d＝－1.
试题解析 （1）利用已知条件求出A的补集，然后直接求解即可． （2）分类讨论B是否是空集，列出不等式组求解即可． 本题考查集合的基本运算，补集以及并集的求法，考查分类讨论思想的应用.
2.已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1． （1）求f（x）的解析式； （2）若函数g（x）=f（x）-2tx在区间[-1，5]上是单调函数，求实数t的取值范围； （3）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（-1，2）上有唯一实数根，求实数m的取值范 围（注：相等的实数根算一个）．
路，降低问题难度.
2
2.分类讨论的常见类型
(1) 由数学概念引起的分类讨论 . 有的概念本身是分类
的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.
(2) 由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论 . 有的
数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件
下结论不一致，如等比数列的前 n 项和公式、函数的
单调性等.
3 所以 f(a－5)＝2 ＋1＝ ，故选 C. 2
2－3
答案
C
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则
数列{an}是( A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.以上都不对 )
解析
∵ S n＝ p n－ 1 ，
∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，
变式训练1
log2x＋1，x>3， (1)已知函数 f(x)＝ x－3 满足 f(a)＝3， 2 ＋1， x≤3
则 f(a－5)的值为( A.log23 17 B. 16
) 3 C. 2 D.1
解析
a≤3 分 两 种 情 况 分 析 ， a－3 ①或者 2 ＋1＝3
a>3 ②，①无解，由②得，a＝7， log2a＋1＝3
6.已知直线l经过点P(－4，－3)且被圆(x＋1)2＋ (y＋2)2 ＝25截得的弦长为8，求直线l的方程．
【解析】圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 的圆心为(－1，－2)，半 径 r＝5. ①当直线 l 的斜率不存在时，则 l 的方程为 x＝－4，由题
【分析】 解决本题需要先设出直线方程，解决问题 意可知直线 x＝－ 4 符合题意． 时应分斜率存在与不存在两种情况进行讨论．
2 x ＋x，x<0， 例 1 (1)(2014· 浙江)设函数 f(x)＝ 2 －x ，x≥0，
若 f(f(a))≤2，则实数 a 的取值范围是________.
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解析 f(x)的图象如图，由图象知，满足 f(f(a))≤2 时，得 f(a)≥－2，而满足 f(a)≥－2 时，得 a≤ 2.
思想方法概述 1. 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法 .其基本思
路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基
础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问
题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于
增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综
合性问题 ) 分解为小问题( 或基础性问题 ) ，优化解题思
故an＝3－(n－1)＝4－n.
(2)设bn＝(4－an)qn－1 (q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的
前n项和Sn.
解 由(1)可得bn＝n· qn－1，
于是Sn＝1· q0＋2· q1＋3· q2＋…＋n· qn－1. 若q≠1，将上式两边同乘q，得 qSn＝1· q1＋2· q2＋…＋(n－1)· qn－1＋n· qn.
(1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵 与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类讨论
思 维 非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算 升 华 中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负
有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为
数，三角函数的定义域等.
1.设全集U=R，集合A={x|1≤x＜4}，B={x|2a≤x＜3-a}． （1）若a=-2，求B∩A，B∩∁UA； （2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．
5. 设直线l：(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)在两坐标轴上 的截距相等，求直线l的方程．
【分析】解题时注意对直线是否过原点进行分情况 讨论，否则会漏解．
【解析】当 2－a＝0，即 a＝2 时，直线经过原点，满足条 件，此时直线的方程为 3x＋y＝0. 当 a＝－1 时，直线在 x 轴上无截距，不符合题意． a－2 当 a≠－1 且 a≠2 时，由题意得 ＝a－2，解得 a＝0. a＋1 此时直线的方程为 x＋y＋2＝0. 综上，直线 l 方程为 3x＋y＝0 或 x＋y＋2＝0.
两式相减，得(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1
q －1 nq －n＋1q ＋1 ＝nq － ＝ . q－ 1 q－ 1
n
n
n＋1
n
nq －n＋1q ＋1 于是，Sn＝ . 2 q－1 nn＋1 若 q＝1，则 Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝ . 2
n＋ 1
n
nn＋1 q＝1， 2 综上，Sn＝ n＋1 n nq －n＋1q ＋1 q≠ 1 . 2 q－1
本讲规律总结
分类讨论思想的本质是 “化整为零，积零为整 ”.
用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明