一本线代练习一答案

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线代参考答案(完整版)

线性代数练习题第一章行列式系专业班姓名学号第一节行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5）（B ）（13-，5）（C ）（13，5-）（D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正；（B ）3,2==l k ，符号为负；（C ）2,3==l k ，符号为正；（D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为负。

(2021年整理)线性代数练习册附答案

线性代数练习册附答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（线性代数练习册附答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第1章矩阵习题1. 写出下列从变量x ， y 到变量x 1， y 1的线性变换的系数矩阵：（1）⎩⎨⎧==011y x x ； (2) ⎩⎨⎧+=-=ϕϕϕϕcos sin sin cos 11y x y y x x2。

（通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2，b 3的交通联结情况如图所示,每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.3。

设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ,求3AB —2A 和A TB .4. 计算(1) 2210013112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1)1,,(212221211211y x c b b b a a b a a y x5. 已知两个线性变换 32133212311542322yy y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换。

6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ,A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1+…+ a m E . 当f （x )=x 2-5x +3，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3312A 时，求f (A )。

线性代数练习册一解答

一. 判断题（正确打√，错误打×）1. 如果阶行列式中等于零的元素个数大于，那么此行列式的值等于零(√ )解答：因为阶行列式的元素总数，所以，而阶行列式的每一项是个元素的乘积，所以每一项至少含有一个零因子，所以此行列式的值等于零。

2. 若阶行列式中每行元素之和均为零，则等于零.( √ )解答：将中的列都加到第一列，则行列式中有一列元素全为零，所以等于零.3..( √ )解答：方法1按第一列展开.方法2 交换2，4列，再交换2，4行=.方法3 Laplace展开定理：设在行列式中任意取定了个行，由这行元素所组成的一切阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式。

所以按2，3行展开=.4. 若阶行列式满足,,则.(√)解答：由行列式展开定理.5. 若阶行列式的展开式中每一项都不为零,则.( × )解答：反例如.二. 单项选择题1. 方程的根为（B）.（A）；（B）；（C）；（D）.解答：（范德蒙行列式），所以根为.2.已知,那么（D）.（A）；（B）； (C)；（D）.解答：或者（C）解答：因为有唯一解，所以，当时，，有解，但不唯一；当时，推出，无解。

所以选（C）4.下列行列式中不一定等于的是（B）.（A）；（B）；（C）；（D）.解答：注意=；而==.5.阶行列式展开式中项的符号为(D). （A）- ；（B）+；（C）；（D）.三. 填空题1. 已知方程组有唯一解,且,那么 4 .解答：系数行列式，而,所以,所以.解答：因为，所以。

3. 若为阶范德蒙行列式,是代数余子式，则.解答：.因为为偶数。

解答：，所以。

因为的展开式中的系数为-1 .因为展开式中有一项是.或者按第一行展开：，由此可以看出的系数为-1.四. 计算题1.已知，计算.解答：方法1.方法2，所以.方法3.2. 计算行列式3. 计算行列式解答：.解答：方法1所以。

方法2，，所以所以5. 计算行列式解答：（行和相等）6. 计算行列式解答：解答：8. 计算行列式.解答：当时：；当时：得到9. 计算行列式解答：（行和相等）证明，，在上连续，在可导，所以由Rolle定理知存在使得.2..证明：方法一设，将其按第4例展开得到，由于，且，由方程根与系数的关系知，而，于是，所以.注，该方法具有一般性，利用它可以证明.方法二证明对应的范德蒙行列式不等于零，齐次方程组仅有零解，证毕。

线性代数-本科-练习题(含答案)

线性代数练习题（本科）一、判断题1.可逆的对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵。

(√)2.若α1, α2线性无关, α2, α3线性无关，则α1, α2，α3线性无关。

(×)3.若α1, α2，…，αm线性无关，则α1+ α2+…+αm≠0。

(√ )4.若齐次线性方程组AX=0有非零解，则非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多解。

(×)5.若A的特征值全为0,则A一定相似于零矩阵。

(×)6.若A,B为n阶正定阵，则AB也为正定阵。

(×)7.若A为n阶方阵，则|5A T|=5|A|。

(×)8.若矩阵A,B满足(A+ B)2=A2+2AB+ B2，则AB=BA。

(√ )9.若方程组AX=0有非零解，则AX=b有无穷多个解。

(×)10.设A,B为非零阵，且AB=0，则B的行向量线性相关。

( √ )11.设r(A)=r，则A至少有一个r-1阶子式不为零。

(√ )12.若α1, α2,…,αm线性无关，则α1+2α2+3α3+…+mαm≠0 。

( √)13.可逆的上三角阵的逆矩阵仍是上三角阵.(√ )14.若α=(α1, α2，…，αn)T≠0，则ααT的秩必为1。

(√)15.设A,B,C为n阶方阵，若ABC=I，则C=B-1A-1。

( √)16.设A 为m×n矩阵，r(A)=m，则非齐次线性方程组AX=b一定有解。

( √)17.若A,B为n阶正定阵，则A-1+B-1也为正定阵。

( √)18.若A的特征值为1或0，则A= A 。

(×)19.若n阶方阵A中每列元素之和为0，则|A|=0。

(√ )10.若A可逆，则(A*)-1=(A-1)*，其中A*是A 的伴随矩阵。

(√)二、填空题1. |x 1111y 0010z 0100t|= txyz-yz-tz-ty 2.设A 为n 阶方阵，A 2+3A-I=0，则(A-I)-1= -(A+4I)/3 。

大一线代试题及答案

大一线代试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性代数中，向量空间的维数是指：A. 向量空间中的向量个数B. 向量空间中的基的个数C. 向量空间中任意向量的分量数D. 向量空间中最大的线性无关向量组的向量个数答案：D2. 对于任意的矩阵A，行列式|A|等于：A. 矩阵A的迹B. 矩阵A的秩C. 矩阵A的逆的负数D. 矩阵A的主对角元素的乘积答案：A3. 如果一个矩阵A可逆，那么下列哪个选项是正确的？A. |A| = 0B. A的秩小于A的阶数C. A的行列式不为零D. A的转置矩阵不可逆答案：C4. 对于n维向量空间中的任意两个向量，它们：A. 一定线性相关B. 一定线性无关C. 可以线性相关也可以线性无关D. 以上都不对答案：C5. 矩阵的特征值是：A. 矩阵的对角线元素B. 矩阵的迹C. 满足方程Ax = λx的非零向量x对应的λD. 矩阵的行列式的值答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 向量组α1, α2, ..., αk的秩为r，那么这组向量的极大无关组中包含的向量个数为________。

答案：r个7. 设A是一个m×n矩阵，B是一个n×m矩阵，若AB=I（单位矩阵），则称矩阵B为矩阵A的________。

答案：左逆矩阵8. 若向量β1, β2, ..., βs能由向量组α1, α2, ..., αt线性表示，且向量组α1, α2, ..., αt也能由向量组β1, β2, ...,βs线性表示，则称向量组α1, α2,..., αt和向量组β1,β2, ..., βs________。

答案：等价9. 设矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2 - aλ + b，那么矩阵A的迹为________。

答案：a10. 对于任意的n阶方阵A，|A^T| = |A|________。

答案：相等三、解答题（共75分）11. （15分）已知矩阵A和B满足AB=BA，证明(A+B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB。

线性代数课后习题答案全习题详解

线性代数课后习题答案全习题详解(总92页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ；（4）y x y x x y x yyx y x +++. 解（1）=---381141102811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3（5）逆序数为2)1(-n n ：3 2 1个 5 2，54 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢71100251020214214；（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412；（3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae acab ；（4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a 100110011001 解(1)7110025*******21434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)265232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+ 23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -;(2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=yx z x z y zy x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 .证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a a d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11 =,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 010000000000001000=按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n n a a a (再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) n nnnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D 即 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=0432********0122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121 ,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-= 112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 5100165100065100650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507= 51165100065000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-=1145108065-=--= 51100650000601000051001653=D 展开按第三列5100650006100051650061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+= 51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解解 μλμμμλ-==12111113D ，齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解，则0=D 得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章矩阵及其运算1 已知线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换解由已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y2 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x3 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B 求3AB 2A 及A TB解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T4 计算下列乘积(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321((132231)(10)(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x(a 11x 1a 12x 2a 13x 3 a 12x 1a 22x 2a 23x 3 a 13x 1a 23x 2a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=5 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A ⎪⎭⎫⎝⎛=2101B 问(1)AB BA 吗解 AB BA 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎭⎫⎝⎛=8321BA 所以AB BA(2)(A B)2A 22AB B 2吗解 (A B)2A 22AB B 2 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫⎝⎛=27151610所以(A B)2A 22AB B 2 (3)(A B)(A B)A 2B 2吗解 (A B)(A B)A 2B 2因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A故(A B)(A B)A 2B 26 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A 20 则A 0 解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A 则A 20 但A 0(2)若A 2A 则A 0或A E 解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A 则A 2A 但A 0且A E(3)若AX AY 且A 0 则X Y 解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y则AX AY 且A 0 但X Y7 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA 求A 2A 3Ak解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k8设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A 求A k解首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A⎝⎛=kA k k kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫用数学归纳法证明当k 2时显然成立假设k 时成立，则k 1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ 由数学归纳法原理知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1219 设A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵证明因为A T A 所以(B T AB)T B T (B T A)T B T A T B B T AB 从而B T AB 是对称矩阵10 设A B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA 证明充分性因为A T A B T B 且AB BA 所以(AB)T (BA)T A T B T AB 即AB 是对称矩阵必要性因为A T A B T B 且(AB)T AB 所以 AB (AB)T B T A T BA 11 求下列矩阵的逆矩阵 (1)⎪⎭⎫⎝⎛5221解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A |A|1 故A 1存在因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A故 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225 (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A |A|10 故A 1存在因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A |A|20 故A 1存在因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2a n0)解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 12 解下列矩阵方程 (1)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛12643152X解⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311111012112X 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122 (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111 (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=20143101213 利用逆矩阵解下列线性方程组(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===35321x x x14 设A k O (k 为正整数) 证明(E A)1E A A 2 A k1证明因为A k O 所以E A k E 又因为E A k (E A)(E A A 2A k 1)所以 (E A)(E A A 2 A k 1)E 由定理2推论知(E A)可逆且(E A)1E A A 2A k1证明一方面有E (E A)1(E A) 另一方面由A k O 有 E (E A)(A A 2)A 2A k1(A k1A k )(E A A 2 A k 1)(E A)故 (E A)1(E A)(E A A 2 A k 1)(E A) 两端同时右乘(E A)1就有(E A)1(E A)E A A 2A k115 设方阵A 满足A 2A 2E O 证明A 及A 2E 都可逆并求A 1及(A 2E)1证明由A 2A 2E O 得A 2A 2E 即A(A E)2E 或E E A A =-⋅)(21由定理2推论知A 可逆且)(211E A A -=-由A 2A 2E O 得 A 2A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E)4E或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A 2E)可逆且)3(41)2(1A E E A -=+-证明由A 2A 2E O 得A 2A 2E 两端同时取行列式得 |A 2A|2 即 |A||A E|2 故 |A|0所以A 可逆而A 2E A 2 |A 2E||A 2||A|20 故A 2E 也可逆由 A 2A 2E O A(A E)2E A 1A(A E)2A 1E)(211E A A -=-又由 A 2A 2E O (A 2E)A 3(A 2E)4E(A 2E)(A 3E)4 E所以 (A 2E)1(A 2E)(A 3E)4(A 2 E)1)3(41)2(1A E E A -=+- 16 设A 为3阶矩阵 21||=A 求|(2A)15A*|解因为*||11A A A =- 所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A|2A 1|(2)3|A 1|8|A|1821617 设矩阵A 可逆证明其伴随阵A*也可逆且(A*)1(A 1)*证明由*||11A A A =- 得A*|A|A 1所以当A 可逆时有|A*||A|n |A 1||A|n 1从而A*也可逆因为A*|A|A 1所以(A*)1|A|1A又*)(||)*(||1111---==A A A A A 所以(A*)1|A|1A |A|1|A|(A 1)*(A 1)*18 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A* 证明 (1)若|A|0 则|A*|0 (2)|A*||A|n 1证明(1)用反证法证明假设|A*|0 则有A*(A*)1E 由此得A A A*(A*)1|A|E(A*)1O所以A*O 这与|A*|0矛盾，故当|A|0时有|A*|0 (2)由于*||11A A A =- 则AA*|A|E 取行列式得到|A||A*||A|n 若|A|0 则|A*||A|n 1若|A|0 由(1)知|A*|0 此时命题也成立因此|A*||A|n119设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A AB A 2B 求B解由AB A 2E 可得(A 2E)B A 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=01132133020 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A 且AB E A 2B 求B解由AB E A 2B 得 (A E)B A 2E 即 (A E)B (A E)(A E)因为01001010100||≠-==-E A 所以(A E)可逆从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B21 设A diag(1 2 1) A*BA 2BA 8E 求B解由A*BA 2BA 8E 得(A*2E)BA 8EB 8(A*2E)1A 1 8[A(A*2E)]1 8(AA*2A)1 8(|A|E 2A)18(2E 2A)14(E A)14[diag(2 1 2)]1)21 ,1 ,21(diag 4-=2diag(1 2 1)22已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A且ABA 1BA13E 求B 解由|A*||A|38 得|A|2 由ABA1BA13E 得AB B 3AB 3(A E)1A 3[A(E A 1)]1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-103006060060000660300101001000016123 设P 1AP 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ2001求A 11解由P 1AP得A P P 1所以A 11 A=P 11P 1.|P|3 ⎪⎭⎫⎝⎛-=1141*P ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P而 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6846832732273124 设AP P 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511 求(A)A 8(5E 6A A 2) 解 ()8(5E 62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]diag(1158)diag(1200)12diag(100) (A)P ()P 1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111111111425 设矩阵A 、B 及A B 都可逆证明A 1B 1也可逆并求其逆阵证明因为 A 1(A B)B 1B1A1A1B1而A 1(A B)B 1是三个可逆矩阵的乘积所以A 1(A B)B 1可逆即A1B 1可逆(A1B 1)1[A 1(A B)B 1]1B(A B)1A26 计算⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521 27 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A 验证|||||||| D C B A D C B A ≠解41001200210100101002000021010010110100101==--=--=D C B A而01111|||||||| ==D C B A故 |||||||| D C B A D C B A ≠28 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A 求|A 8|及A 4解令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A 1682818281810||||||||||===A A A A A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A29 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆求 (1)1-⎪⎭⎫⎝⎛O B A O解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-43211C C C C O B A O 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111(2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-43211D D D D B C O A 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A30 求下列矩阵的逆阵(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B 则⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A ⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=--8532253811B于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4121031200210001解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001第三章矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

线性代数练习册第一章部分答案(本)

AAT AA A2 E
1 .AAT E; 3 . A2 E 2. AT A
AAT E A1 AT ; A2 E A1 A AT A1 A
或或
AAT E AAAT AE AT A
AAT E, A2 E A( AT A) 0, A可逆 A1 A( AT A) A1 0 AT A
2 −3 1 r2 − 2 r1 0 0 1 3 0 2r2 0 −1 −3 r − 2r 0 4 1
2 0 0
−3 1 10
2 −3 1 r1 + 3r2 0 1 0 1 3 0 r1 0 0 0 0 2 −4 −4 −2 −2 3 5 3 4 3 1 0 −1 −4 3 −4 1 −2 0 −2 −1
而 B11 所以，
(1)11 0 1 0 1 0 ， 11 211 0 2 0 2 0
11
1 4 1 0 1 1 4 A11 PB11 P 1 11 1 1 0 2 3 1 1 4 213 1 1 213 1 4 1 1 213 3 1 211 1 1 3 1 211 4 211 2731 2732 683 684
1 0 0
0 5 1 3 0 0
1 （2）B = 3 2 3 解：
−1 −3 −2 −3
3 5 3 4 −1 −3 −2 −3
1 B= 3 2 3 r2 − 3r1 r3 − 2r1 r4 − 3r1
1 0 0 0
3 −1 3 − 4 −8 0 −4 8 0 −3 6 −6 0 −5 10 −10 3 1 0 0 0 1 0 0 −4 −2 0 0 2 −2 0 0 3 2 0 0 −3 2 0 0

线性代数练习题及答案10套

1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量，的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ．已知某个 3 元非齐次线性方程组 Ax=b 的增广矩阵 A 经初等行变换化为：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2．设矩阵 A= （1， 2）， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是（ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2

华东理工大学线性代数第一册答案

we 华东理工大学线性代数作业簿（第一册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________1.1 矩阵的概念1. 矩阵[]232ij A a i j ⨯⎡⎤==-=⎣⎦_____________________.解：101321A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 2．设1000100300520100230030040010041003A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,,,,其中对角阵为_________，三角阵有____________.解：对角阵为D ；三角阵有A ，C ，D .1.2矩阵的运算1. 已知31121123202311X O ---⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，求矩阵X . 解：依题意，由622211*************X ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得4113115333X ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.2. 如果矩阵m n A ⨯与t s B ⨯满足AB BA =，试求,,,m n t s 之间的关系. 解：m n t s ===.3. 填空：(1) 431712325701⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦__________； (2) []112323,,__________⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (3) []12123,__________⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (4) 13121400121134131402__________⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥-⎣⎦. 解： (1) 35649⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；(2) 14；(3)122436-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；(4) 6782056-⎡⎤⎢⎥--⎣⎦.4. 已知矩阵010001000A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试求与A 可交换的所有矩阵. 解：由可交换矩阵的定义，知道所求矩阵必为3阶方阵，不妨设其为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=i hgf e dc baB ，于是有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=i hg f ed c b aAB 000100010=000def g h i ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=h g e d b a i h gf e dc b a BA 000000100010，由BA AB =，即得=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00i h gf ed⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡h g e d b a 000，由相应元素相等，则得,,,0f b i e a h g d ======故c b a a b a c b a B ,,(000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=均为任意常数）为与A 可交换的所有矩阵.5. 计算下列各题：(1) []111213112321222323132333,,a a a x x x x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；解：原式等于：222111222333122112133113233223()()()a x a x a x a a x x a a x x a a x x ++++++++(2) 13223122A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求2008A ；解：记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21232321A ，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=212323212A ， 31001A I -⎡⎤==-⎢⎥-⎣⎦，200836691=⨯+ 20082007131313222222313131222222⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦66913223122I A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(). (3) 21121,,233A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，求9A . 解：89822132211112212122562123233333312,,,,A A ⎡⎤⎢⎥⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--==---⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦.6. 利用等式176232073,3512570352732310,525701--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦计算51763512-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. 解：51763512-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦5232073570352-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦3197126673852922-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.7. 某公司为了技术革新，计划对职工实行分批脱产轮训，已知该公司现有2000人正在脱产轮训，而不脱产职工有8000人，若每年从不脱产职工中抽调30%的人脱产轮训，同时又有60%脱产轮训职工结业回到生产岗位，设职工总数不变，令0.70.68,0.30.42000A X ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦试用A 与X 通过矩阵运算表示一年后和两年后的职工状况，并据此计算届时不脱产职工与脱产职工各有多少人.解：一年后职工状况为：68003200AX ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不脱产职工6800人，轮训职工3200人.两年后职工状况为：26800668032003320A A X ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦不脱产职工6680人，轮训职工3320人.8. 设矩阵2142A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，3162B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求:(1);T T T T A B B A - 22(2).A B -解：24363624(1)12121212T T T T A B B A ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦10200010251000510--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦； 2221213131(2)42426262A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦01551550030103010--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦.9. 设A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则（）是反对称矩阵. （A ）AB BA -; （B ）AB BA +; （C ）2()AB ; （D ）BAB . 解：B .10．试将矩阵121301223A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦表示成对称矩阵与反对称矩阵之和. 解：5311102222115311()()002222223311302222T T A A A A A ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 11. 设A 是反对称矩阵，B 是对称矩阵，试证：AB 是反对称矩阵的充分必要条件为AB BA =. 证：必要性:由AB AB Τ-=)(及BA A B A B AB ΤΤΤ-=-==)()(即得BA AB =. 充分性: 若BA AB =，则AB BA A B A B AB ΤΤΤ-=-=-==)()(，知AB 是反对称阵.12. 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++ ，记()f A 为方阵A 的多项式，即1110()m m m m f A a A a A a A a I --=++++（1）设1200λΛλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，证明12()0()0()f f f λΛλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）设1A P P Λ-=，证明1()()f A Pf P Λ-=.解：（1）1200kk k λΛλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1111110122201000()00100mm m m m m f a a a a λλλΛλλλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦111111012121201200()00()m m m m m m m m a a a a a a a a f f λλλλλλλλ----⎡⎤++++=⎢⎥++++⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （2）11k k A P P A P P ΛΛ--=⇒=111111110()()m m m m f A f P P a P P a P P a P P a PP ΛΛΛΛ-------∴==++++ 1()Pf P Λ-=13．设矩阵2TT A I αααα=-，其中I 为n 阶单位阵，α为n 维列向量，试证A 为对称矩阵，且2A I =.证：2(2)2()()2T T T TT T T T TT T T T A I I I I Aαααααααααααααααα=-=-=-=-=故A 是对称矩阵，且22()(2)(2)44()T T T T TT T T T A I I I I αααααααααααααααααα=--=-+=.1.3逆矩阵1. 设A 为n 阶矩阵，且满足2A A =，则下列命题中正确的是（）. （A ）A O =；（B ）A I =；（C ）若A 不可逆，则A O =；（D ）若A 可逆，则A I =. 解：D.2. 设n 阶矩阵C B A 、、满足ABAC I =，则必有（）.（A ）2CA B I =；（B ）T T T TA B A C I =；（C ）2BA C I =；（D ）2222A B A C I =.解：B.3．已知矩阵1111111111111111A ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦，求n A 及1A -（n 是正整数）. 证：由I A 42=，即可得⎪⎩⎪⎨⎧=====---为奇数为偶数n A A I A A n I I A A n n n n nn n,2)4(,2)4()(1211222 及I A A =⋅）（41，亦即A A 411=-.4. 已知n 阶矩阵A 满足223A A I O +-=，求: 11,(2),A A I --+ 1(4)A I -+.解：依题意，有I I A A 32=+）（，即23A I A I +=（），故 A I A I A A 31223111=++=--））；（（，再由已知凑出I I A I A 5)2)(4(-=-+，即得)2(51)4(1I A I A --=+-.5. 设A B AB I -、、为同阶可逆阵，试证：(1) 1A B --可逆； (2) ()111A BA -----也可逆，且有()1111A B A ABA A ----⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦. 证：(1) 11111()A B ABB B AB I B A B ------=-=-⇒-可逆.(2) 证法一：()()()()()()()1111111111111111()A B A A BA B A B AA BI I B A AB A B ABA A ------------------=----⎡⎤=--+=-⎣⎦=- ()111A B A ---⇒--可逆，且()1111A B A ABA A ----⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦. 证法二：由（1）得()111()A BB AB I ----=-，因此()1111111()()()()()()A B A ABA A B AB I A ABA A B AB I AB I A A A BA I BA BA I I-------⎡⎤⎡⎤---=---⎣⎦⎢⎥⎣⎦=----=-+= ()111A B A ---⇒--可逆，且()1111A B A ABA A ----⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦.。

2021-2021-1线代作业本答案

第一章行列式第一节二阶、三阶行列式一、1. -2； 2. )(a b ab -； 3. 1； 4. 1ln ln a b - 二、1.18； 2.-1； 3. 0； 4. 0 三、A A A A 四、1231,2,3x x x =-==第二节 n 阶行列式的定义及性质一、1. -29，29； 2. 0； 3. 3m ； 4. 0.二、1. 2000； 2.4abcdef -； 3.160； 4.8； 5.63； 6.120. 三、11212(1)n n n a a a b b b ++-四、1.123,1x x ==； 2. 1232,2,2x x x ===-.五、略六、0第四节克拉默法那么一、1. 3,1x y ==- 2. 12310,,12==-=x x x二、1. 当2-=λ或1=λ时，方程组有非零解；2. 当2-=λ或1-=λ时，方程组有非零解. 三、1. 当1≠λ且3≠λ时，方程组只有零解；2. 当1=λ或3=λ时，方程组有非零解. 四、1)(2++=x x x f . 综合练习题一一、1. 3k ≠且1k ≠-； 2. 3； 3.23645()a a a a a -- 二、C C C C三、1.-25； 2.222()()x y x y xy +--+； 3.1； 4.1abcd ad ab cd ++++；5.54x ； 6.(1)nkk k a =-∑.四、1．122,0x x == 2. 00x y ==或者五、1. 28- 2. 0 六、略。

七、1.1≠λ且3≠λ； 2.3λ=或1λ=。

第二章矩阵第一节矩阵的定义及其运算一、1. -32； 2. BA AB =； 3. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2412498 二、DCDDC三、1.〔1〕101111100,240021111X Y -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭；2.(1) 13145-⎛⎫⎪-⎝⎭； (2) ()10；〔3〕⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛369246123；〔4〕2212131223522x x x x x x x x -+++.3. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000AB ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1020510BA ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00002A . 第二节逆矩阵一、1.4, 4，4,14； 2. 113.二、CDDC三、1.(1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-12351A ； (2) 不可逆； (3) 112100100100n a a A a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 2. 100200611A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭, 5A =A . 3. 1=B . 4. X =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321. 5. *1()A -=） 10061031002⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 6. 11(2)(3)4A I I A -+=-. 第三节初等变换与初等矩阵一、1. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010001k ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10001001k ； 2. 111221111--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 二、BCC三、1.〔1〕 211532421⎛⎫⎪⎪ ⎪---⎝⎭；〔2〕11240101113621610--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭；〔3〕12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭. 2. 96210721283B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭. 第五节矩阵的秩一、1. ≥，< ； 2. 1； 3. 1. 二、DADDA三、1.(1) 秩为3；〔2〕秩为2；〔3〕秩为4〔4〕2x =-时，秩为2；1x =时，秩为1；1,2x x ≠≠-且时，秩为3.2. 2=a . 综合练习题二一、1.1627-； 2. 3； 3.3-. 二、BCCCBBB 三、×√√×√√×√四、1.1001()010100A I -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 2.()2R AB =； 3.300020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.五、10100510501A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.第三章向量第一节向量的概念及其运算一、〔1〕()15,14,37T--〔2〕()0,9,30-. 二、()()2,4,5,1,4,4,1,6,1,0T Tαβ=-=---.三、()2,4,9α=-.四、1.122βαα=-； 2. 1230βααα=-++⋅.第二节线性相关与线性无关一、1. 线性相关；2. 线性无关.二、1. 线性无关；2. 线性相关；3.线性无关；4.线性相关.三、 1.〔√〕 2.〔√〕 3.〔×〕 4.〔√〕 5.〔√〕 6.〔×〕 7.〔√〕. 四、1.0α≠，对应分量成比例； 2.相； 3.无关； 4. 283-； 5.513-；6.230c a -+≠； 7.>； 8.惟一. 五、BBD第三节向量组的秩一、1. 相；无； 2. 12r r =； 3. =； 4. 7 . 二、1. 123,,ααα的秩为2，123,,ααα线性相关； 2. 123,,γγγ的秩为3，123,,γγγ线性无关；3. 1234,,,αααα的秩为4，123,,ααα线性无关四、1.12,αα为123,,ααα的一个极大线性无关组，且3122ααα=-+；2. 123,,ααα为1234,,,αααα的一个极大线性无关组，且4123313222αααα=-+-； 3.124,,ααα为12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组，且第四节向量空间一、(1,1,1)T.二、1.βα,化为单位向量为1(1,1,1,1)2T --2,2,1)T ；2.βα,正交. 三、()11,0,1,1β=-，2121,1,,333⎛⎫=- ⎪⎝⎭β，31334,,,5555⎛⎫=- ⎪⎝⎭β. 综合练习题三一、CCABCADAB二、可以惟一线性表出，且12351114βααα=-+- 三、(1)0c ab -= 四、略五、不一定，例如：()()()()11221,13,74,40,0αβαβ=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩，但是1122,αβαβ++线性无关. 六、01a a ≠≠且时，123,,ααα的秩为3；0a =时，123,,ααα的秩为2；1a =时，123,,ααα的秩为1；七、1.9k =；2. 123,,ααα为一个极大线性无关组，且41233αααα=+-.八、1.111110102P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭；2. 1231114,3,1342--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ. 九、略. 十、略.第四章线性方程组第一节利用矩阵的初等变换解线性方程组一.〔1〕2-；〔2〕1-.二.〔1〕C ；〔2〕D .三.〔1〕惟一解：(0,1,0)T ；〔2〕无穷多组解；〔3〕惟一解；〔4〕无解. 四. 1k =-无解； 4k =有无穷多解；0k =有惟一解.第二节齐次线性方程组解的结构一. 〔1〕C ；〔2〕B ；〔3〕D ；〔4〕B ；〔5〕D.二. 〔1〕(2,1,1)T ξ=-；〔2〕1(1,1,0,0)T ξ=-，2(1,0,3,1)T ξ=--.三.1.1213100101x k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中12,k k 为任意常数.2.123111112100023010001x k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中123,,k k k 为任意常数.第三节非齐次线性方程组解的结构一. 〔1〕C ；〔2〕B.二. 〔1〕1251230213201010x k k ⎛⎫- ⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，其中12,k k 为任意常数.〔2〕1231611523226010000100001x k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中123,,k k k 为任意常数.综合练习题四一. 〔1〕C ；〔2〕A ；〔3〕C ；〔4〕A ；〔5〕B.二、当45λ=-时，方程组无解；当1λ≠且45λ≠-时，方程组有惟一解；当1λ=时，方程组有无穷多组解，其通解为101101x c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中c 为任意常数. 第五章矩阵的特征值与矩阵的对角化第一节矩阵的特征值与特征向量一、1.1()nii λλ=-∏； 2.不可逆；； 3. 01或； 4. 6，6； 5. 0；6. 11, , 24-1；, 2 , 4k k k -；3,6,11；8, 4 , 2-- ； 7.12n d λλλ====二、CB三、1. 特征值：23023λλλ===1，，对应的全部特征向量分别是：1231111,1,1201k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2. 特征值：2302λλλ===1，0λ=1对应的全部特征向量：110,0k ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中1k 不为零232λλ==对应的全部特征向量：2001k ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭，其中2k 不为零第二节相似矩阵与矩阵的对角化一、1.=； 2.24； 3. 1 二、BCAB三、1. 可对角化且123105(,,)40518112P ξξξ-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭==，1023P AP -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭=； 2. 可对角化且123111(,,)101012P ξξξ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭==，1224P AP --⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭= 3. 不可对角化四、200420411A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭五、〔1〕56a ,b ==；(2) 111102013C --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭第三节实对称矩阵的对角化一、1.线性无关； 2.正交； 3.3二、12341,535203P P AP -⎛ -⎛⎫⎪==⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭. 三、〔1〕0,0αβ==；〔2〕00100P ⎛= ⎪ ⎪ ⎝ 综合练习题五一、1.3-； 2.2,3-； 3. 2,1,1； 4.1P ξ-； 5.5 二、DCBC 三、1a =- 四、0，1，1五、〔1〕12322βξξξ=-+；〔2〕12132223223223n n n n n n n A β+++++⎛⎫-+ ⎪=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭六、 A 不可对角化七、42414114142413414142k k k k k k kkk k A ⎡⎤+--⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦八、231110,01k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中23,k k 不全为零.九、略第六章二次型第一节二次型及其矩阵一、〔√〕〔√〕〔×〕〔×〕〔×〕二、1. 222123123121323(,,)23468f x x x x x x x x x x x x =+++++ 2.222123412412142334(,,,)3258264f x x x x x x x x x x x x x x x =++++++ 3. 2212313121323(,,)2264f x x x x tx x x x x ax x =++++ 三、1.112312323211(,,)(,,)121112x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，秩为22. 121234123434570025602(,,,)(,,,)200002003x xf x x x x x x x x x x⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪=⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦，秩为3 第二节化二次型为标准形一、1. 22212324f y y y =-+；1123212331231(22)31(22)31(22)3x y y y x y y y x y y y ⎧=++⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=-++⎪⎩；2. 222123009f y y y =++；112321233123x y y y x y y y x 0y y y ⎧-+⎪⎪⎪+-⎨⎪⎪=++⎪⎩二、1. 22212344f =-+y y y ；11232233322x y y y x y y x y -+⎧⎪=-⎨⎪=⎩=2. 2221232f y y y =++；112233*********x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3. 222123228f z z z =-+；112233113111012x z x z x z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭第三节二次型的标准形与惯性定律一、1.2221231,2,1,z z z ---； 2.1； 3.3,2,1 二、DB三、由11223340131112231003x z x z x z ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭得222123f z z z =-+；正惯性指数为2；负惯性指数为1. 第四节正定二次型一、1. t ；2. 2t >；3. 是；是；4.2- 二、DCD 三、正定综合练习题六一、1. 2222123412343756f (y ,y ,y ,y )y y y y =-++；222212341234f (z ,z ,z ,z )z z z z =-++；32.1a ≠ 二、BD三、221222f z z =-；112233*********x z x z x z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 四、2a =；11223310000x y x y x y ⎛⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎝；22212325f y y y =++。

一本线性代数练习一参考答案

一本《线性代数》练习一答案（共4页）一、单项选择题（4×5=20分）1. 行列式1026341953-的元素6的代数余子式等于( A )(A) 10 (B) －10 (C) 11 (D) －11 2. 设B A ,是n 阶方阵, 则下列结论正确的是( C )(A) T T T B A AB =)( (B) 222)(A B AB = (C) T T T A B AB =)((D) 111)(---=B A AB3. 设A 为n 阶非奇异矩阵, 则下列说法错误的是( B )(A) 0≠A (B) 0=Ax 有非零解 (C) n A R =)((D) A 的特征值均非零4. A 是n 阶正交矩阵, 则下列结论不正确的是( A )(A) A A =2(B) 1-A 也是正交矩阵(C) 1±=A (D) A 的列向量组是n R 的一个标准正交基 5. 设A 为3×4维矩阵, 且3)(=A R , 则A 的标准形为( B )(A)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001 (B)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010********* (C)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛030000300003 (D)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000000003二、填空题(4×5=20分)6. 向量(2,3)-在2R 中的一组基12(1,1),(2,0)αα=-=下的坐标是 3, 1/27. 设321,,λλλ为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=640151243A 的全部特征值, 则=++321λλλ 28. 已知A 为3阶方阵, 且2=A , 则23A = 1089. 已知B A ,均为3阶方阵, 且2)(=A R ,B 可逆, 则)(AB R = 210. A 是n m ⨯维矩阵, 且r A R =)(, 则方程组0=Ax 的解空间的维数是r n - 三、计算题(8×3=24分)11. 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=121201111A 的逆矩阵. 解：,1-=A (3分) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1121232341A (5分)12. 计算行列式4321343223431234的值解：4321343223431234=4321521010620151050---------（3分）521021000)1(521106215105)1(14-----=----------=+（3分）2002100=-=（2分） 13. 求向量组)1,1,1(),2,1,0(,)3,2,1(321===ααα的秩和一个最大无关组.解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==000110101220110101123112101,321），（TT T A ααα（5分），→→=21,,2)(ααA R 或（→→→→3231,;,αααα）是一个最大无关组（3分）。

线代习题一答案周勇朱砾版新版.doc

《线性代数》（周勇）习题详解习题一1、2 1（1）2 2 1 1 5= ×（- ）= ×- = ;- 1 2x- 1 1（2）( )2 22 = x- 1 (x + x +1)- 1x = x3-2x x + x+1x2- 1；(3)a b2 2 = ab2- a2b ；a b1 1 1(4) 3 1 4 = 1×1×5+1×4×8 +1×3×9 - 1×1×8- 1×3×5- 4×9×1= 58 9 50 a 0b 0 c(5) =0 ×0×0+a×c×0+b ×d×0-0×0 ×0-a×b ×0-c×d ×0=00 d 01 2 33 1 2 =1 ×1 ×1+2 ×2×2+3 ×3 ×3-3×2 ×1-2×3 ×1-2×3×1=18 (6)2 3 12、解：（1）对排列34215 而言，3 与2,1 分列构成一个逆序，4 与2,1 也分别构成一个逆序，2 与1 也构成一个逆序，所以（τ34215）= 5 .（2）对排列4312 而言，4 与3,1,2 分别构成一个逆序，3 与1,2 也分别构成一个逆序，所以（τ4312）= 5 .（3）对排列n（n-1）⋯ 2 1 而言n 与n-1，n-2，⋯,2,1 均构成一个逆序，其逆序数为n-1；n-1 与n-2，n-3，⋯，2,1 也分别构成一个逆序，其逆序数为n-2；依次类推，2 与1 也构成一个逆序，因此有τ［（n n- 1）⋯2×1］=（n- 1）+（n- 2）+⋯ + 2+1= n(n - 1)2（4）对排列1 3 ⋯（2n-1）（2n）⋯ 4 2 而言，3 与2 构成一个逆序，其逆序数为1；5 与4,2 分别构成一个逆序，其逆序数为2；⋯；2n-1 分别于2n-2,2n-4 ，⋯,4,2 分别构成一个逆序，其逆序数为n-1；2n-2 分别于2n-4，⋯，4,2 构成一个逆序，其逆序数为n-2；依次类推，4 与2 也构成一个逆序，其逆序数为1，因此有：τ［1（3 2n - 1）（2n）⋯ 4 2］= 1+ 2 +⋯ +（n - 1）+（n - 1）+（n - 2）+⋯ + 1= （n n - 1）3、解：在四阶行列式中，含因子a11a 的项只有两类，分别为23a11a23a32a和44a11a23a34a ，42下面分别判断这两项的符号，因行标排列已经是自然排列，故只需计算排列的逆序数，因为［（1324）=1，［（,1342）=2，所以含有 a a23的项分别为- a11 a23 a32 a44 和a11 a23 a34 a42 。

《线性代数》第1章习题详解

一、习题1参考答案1. 求下列排列的逆序数,并说明它们的奇偶性.（1）41253；（2）3712456；（3）57681234；（4）796815432 解（1）()4125330014τ=+++= 偶排列（2）()37124562500007τ=+++++= 奇排列（3）()576812344544000017τ=+++++++= 奇排列（4）()7968154326755032129τ=+++++++= 奇排列 2. 确定i 和j 的值,使得9级排列.(1)1274569i j 成偶排列; (2)3972154i j 成奇排列. 解 (1) 8,3i j == (2) 8,6i j == 3.计算下列行列式.（1） 412－3－（2） 2211a a a a ++-1 （3） cos sin sin cos x xx x -（5）2322a a bab （6） 1log log 3b aab （7） 000xy x z y z--- 解（1）131523125=⨯-⨯=- （2）4(3)2(1)4212=-⨯--⨯=-－3－（3）()22322211(1)11a a a a a a a a a a =-++-=--++-1 （4）22cos sin cos sin 1sin cos x x x x x x -=+= （5）233232220a a a b a b bab =-=（6）1log 3log log 2log 3b b aa ab a b=-=(7) 0000000xyxz xyz xyz y z -=+----=--4. 当x 取何值时3140010xx x≠ ？解因为314010xx x2242(2)x x x x =-=-所以当0x ≠且2x ≠时，恒有3140010xx x ≠5. 下列各项，哪些是五阶行列式ij a 中的一项；若是，确定该项的符号.1225324154(1);a a a a a 3112435224(2);a a a a a 4221351254(3)a a a a a解 (1)不是 (2)不是 (3)不是6. 已知行列式11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a ，写出同时含21a 和21a 的那些项，并确定它们的正负号.解 12213443a a a a (2143)2τ= 符号为正； 14213243a a a a (2134)1τ= 符号为负. 7. 用行列式定义计算下列行列式.(1) 11121314152122232425313241425152000000a a a a a a a a a a a a a a a a (2)020200002200(3) 01000200001000n n-解（1）行列式的一般项为12345()1122334455(1)j j j j j j j j j j a a a a a τ-若345,,j j j 中有两个取1,2列，则必有一个取自3,4,5列中之一的零元素，故该行列式的值为零，即原式0=（2）行列式中只有一项(3241)13223441(1)16a a a a τ-=不为零，所以原式16= （3）行列式的展开项中只有(2,3,4)11223341,1(1)(1)!n n n n n a a a a a n τ---=- 一项不为零，所以原式1(1)!n n -=-8. 用行列式性质计算下列行列式.(1) 111314895（2）1234234134124123（3）41241202105200117⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（4）2141312112325062⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5）ab ac aebd cd debf cf ef---（6）a b aa a bb a aa b a解 (1) 111314895321331r rr r--111021013--232r r-111005013--23r r↔111013005---5=(2)12342341341241232341c c c c+++10234103411041210123123413411014121123=121314r rr rr r-+-+-+123401131002220111------34222r rr r-+123401131000440004---160=(3)4124120210520011712r r↔12024124105200117-2131410r rr r--120207240152200117-----24r r↔120201170152200724----3242157r rr r++1202011700178500945342r r-12020117001500945=--(4) 2141312112325062-13r r↔1232312121415062--213141325r rr rr r---12320775032301098----------232r r -12320131032301098-3242310r r r r --123201310076002118----0=(5) abac ae bdcd de bfcfef---每列都提取公因式bc eadf bc e b c e ---每列都提取公因式111111111adfbce --- 1213r r r r ++11102020abcdef -23r r ↔11120002abcdef --4abcdef = (6）0000a b a a a b b a a a b a 4321r r r r +++2222000a b a b a b a ba a bb a a a b a ++++()11110200aa b a b b a a a ba =+121314ar r br r ar r -+-+-+()1111002000a b aa b a b b a b b a a --+----- 3232r r r r +-()11110020000a b aa b b b b b --+---=()2111100201100101a b a b a b --+--- 3424r r r ar ++()211110002200110101b a b a b -+---24c c ↔()211110101200110002b a b b a-+---()()2422224b a b b a b a b =+-=-9. 证明下列等式.(1) 111222222222111333333333a b c bc a c ab a bc a b c b c a c a b a b c =-+(2)11122122111211121112111221222122212221220000a a a a a a b b c c b b a a b b c c b b = (3) ax byay bzaz bxay bzaz bx ax by az bxax by ay bz +++++++++=33()xy z a b y z x zxy+(4) 222244441111a b c da b c d a b c d ()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d ⋅-+++ 证明（1）左式123123123321213132a b c b c a c a b a b c a b c a b c =++--- 133321233212332()()()a b c b c b a c a c c a b a b =---+-=222222111333333b c a c a b a b c b c a c a b -+=右式（2）1112212211121112212221220000a a a a c c b b c c b b 按第一行展开222111121112121111122221222121220000a a a c b b a c b b c b b c b b - 111211121122122121222122b b b b a a a a b b b b =-1112111221222122a ab b a a b b =(3) ax byay bzaz bxay bzaz bx ax by az bxax by ay bz +++++++++ 按第一列分开x ay bzaz bxa y az bx ax by z ax by ay bz ++++++ y ay bzaz bxb z az bx ax by x ax by ay bz +++++++2(0)xay bz z ay az bx x z ax by y +++++分别再分(0)yz az bxb z x ax by x y ay bz++++33x y z y z x a y z x b z x y zxy x yz +分别再分332(1)x y z x y za yz x b yz x z xy zxy=+-=右边 (4) 222244441111a b c d a b c d a b c d 213141c c c c c c --- 222222244444441000a b a c a d aa b a c a d a a b a c a d a --------- 按第一列展开222222222222222()()()b ac ad ab ac ad a b b a c c a d d a --------- 每列都提取公因式222111()()()()()()b ac ad a b a c a d a b b a c c a d d a ---++++++ 1213c c c c -+-+()()()b ac ad a ---222221()()()()()b ac bd bb b ac c a b b ad d a b b a +--++-++-+ 按第一列展开()()()()()b ac ad a c b d b -----222211()()()()c bc b a c bd bd b a d b ++++++++()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d -+++10.设行列式30453221--,求含有元素2的代数余子式的和. 解含有元素2的代数余子式是12222313A A A A +++()()()()345453343050111121212222--=-+-+-+---11161026=---=- 11. 设行列式3040222207005322=--D ,求第四行各元素余子式之和的值是多少? 解解法一：第四行各元素余子式之和的值为41424344M M M M +++040340300304222222222222700000070070=+++---780314(7)(1)(2)28=-⨯++⨯+-⨯-⨯-=-解法二：第四行各元素余子式之和的值为4142434441424344M M M M A A A A +++=-+-+3040222207001111=---按第3行展开32340(7)(1)222111+----232r r +340704111--按第2行展开34282811-=---12.已知 1012110311101254-=-D ,试求: (1) 12223242A A A A -+- (2) 41424344A A A A +++ 解 (1)方法一：虽然可以先计算处每个代数余子式,然后再求和,但是这很烦琐.利用引理知道，第一列每个元素乘以第二列的代数余子式的和等于零。

（完整版）线性代数习题集带答案

（完整版）线性代数习题集带答案第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n (C)k n 2! (D)k n n 2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2 n (C) )!2( n (D) )!1( n4．001001001001000( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 25.001100000100100( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211 a a a a a a a a a D ，则 323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 8．若a a a a a 22211211，则21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka (C)a k 2 (D)a k 29．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4 , 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2 , 则 x ( ).(A) 0 (B)3 (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)011. 若2235001011110403D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组00321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24 n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12 n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式100111010100111.6．行列式100002000010n n .7．行列式01)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D 333231232221131211，则 323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321D ，j A 4)4,3,2,1( j 为D 中第四行元的代数余子式，则44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321D ，j A 4为)4,3,2,1(4 j a j 的代数余子式，则4241A A ，4443A A .16．已知行列式nn D10301002112531 ，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组02023211321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 18．若齐次线性方程组230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a33332222; 2．yxyx x y x y y x y x ；3．解方程0011011101110 x x xx ； 4．1111111321221221221 n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x；5. na a a a111111111111210(n j a j ,,1,0,1 )； 6. bn b b)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b321222111111111； 8．xa a a a xa a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nn x x x x x x x x x x x x x x x ; 10.211200000210001210001211．aa a a a a aa a D110001100011000110001.四、证明题1．设1 abcd ，证明：011111111111122222222dddd c c c c b b b b a a a a . 2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x b a .3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a .4．nj i i jni in nn nn n n n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333 c b a c ba 的充要条件是0 cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“ ;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n ;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ; 8.M 3 ; 9.160 ; 10.4x ; 11.1)( n n ; 12.2 ;13.0; 14.0; 15.9,12 ; 16.)11(!1 nk k n ; 17.3,2 k ; 18.7 k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ； 2. )(233y x ； 3. 1,0,2 x ; 4.1)(n k kax5.)111()1(00nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ;7. nk k kna b1)()1(; 8. nk k nk k a x a x 11)()(;9. nk k x 11; 10. 1 n ;11. )1)(1(42a a a . 四. 证明题 (略)第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

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习题 1.11．计算下列二阶行列式．（1）5324；（2）ααααcos sin sin cos ．解（1）146205324=−=；（2）ααααcos sin sin cos αα22sin cos −=．2．计算下列三阶行列式．（1）501721332−−；（2）00000d c b a ；（3）222111c b a c b a ；（4）cb a b a ac b a b a a c b a ++++++232．解（1）原式62072)5(1)3(12317)3(301)5(22−=××−−××−−××−××−+××+−××=（2）原式00000000000=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d c b a c a d b ；（3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc −−−=−−−++=；（4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +−++++++++=3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++−+++−．3．用行列式解下列方程组．（1）⎩⎨⎧=+=+35324y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++82683321321321x x x x x x x x x ；（3）⎩⎨⎧=−=+0231322121x x x x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+=−−031231232132321x x x x x x x x ．解（1）75341−==D ，253421−==D ，333212−==D 所以721==D D x ，732==D D y ．（2）2121111113−==D ，21281161181−==D ，41811611832−==D ，68216118133−==D ；所以111==D D x ，222==D Dx ，333==DD x ．（3）132332−=−=D ，220311−=−=D ，303122−==D 所以1321==D D x ，1332==D D y ．（4）8113230121−=−−−=D ，81102311211−=−−−=D ，81032101112=−−=D ；20131301213=−=D 所以111==D D x ，122−==D Dx ，333==DD x ．4．已知xx x x x x f 21112)(−−−=，求)(x f 的展开式．解xxx x x x f 21112)(−−−=22)(11)(1)(111)(2)()(2⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−−⋅⋅+−⋅⋅−+⋅−⋅=x x x x x x x x x x xx x 23223+−−=5．设b a ,为实数，问b a ,为何值时，行列式010100=−−−a b b a ．解01010022=−−=−−−b a a b b a 0,022==⇒−=⇒b a b a ．习题 1.21．求下列各排列的逆序数．（1）1527364；（2）624513；（3）435689712；（4）)2(42)12(31n n L L −．解（1）逆序数为14；62421527364it ↓↓↓↓↓↓↓ （2）逆序数为5；311624513it ↓↓↓↓↓↓ （3）逆序数为19；554310010435689712it ↓↓↓↓↓↓↓↓↓（4）逆序数为2)1(−n n ：2122210000421231↓↓−−−↓↓↓↓↓−n n n n t n i L L L L2．在由9,8,7,6,5,4,3,2,1组成的下述排列中，确定j i ,的值，使得（1）9467215j i 为奇排列；（2）4153972j i 为偶排列．解（1）j i ,为分别3和8；若8,3==j i ，则93411)946378215(=+++=τ，为奇排列；若3,8==j i ，则1234311)946873215(=++++=τ，为偶排列；（2）j i ,为分别6和8；若8,6==j i ，则205135231)397261584(=++++++=τ，为偶排列；若6,8==j i ，则215335131)397281564(=++++++=τ，为奇排列；3．在五阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？（1）5145342213a a a a a ；（2）2544133251a a a a a ；（3）2344153251a a a a a ；（4）4512345321a a a a a ．解（1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号；（2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号；（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号；（4)因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．4．下列乘积中，那些可以构成相应阶数的行列式的项?为什么？（1）12432134a a a a ；（2）14342312a a a a ；（3）5514233241a a a a a ；（4）5512233241a a a a a ．解（1）可以，由于该项的四个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（2）不可以，由于14342312a a a a 中的1434a a 都位于第四列，所以不是四阶行列式的项；（3）可以，由于该项的五个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（4）不可以，由于5512233241a a a a a 中没有位于第四列的元素。

线性代数第一章习题答案

线性代数第一章习题答案习题1：向量空间的定义向量空间是一个集合V，配合两个运算：向量加法和标量乘法，满足以下公理：1. 向量加法的封闭性：对于任意的u, v ∈ V，有u + v ∈ V。

2. 向量加法的结合律：对于任意的u, v, w ∈ V，有(u + v) + w = u + (v + w)。

3. 向量加法的交换律：对于任意的u, v ∈ V，有u + v = v + u。

4. 存在零向量：存在一个向量0 ∈ V，使得对于任意的v ∈ V，有v + 0 = v。

5. 每个向量都有一个加法逆元：对于任意的v ∈ V，存在一个向量w ∈ V，使得v + w = 0。

6. 标量乘法的封闭性：对于任意的实数k和向量v ∈ V，有k * v∈ V。

7. 标量乘法的结合律：对于任意的实数k, l和向量v ∈ V，有(k * l) * v = k * (l * v)。

8. 标量乘法与向量加法的分配律：对于任意的实数k和向量u, v ∈ V，有k * (u + v) = k * u + k * v。

9. 单位标量乘法：对于任意的向量v ∈ V，有1 * v = v。

习题2：线性组合与线性无关线性组合是指由向量空间中的向量，通过加法和标量乘法组合而成的向量。

如果一组向量\{v_1, v_2, ..., v_n\}的任何非平凡线性组合（即不是所有标量系数都是零的组合）都不能得到零向量，那么这组向量就是线性无关的。

习题3：基与维数基是向量空间中的一组线性无关的向量，任何该空间中的向量都可以唯一地表示为这组向量的线性组合。

向量空间的维数是其基中向量的数量。

习题4：线性映射的定义与性质线性映射是一个函数T: V → W，它将向量空间V中的向量映射到向量空间W中的向量，并且满足以下性质：1. 对于任意的u, v ∈ V，有T(u + v) = T(u) + T(v)。

2. 对于任意的实数k和向量v ∈ V，有T(k * v) = k * T(v)。

线性代数习题一答案

线性代数习题一答案线性代数习题一答案线性代数是数学中非常重要的一个分支，它在各个领域中都有广泛的应用。

通过解决线性代数习题，我们可以更好地理解和掌握线性代数的基本概念和方法。

下面是一些线性代数习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 证明线性空间的加法交换律和结合律。

解答：设V是一个线性空间，对于任意的向量a、b、c∈V，我们需要证明加法交换律和结合律。

（1）加法交换律：即a+b=b+a。

证明：根据线性空间的定义，我们有a+b∈V，b+a∈V。

而且根据加法的定义，a+b=b+a，所以加法交换律成立。

（2）加法结合律：即(a+b)+c=a+(b+c)。

证明：根据线性空间的定义，我们有(a+b)+c∈V，a+(b+c)∈V。

而且根据加法的定义，(a+b)+c=a+(b+c)，所以加法结合律成立。

2. 设A是一个3×3矩阵，证明A的转置矩阵的转置等于A本身。

解答：设A=[a_ij]是一个3×3矩阵，A的转置矩阵记为A^T=[b_ij]。

我们需要证明(A^T)^T=A。

根据矩阵转置的定义，A^T的第i行第j列元素等于A的第j行第i列元素，即b_ij=a_ji。

同样，(A^T)^T的第i行第j列元素等于A^T的第j行第i列元素，即c_ij=b_ji。

由于b_ij=a_ji，所以c_ij=a_ji。

而对于A的第i行第j列元素来说，既等于a_ij，又等于c_ij。

因此，A的转置矩阵的转置等于A本身，即(A^T)^T=A。

3. 设A是一个2×2矩阵，证明若A^2=0，则A=0。

解答：设A=[a_ij]是一个2×2矩阵，A的平方记为A^2=[b_ij]。

我们需要证明若A^2=0，则A=0。

根据矩阵乘法的定义，A^2的第i行第j列元素等于A的第i行与第j列的乘积之和，即b_ij=a_i1*a_1j+a_i2*a_2j。

由于A^2=0，所以b_ij=0。

对于A的第i行第j列元素来说，既等于a_ij，又等于b_ij。

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解：
=
（3 分）
2 3 4 3 0 1 2 5
1234 1 2 3 4
5 10 15
0 0 10
(1)41 2 6 10 (1) 0 2 0 （3 分）
1分） 2 0
13. 求向量组1 (1, 2,3) , 2 (0,1, 2), 3 (1,1,1) 的秩和一个最大无关组.
一本《线代》练习一答案第 3页（共 4 页）
3
17. 已知向量组1, 2 ,, r 线性无关,证明向量组 1 1, 2 1 2 , ,
r 1 2 r 也线性无关.
1 0
1 1
1 1
证明：因为 (1, 2 ,, r ) (1, 2 ,, r ) 0 0 1 (3 分), 1
(B) ( AB)2 B 2 A2
(C) ( AB)T BT AT
(D) ( AB)1 A1 B 1
3. 设 A 为 n 阶非奇异矩阵, 则下列说法错误的是( B )
(A) A 0
(B) Ax 0 有非零解
(C) R( A) n
(D) A 的特征值均非零
4. A 是 n 阶正交矩阵, 则下列结论不正确的是( A )
3 0 0 0 (C) 0 3 0 0
0 0 3 0
3 0 0 0 (D) 0 0 0 0
0 0 0 0
二、填空题(4×5=20 分)
6.
向量 (2,
3)
在
R
2
中的一组基
1
(1, 1),
2
(2, 0) 下的坐标是
3, -1/2
3 4 2 7. 设 1 , 2 , 3 为 A 1 5 1 的全部特征值, 则 1 2 3 2
(A) A2 A
(B) A1 也是正交矩阵
(C) A 1
(D) A 的列向量组是 R n 的一个标准正交基
5. 设 A 为 3×4 维矩阵, 且 R( A) 3 , 则 A 的标准形为( B )
1 0 0
1 0 0 0
(A) 0 1 0 (B) 0 1 0 0
0 0 1
0 0 1 0
f
x12
2x1 x3
2x2 x3
x
2 2
2x32 为标准形.
1 0 1 解：二次型的矩阵 A 0 1 1 ，由特征方程 A 0 ，即
1 1 2
( 1)( 3) 0 解得特征值 1 0, 2 1, 3 3, （3 分）
求得 1 0 的特征向量为 (1,1,1)T ,
单位化得 p1
0 4 6 8. 已知 A 为 3 阶方阵, 且 A 2 , 则 3A2 = 108
9. 已知 A, B 均为 3 阶方阵, 且 R( A) 2 , B 可逆, 则 R( AB) = 2
一本《线代》练习一答案第 1页（共 4 页）
1
10. A 是 m n 维矩阵, 且 R( A) r , 则方程组 Ax 0 的解空间的维数是 n r
二次型的标准形为 y22 3y32 （1 分）。五、证明题(9×2=18 分) 16. 设方阵 A 满足 A2 A 3I O ，证明 A I 是可逆矩阵.
证明：由 A2 A 3I O ，得 A2 A 2I I （5 分），
即 ( A 2I )( A I ) I ，所以 A I 是可逆矩阵(4 分).
一本《线代》练习一答案（共 4 页）
一、单项选择题（4×5=20 分） 1 0 2
1. 行列式 6 3 4 的元素 6 的代数余子式等于( A ) 19 5 3
(A) 10
(B) －10
(C) 11
2. 设 A, B 是 n 阶方阵, 则下列结论正确的是( C )
(D) －11
(A) ( AB)T AT BT
三、计算题(8×3=24 分) 1 1 1
11. 求矩阵 A 1 0 2 的逆矩阵. 1 2 1
解： A 1, (3 分)
A 1
4 3
3 2
2 1 (5 分)
2 1 1
4321
3432
12. 计算行列式
的值
2343
1234
4 3 2 1 0 5 10 15
3 4 3 2 0 2 6 10
0
0 1
记上式右端 r 阶矩阵为 C , 因为 C 0 , 故 C 可逆(3 分), 从而
R(1, 2 ,, r ) R(1, 2 ,, r ) r , 向量组 1, 2 ,, r 线性无关(3 分).
一本《线代》练习一答案第 4页（共 4 页）
4
（3）当 1 时， R( A) R( Ab) 1 3, 方程组有无穷多解 , 同解方程组为
x1 x2 x3 2, 通解为 x (2,0,0)T k1 (1,1,0)T k2 (1,0,1)T , k1, k2 R.（3 分）
15.
用正交变换化二次型
线性方程组
xx11
x2 x3 3 x2 x3 2
有唯一解,
无解或无穷多解?
x1 x2 x3 2
有无穷多解时求出通解.
一本《线代》练习一答案第 2页（共 4 页）
2
11 解： A 1 1 ( 2)( 1)2 . （2 分）
11
（1）当 2且 1时，方程组有唯一解（2 分）；（2）当 2 时， R( A) 2, R( Ab) 3 ，方程组无解（2 分）；
1 0 1 1 0 1 1 0 1
解：
A
（
T 1
，
T 2
,
3T）
2
1 1 0
1
1 0
1
1 （5 分），
3 2 1 0 2 2 0 0 0
R( A) 2, 1, 2 或（1, 3 ; 2 , 3 ）是一个最大无关组（3 分）。
四、解答题(9×2=18 分)
14.
取何值时,
1 (1,1,1)T ; 3
2 1的特征向量为 (1,1,0)T ,
单位化得 p2
1 (1,1,0)T ; 2
3 3 的特征向量为 (1,1,2)T ,
单位化得 p3
1 (1,1,2)T , 因此有 6
1
3
P
1
3 1
3
1
2 1
2
0
1
6 1
6 2
6
，使得
P 1
AP
0
1
（5 分）。 3