中山大学考研数学分析2011年真题及答案

中山大学2011年数学分析真题
题目
一、（每小题6分，共48分） （1） 求极限lim
x→0√1−x 2−1xtanx
； （2） 计算积分∫
sinxcosx 1+sin 4x
dx π
2
0；
（3） 已知∑(−1)n
a n ∞n=1=A ，∑a 2n−1=B ∞n=1，求级数∑a n ∞n=1的和；
（4） 计算∬(2x +43y +z)dS S
，其中S 为平面x 2+y 3+z
4=1在第一卦限部分； （5）
计算∫√x 2+y 2dx +y (xy +ln(x +√x 2+y 2))dy L ，其中L 为曲线y =sinx(0≤
x ≤π)按x 增大方向； （6） 判断级数∑n √n−lnn
∞是绝对收敛，条件收敛还是发散？
（7） 设{x =t 3−3t y =t 2+2t
，求二阶导数d 2y dx 2； （8）
求数列极限lim n→∞
12·34····
2n−12n。

二、设f (x,y )=√|xy |，求偏导数ðf ðx ,
ðf ðy
，指出它们的定义域及连续性，并讨论f (x,y )在点
(0,0)处的可微性。

三、设f (x )满足 （1） −∞<a ≤f (x )≤b <+∞
（2）
|f (x )−f (y )|≤L |x −y |，0<L <1；x,yϵ[a,b]
任取x 1ϵ[a,b]，做序列x n+1=12
(x n +f (x n ))，n =1,2,…。

求证{x n }收敛，且其极限ξϵ[a,b]满足：f (ξ)=ξ。

四、设正项数列{x n }单调递增，且lim n→∞
x n =+∞，证明∑(1−
x n x n+1
)∞n=1发散。

五、已知P 是∠AOB 内固定点，∠AOP =α,∠BOP =β，线段长度OP
̅̅̅̅=L ，过P 的直线交射线OA 和OB 与点X 与Y ，求线段长度乘积PX
̅̅̅̅·PY ̅̅̅̅的最小值，说明取最值时X ，Y 的位置。

六、计算曲面积分I =∬4zdydz −2zydzdx +(1−z 2
)dxdy Ω，其中Ω是由曲线{z =e y x =0
,(0≤y ≤a)绕z 轴旋转一周所成曲面下侧。

七、设f 1(x )=f (x )=
√1+x 2
f n+1(x )=f(f n (x )),n =1,2,…，证明函数项级数f 1(x )+
∑(f n+1(x )−f n (x ))∞n=1在(−∞,+∞)上一致收敛于0。

八、设0<x <
1，求∑x 2n
1−x 2
n+1∞
n=0的和函数。

参考答案
一、1 （1） lim
x→0√1−x 2−1
xtanx
=lim x→0−
12x 2
x 2
=−1
2
（2） ∫
sinxcosx 1+sin 4x
dx π
2
0=1
2
∫dsin 2x 1+sin 4x
π2
=1
2
arctansin 2
x |0π2
=π
8
（3）
∑a 2n−1∞n=1=B ，∑(−1)n a n ∞n=1=A ，于是，∑a 2n ∞n=1是收敛的，并且
A =∑(−1)n a n ∞
n=1
=−∑a 2n−1∞
n=1
+∑a 2n ∞
n=1
=∑a 2n ∞
n=1
−B ，
故∑a 2n ∞n=1=A +B ，故∑a n ∞
n=1收敛，且
∑a n ∞
n=1
=∑a 2n−1∞
n=1+∑a 2n ∞
n=1
=B +A +B =A +2B
（4）
S 为平面x 2+y
3+z
4=1在第一卦限的部分，其面积为
∬√1+z x 2+z y 2dxdy x 2+y 3≤1x,y≥0
=∬√1+(−2)2+(−43)2
dxdy x 2+y 3≤1x,y≥0
=√613×12×2×3=√61
于是，∬(2x +4
3y +z)dS S =4∬dS S
=4√61 （5）
记P (x,y )=√x 2+y 2，Q (x,y )=yln(x +√x 2+y 2)，(x,y)≠(0,0)，则P,Q 具有
连续的一阶偏导数，且，∂P
ðy =ðQ
ðx =
√x 22。

记L ε为曲线L 在点ε≤x ≤π的一段，K ε为从
点(ε,sinε)到(ε,0)，再从(ε,0)到(π,0)的折线段，于是，∫Pdx +Qdy L ε
=∫Pdx +Qdy OA ̅̅̅̅。

由于|yln(x +√x 2+y 2)|≤|(x +√x 2+y 2)ln(x +√x 2+y 2)|→0,x →0+,y →0+，故,∫Pdx +Qdy L =lim ε→0
+∫Pdx +Qdy L ε
，lim ε→0+∫Pdx +Qdy K
ε
=∫Pdx +Qdy OA ̅̅̅̅， 其中，A 为(π,0)，故
∫Pdx +Qdy L =∫Pdx +Qdy OA ̅̅̅̅=∫Pdx OA ̅̅̅̅=∫xdx π
=12π2
另外，∫xy 2dy L =∫xsin 2xcosxdx π0=13∫xdsin 3x π0=13xsin 3x |0π−13∫sin 3x dx π0=−4
9 故原式1
2
π2−4
9。

（6） (√x −lnx)′
=
2√x
1
x
=
√x−2
2x
，当x >4时，(√x −lnx)′
>0，√x −lnx 在[4,+∞)上
严格单调递增，当0<x <4时，(√x −lnx)′
<0，√x −lnx 在(0,4]上严格单调递减。

lim n→∞
√n −lnn =+∞，故n 充分大后，{√n−lnn
}为严格单调递减的正数列，且lim √n−lnn
=
0，由莱布尼兹判别法，∑n √
n−lnn
∞|n √
n−lnn
|√
n
∑√n
∞∑|n
√
n−lnn
|∞n=1发散，故∑n
√n−lnn
∞条件收敛。

（7）
{x =t 3−3t y =t 2+2t ，dx dt
=3t 2
−3，d 2x dt 2=6t ，dy dt =2t +2，d 2y dt 2=2，于是， d 2y dx 2=d 2y dt 2dx dt −d 2x
dt 2dy dt (dx dt )
3
=2(3t 2−3)−6t(2t +2)(3t 2−3)3=
−6t 2−12t −6
27(t 2−1)3=−6(t +1)227(t +1)3(t −1)3=−29(t +1)(t −1)3
（8）
0<(12·3
4····
2n−12n
)2=12123434···
2n−12n 2n−12n
<
12233445
···
2n−12n 2n 2n+1
=
12n+1
→0
故lim n→∞
(12·34····
2n−12n
)2=0，故lim n→∞
1
2·3
4····
2n−12n
=0。

二、xy ≠0时，f (x,y )=√|xy |，f x (x,y )=
√|y |2√|x |
f y (x,y )=
√|x |2√|y |
，都是连续的。

y ≠0时，lim x→0
f (x,y )−f (0,y )
x =lim x→0
√|xy |x
是不存在的，故f x (0,y )不存在。

x ≠0时，lim
y→0f (x,y )−f (x,0)
y
=lim
y→0
√|xy |y
是不存在的，故f y (x,0)不存在。

f x (0,0)=lim x→0f (x,0)−f (0,0)x
=lim x→00−0
x =0
f y (0,0)=lim y→0f (0,y )−f (0,0)y =lim y→00−0
y =0
f x (x,y )|x=y>0=
()|y |||x=y>0=
1
2
≠f x (0,0) f y (x,y )|x=y>0=
()||2√|y |
x=y>0=
1
2
≠f y (0,0)
故f x (x,y )和f y (x,y )在(0,0)不连续。

综上所述，f x (x,y )，f y (x,y )均只在xy ≠0处是连续的。

(x,y )≠(0,0)x y √x 2+y 2
=√
|xy |x 2+y 2
，
x =y >0时，√
|xy |x 2+y
2=
1
2
≠0，故 lim
(x,y )f (x,y )−f (0,0)−f (0,0)x −f (0,0)y
2
2
≠0
故f (x,y )在(0,0)是不可微的。

三、记g (x )=
x+f (x )2
，xϵ[a,b]，由(1)，f(x)ϵ[a,b]，故g(x)ϵ[a,b]，故g(x)是从[a,b ]到[a,b]
的。

对任意x,yϵ[a,b]，由(2)，
|g (x )−g (y )|=|x +f (x )2−y +f (y )2|≤1
2
[|x −y |+|f (x )−f (y )|]
≤12[|x −y |+L |x −y |]=
1+L
2
|x −y |
由于0<L <1，故1
2<
1+L 2
<1，故g (x )为从[a,b]到[a,b]的压缩映像。

由压缩映像原理，
g (x )有唯一的不动点，记为ξ，且{x n }收敛于该不动点。

ξ=g (ξ)=ξ+f (ξ)2
，故f (ξ)=ξ。

四、正项数列{x n }单调增，故级数∑(1−x n
x
n+1
)∞n=1为正项级数，其收敛性和级数∑ln⁡
[1−∞n=1(1−x n
x
n+1
)]=∑ln x n
x
n+1
∞n=1的收敛性是一样的。

由于lim n→∞
x n =+∞，故lim n→∞
∑ln x k
x
k+1
n k=1=
lim n→∞
ln x 1
x
n+1
=−∞，故∑ln x n
x n+1
∞n=1是发散的，故∑(1−x n
x
n+1
)∞n=1是发散的。

五、记∠OPX =θ，则∠OPY =π−θ，由正弦定理，
PX ̅̅̅̅sinα=OP ̅̅̅̅sin∠OXP =L sin (π−α−θ)=L sin (α+θ)，PX ̅̅̅̅=sinαL
sin (α+θ)
，
PY ̅̅̅̅sinβ=OP ̅̅̅̅sin∠OYP =L sin (θ−β)，PY ̅̅̅̅=sinβL
sin (θ−β)
，
于是，
PX
̅̅̅̅·PY ̅̅̅̅=sinαL sin (α+θ)·sinβL
sin (θ−β)
，
sin (α+θ)sin (θ−β)=
cos (α+β)−cos⁡(2θ+α−β)
2
，
当且仅当2θ+α−β=π，即θ=π
2−(α
2−β
2)时，sin (α+θ)sin (θ−β)取得最大值，为
cos (α+β)+1
2
=cos 2
α+β2
，PX ̅̅̅̅·PY ̅̅̅̅取得最小值sin αsinβL 2
cos
2α+β
2
，取最值时， θ=
π2−(α2−β
2
)，
PX
̅̅̅̅=sin αL⁡sin (α+θ)=sin αL⁡sin (α+π2−α2+β2)=sin αL⁡
cos (α2+β2)
，
PY
̅̅̅̅=sin βL⁡sin (θ−β)=sin βL⁡sin (π2−α2+β2−β)=sin βL⁡
cos (α2+β2
)。

六、记Ω1为x 2+y 2≤a 2,z =e a ，取上侧，V 为Ω与Ω1围成的立体，于是， ∬4zdydz −2zydzdx +(1−z 2)dxdy Ω1
=∬
(1−e 2a )dxdy x 2+y 2≤a 2
=πa 2(1−e 2a )，
由Gauss 公式，有
I =(∬
−Ω∪Ω1
∬)4zdydz −2zydzdx +(1−z 2)dxdy
Ω1
=∭[4ðz ðx −2ð(zy )ðy +ð(1−z 2)
ðz ]dxdydz +V πa 2(e 2a −1)
=−4∭zdxdydz V +πa 2(e 2a −1)
=−4∫zdz e a
1∫
dxdy x 2+y 2≤ln 2z
+πa 2(e 2a −1)
=−4π∫z e a
1
ln 2z dz +πa 2(e 2a −1)
∫z e a
1ln 2z dz =∫e t t 2de t a
0=12∫t 2de 2t a 0=12t 2e 2t |0a
−12∫e 2t dt 2a 0=12a 2e 2a −∫te 2t dt
a 0=12a 2e 2a −12∫tde 2t a 0=12a 2e 2a −12te 2a |0a +12∫e 2t dt a
0=12a 2e 2a −12ae 2a +14e 2a −14
故
I =−4π(12a 2e 2a −12ae 2a +14e 2a −1
4
)+πa 2(e 2a −1)=−(a −1)2πe 2a +(1−a 2)π
七、
f 1(x )+∑(f k+1(x )−f k (x ))n
k=1
=f n+1(x )
问题即证明{f n (x )}在(−∞,+∞)上一致收敛于0。

|f n+1(x )|=|f(f n (x ))|=|f (x )|
√1+f n 2(x
)≤|f n (x )|
定义数列a 1=1,a n+1=f (a n )，则0<a n <1，n >1，a n+1=f (a n )<a n ，故{a n }为单调递减的有下界数列，故有极限，设极限为A ，则A =
√1+A 2
，可得A =0。

f (x )在[0,+∞)上严格单调递减且非负，|f 1(x )|<1=a 1，故
|f 2(x )|=f (|f 1(x )|)<f (a 1)=a 2，
|f 3(x )|=f (|f 2(x )|)<f (a 2)=a 3， |f 4(x )|=f (|f 3(x )|)<f (a 3)=a 4， …………………………………………，
归纳可得|f n (x )|<a n 。

事实上，|f 1(x )|<a 1。

假设|f n (x )|<a n 。

，则|f n+1(x )|=f(f n (x ))<f (a n )=a n+1。

故|f n (x )|<a n 对任意nϵN +均成立。

又lim n→∞
a n =0，故{f n (x )}在(−∞,+∞)上一致收敛于0，
即f 1(x )+∑(f n+1(x )−f n (x ))+∞n=1在(−∞,+∞)上一致收敛于0。

八、
1
1−x 2
n
−
11−x 2
n+1
=
11−x 2
n
−1
(1−x 2n )(1+x 2n )=1+x 2n
−1
(1−x 2n )(1+x 2n )=
x 2
n 1−x 2
n+1
x 2n
1−x 2n+1=11−x 2n −1
1−x 2
n+1， ∑x 2
k 1−x 2
k+1n
k=0=∑(11−x 2k −11−x 2k+1n k=0)=11−x −11−x 2n+1→11−x −1=x 1−x
故∑x 2n
1−x 2
n+1
∞
n=0=x
1−x 。