中山大学考研数学分析2011年真题及答案

中山大学2011年数学分析真题

题目

一、（每小题6分，共48分） （1） 求极限lim

x→0√1−x 2−1xtanx

； （2） 计算积分∫

sinxcosx 1+sin 4x

dx π

2

0；

（3） 已知∑(−1)n

a n ∞n=1=A ，∑a 2n−1=B ∞n=1，求级数∑a n ∞n=1的和；

（4） 计算∬(2x +43y +z)dS S

，其中S 为平面x 2+y 3+z

4=1在第一卦限部分； （5）

计算∫√x 2+y 2dx +y (xy +ln(x +√x 2+y 2))dy L ，其中L 为曲线y =sinx(0≤

x ≤π)按x 增大方向； （6） 判断级数∑n √n−lnn

∞是绝对收敛，条件收敛还是发散？

（7） 设{x =t 3−3t y =t 2+2t

，求二阶导数d 2y dx 2； （8）

求数列极限lim n→∞

12·34····

2n−12n

。 二、设f (x,y )=√|xy |，求偏导数ðf ðx ,

ðf ðy

，指出它们的定义域及连续性，并讨论f (x,y )在点

(0,0)处的可微性。

三、设f (x )满足 （1） −∞

（2）

|f (x )−f (y )|≤L |x −y |，0

任取x 1ϵ[a,b]，做序列x n+1=12

(x n +f (x n ))，n =1,2,…。求证{x n }收敛，且其极限ξϵ[a,b]满足：f (ξ)=ξ。

四、设正项数列{x n }单调递增，且lim n→∞

x n =+∞，证明∑(1−

x n x n+1

)∞n=1发散。

五、已知P 是∠AOB 内固定点，∠AOP =α,∠BOP =β，线段长度OP

̅̅̅̅=L ，过P 的直线交射线OA 和OB 与点X 与Y ，求线段长度乘积PX

̅̅̅̅·PY ̅̅̅̅的最小值，说明取最值时X ，Y 的位置。 六、计算曲面积分I =∬4zdydz −2zydzdx +(1−z 2

)dxdy Ω，其中Ω是由曲线{z =e y x =0

,(0≤y ≤a)绕z 轴旋转一周所成曲面下侧。

七、设f 1(x )=f (x )=

√1+x 2

f n+1(x )=f(f n (x )),n =1,2,…，证明函数项级数f 1(x )+

∑(f n+1(x )−f n (x ))∞n=1在(−∞,+∞)上一致收敛于0。 八、设0

1，求∑x 2n

1−x 2

n+1∞

n=0的和函数。 参考答案

一、1 （1） lim

x→0√1−x 2−1

xtanx

=lim x→0−

12x 2

x 2

=−1

2

（2） ∫

sinxcosx 1+sin 4x

dx π

2

0=1

2

∫dsin 2x 1+sin 4x

π2

=1

2

arctansin 2

x |0π2

=π

8

（3）

∑a 2n−1∞n=1=B ，∑(−1)n a n ∞n=1=A ，于是，∑a 2n ∞n=1是收敛的，并且

A =∑(−1)n a n ∞

n=1

=−∑a 2n−1∞

n=1

+∑a 2n ∞

n=1

=∑a 2n ∞

n=1

−B ，

故∑a 2n ∞n=1=A +B ，故∑a n ∞

n=1收敛，且

∑a n ∞

n=1

=∑a 2n−1∞

n=1+∑a 2n ∞

n=1

=B +A +B =A +2B

（4）

S 为平面x 2+y

3+z

4=1在第一卦限的部分，其面积为

∬√1+z x 2+z y 2dxdy x 2+y 3≤1x,y≥0

=∬√1+(−2)2+(−43)2

dxdy x 2+y 3≤1x,y≥0

=√613×12×2×3=√61

于是，∬(2x +4

3y +z)dS S =4∬dS S

=4√61 （5）

记P (x,y )=√x 2+y 2，Q (x,y )=yln(x +√x 2+y 2)，(x,y)≠(0,0)，则P,Q 具有

连续的一阶偏导数，且，∂P

ðy =ðQ

ðx =

√x 22

。记L ε为曲线L 在点ε≤x ≤π的一段，K ε为从

点(ε,sinε)到(ε,0)，再从(ε,0)到(π,0)的折线段，于是，∫Pdx +Qdy L ε

=∫Pdx +Qdy OA ̅̅̅̅。

由于|yln(x +√x 2+y 2)|≤|(x +√x 2+y 2)ln(x +√x 2+y 2)|→0,x →0+,y →0+，故,∫Pdx +Qdy L =lim ε→0

+∫Pdx +Qdy L ε

，lim ε→0+∫Pdx +Qdy K

ε

=∫Pdx +Qdy OA ̅̅̅̅， 其中，A 为(π,0)，故

∫Pdx +Qdy L =∫Pdx +Qdy OA ̅̅̅̅=∫Pdx OA ̅̅̅̅=∫xdx π

=12π2