《广义矩估计》PPT课件
矩法估计PPT课件
点 估 计 问 题 就 是 要 构 造 一 个 适 当 的 统 计 量
ˆ(1,2,L,n),用 它 的 观 察 值 ˆ(x1,x2,L,xn) 来 估 计 未 知 参 数 .
ˆ(1 ,2 ,L ,n )称 为 的 估 计 量 . 通 称 估 计 ,
ˆ ( x 1 ,x 2 ,L ,x n ) 称 为 的 估 计 值 . 简 记 为 ˆ.
.
5
二、估计量的求法
由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故 对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 求估 计量的问题是关键问题.
点估计的求法: (两种) 矩估计法和极大似然估计法.
.
6
一、 矩估计法 它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
.
19
例 6 .设 X 在 [ 0 ， ] 上 均 匀 分 布 ， 求 的 矩 法 估 计 量 并 确 定
是 否 为 无 偏 估 计 量 ？
1
解 ： f(x,)
0x, 0
（ 列 1） 方矩 程法 ：２ 估 ＝0计 X ： E X 0 x 1 其 dx 它 2 解 方 程 ： ˆ ＝ ２ X 即 为 的 矩 法 估 计 量 。
112X312X7
2 13X232X5
都是EX的无偏估计，并问哪一个比较有效？
解 E 1 E （ 1 2 X 3 1 2 X 7 ） 1 2 E X 3 1 2 E X 7 E X
E 2 E （ 1 3 X 2 2 3 X 5 ） 1 3 E X 3 2 3 E X 5 E X
极大似然估计和广义矩估计
偏估计量中方差最小。假设多一些（CLR模型加上正
态性），得到的也多一些（MVU而不仅仅是BLUE）。
例4.2 以简单的消费函数为例，说明极大似然估计 法的估计过程。
根据经济理论，消费和收入与价格密切相关，因此 建立以国内生产总值gdp和消费价格指数p 为解释 变量，国内总消费tc为被解释变量的消费方程。数 据区间为1988—2007年。
渐近协方差矩阵等于信息矩阵的逆矩阵，即
V[I()]-1
四、线性回归模型的极大似然估计
线性回归模型是计量经济学应用最为广泛的模型，因 此讨论线性模型的极大似然估计是非常必要的。
下面我们在随机扰动项服从正态分布的假设下分别讨 论双变量线性回归模型和多元线性回归模型的极大似 然估计。非线性模型的极大似然估计，将在第五章中 介绍。
（一）双变量线性回归模型的极大似然估计
双变量线性回归模型：y tx t u t t 1 ,2 , ,n
其中，,为待估参数，u t为随机扰动项。对随机扰动项 作出如下假设：
E ( u t ) 0 ,E ( u t 2 ) 2 ,E ( u i u j ) 0 i j , u t~ N ( 0 ,2 )
如果矩条件的个数大于参数的个数我们无法通过令等于0求得的唯一解因为方程数目多于变量个数65一广义矩估计方法概要在矩条件的个数大于参数的个数具变量的个数多于原解释变量的数目的情况下我们不能通过设定来唯一确定参数向量的估计量为了充分利用个矩条件的信息我们只能转而借助最优化方法的思路选择使得样本矩向量从总体上尽可能接近于0的的估计这就是广义矩估计方法的思路
注意到（4.17）中右端第二项的分子就是残差平方
和，我们有：
RSS ei2ee(YXβ)(YXβ)
YYYXββXY+βXXβ
广义矩估计讲义
广义矩估计基本知识：矩方法是一种古老的估计方法。
其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。
这个常数又是分布中未知参数的一个函数。
在严格意义上，一个统计量是观察的n 维随机向量即子样()12,,,n X X X = X 的一个（波雷尔可测）函数，且要求它不包含任何未知参数。
基本定义：统计量 11n i i m X n νν=∑ 为子样的ν阶矩（ν阶原点矩）；统计量 ()11ni i B X X n νν=-∑ 为子样的ν阶中心矩。
子样矩的均值与方差EX μ()()()2222Var X E X E X μμο=-=-k k EX α()kk E X μμ-约定，我们用到k k αμ或时假定它是存在的。
基本做法：设：母体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的()12,,,k θθθθ= 是待估计的未知参数。
假定母体分布的k 阶矩存在，则母体分布的ν阶矩()()12,,,,1k x dF x k νναθθθθν∞-∞=≤≤⎰是()12,,,k θθθθ= 的函数。
对于子样()12,,,n X X X = X ，其ν阶子样矩是11,1n i i m X k n ννν==≤≤∑现在用子样矩作为母体矩的估计，即令：()()1211,,,1,2,,1n k ii m X kn ννναθθθν====∑（1）式确定了包含k 个未知参数()12,,,k θθθθ= 的k 个方程式。
求解（1）式就可以得到()12,,,k θθθθ= 的一组解()12,,,k θθθθ=⋯。
因为m ν是随机变量，故解得的θ 也是随机变量。
将12,,,k θθθ⋯分别作为12,,,k θθθ 的估计称为矩方法的估计，这种求估计量的方法称为矩方法。
定理 若()F x 存在2ν阶矩，则对子样的ν阶原点矩m ν，有 [][]()221E m V a r m nνννννααα==-。
证明：[]111111n n n i i i i i E m E X E X n n n ννννναα===⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑∑ []()22Var m Em Em ννν=-2211ni i E X nννα=⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∑ 2222111n i i j i i j E X X X n n ννννα=≠⎛⎫⎪=+- ⎪⎝⎭∑∑∑ 2222111ni i j i i jE X E X X nn ννννα=≠⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦∑∑∑2222111ni j i i jE X E X nn νννναα=≠⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦∑∑∑ ()2222111n n n nνννααα=+-- 2211n nνναα=-。
广义矩估计61页PPT
yi h(Xi,)i i 1,n
n
xji i 0
i1
j1,2, ,k
n
xji(yih (X i, ) )0 j1 ,2 , ,k
i 1
• 一组矩条件，普通最小二乘估计的正规方程组。
yi h(Xi,)i i 1,n
n
zji i 0
i1
of GMM Estimation, Econometrica 50, p1029-1054 • 关于GMM 的总结 A. Pagan and M. Wickens, 1989: A Survey of Some Recent Economertic Methods, Economic Journal 99, p962-1025
• 关于GMM发展的讨论
R. Davidson and J. MacKinnon, 1993: Estimation and Inference in Econometrics, New York Oxford Univ. Press
一、广义矩估计的概念
⒈几个重要的性质
• 从方法论角度
– 变量设定的相对性：直接与间接、内生与外生、随机 与确定。
• 如果满足所有基本假设，OLS的正规方程组为：
yi (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)0 yix1i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)x1i 0 yix2i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)x2i 0
• 如果x2为随机变量，z1为它的工具变量，IV的正 规方程组为：
yi (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)0 yix1i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)x1i 0 yiz1i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)z1i 0
广义矩估计GMM
广义矩估计（Generalized Method of Moments ，即GMM ）一、解释变量内生性检验首先检验解释变量内生性（解释变量内生性的Hausman 检验：使用工具变量法的前提是存在内生解释变量。
Hausman 检验的原假设为：所有解释变量均为外生变量，如果拒绝，则认为存在内生解释变量，要用IV ；反之，如果接受，则认为不存在内生解释变量，应该使用OLS 。
reg ldi lofdiestimates store olsxtivreg ldi (lofdi=l.lofdi ldep lexr)estimates store iv hausman iv ols（在面板数据中使用工具变量，Stata 提供了如下命令来执行2SLS:xtivreg depvar[varlist1] (varlist_2=varlist_iv) （选择项可以为fe ，re 等，表示固定效应、随机效应等。
详见help xtivreg ）如果存在内生解释变量，则应该选用工具变量，工具变量个数不少于方程中内生解释变量的个数。
“恰好识别”时用2SLS 。
2SLS 的实质是把内生解释变量分成两部分，即由工具变量所造成的外生的变动部分，以及与扰动项相关的其他部分；然后，把被解释变量对中的这个外生部分进行回归，从而满足OLS 前定变量的要求而得到一致估计量。
t p t q t p 二、异方差与自相关检验在球型扰动项的假定下，2SLS 是最有效的。
但如果扰动项存在异方差或自相关，面板异方差检验：xtgls enc invs exp imp esc mrl,igls panel(het)estimates store heteroxtgls enc invs exp imp esc mrl,iglsestimates store homolocal df = e(N_g) - 1lrtest hetero homo, df(`df')面板自相关：xtserial enc invs exp imp esc mrl则存在一种更有效的方法，即GMM 。
gmm广义矩估计
gmm广义矩估计GMM（广义矩估计）是一种用于参数估计的统计方法。
它是基于矩的概念发展而来的，通过对观测数据的矩估计，来估计未知参数的值。
GMM广义矩估计在统计学和经济学等领域得到了广泛应用。
在GMM中，我们首先定义一个经验矩，即从观测数据中得到的样本矩。
然后，我们根据理论模型中的矩表达式，得到理论矩。
接下来，我们通过最小化经验矩与理论矩之间的差异，来估计未知参数的值。
GMM广义矩估计的步骤如下：1. 确定理论模型：首先，我们需要确定一个理论模型，该模型描述了观测数据的分布特征。
在经济学中，通常使用概率分布函数来描述变量的分布特征。
2. 确定矩条件：接下来，我们需要确定一组矩条件，即理论模型中的矩表达式。
矩条件是基于理论模型中的变量和参数之间的关系得到的。
3. 计算经验矩：然后，我们从观测数据中计算一组经验矩。
经验矩是观测数据中的样本矩，用于估计理论矩的值。
4. 估计未知参数：通过最小化经验矩与理论矩之间的差异，我们可以得到未知参数的估计值。
这个过程可以使用最小二乘法或其他优化算法来实现。
GMM广义矩估计在经济学中得到了广泛应用。
例如，在计量经济学中，GMM广义矩估计被用于估计经济模型中的参数。
在金融学中，GMM广义矩估计被用于估计资产定价模型中的参数。
在其他领域，GMM广义矩估计也被用于估计其他类型的模型。
GMM广义矩估计具有一些优点。
首先，它是一种非参数估计方法，不需要对概率分布函数做出任何假设。
这使得GMM广义矩估计在处理复杂的数据分布时具有灵活性。
其次，GMM广义矩估计可以处理具有多个未知参数的模型，这使得它在估计复杂模型时具有优势。
此外，GMM广义矩估计还可以通过引入工具变量来解决内生性问题。
然而，GMM广义矩估计也存在一些限制。
首先，它对初始参数值敏感，可能会收敛到局部最优解。
因此，在实际应用中，选择合适的初始参数值非常重要。
其次，GMM广义矩估计对观测数据的分布特征要求较高，如果数据不符合理论模型的假设，估计结果可能不准确。
广义矩估计PPT
j1,2, ,k
n
zj(iyih(X i, ) )0 j1 ,2 , ,k
i 1
• 一组矩条件，工具变量估计的正规方程组。
e (y i,X i; )y i h (X i, )
1
1
m () ni
Z ie (y i,X i;
)Z 'e (y,X ; ) n
1
m
(
)
m1 m2
§2.2 广义矩估计
（GMM, Generalized Method of Moments）
一、广义矩估计的概念 二、广义矩估计及其性质 三、正交性条件和过度识别限制的检验 四、关于2SLS与GMM关系的讨论
关于GMM的主要文献
• 关于GMM最早的系统的描述 L. Hansen, 1982: Large Sample Properties of GMM
• 参数的矩估计就是用样本矩去估计总体矩。
– 用样本的一阶原点矩作为期望的估计量。 – 用样本的二阶中心矩作为方差的估计量。 – 从样本观测值计算样本一阶（原点）矩和二阶（原点）
矩，然后去估计总体一阶矩和总体二阶矩，再进一步计 算总体参数（期望和方差）的估计量。
X(1)
1n ni1yi
X(2) 1 ni n1yi2
yix3i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)x3i 0
4个等于0 的矩条件， 求解4个
参数
为什么将x2 换为z1？
该方程组是如 何得到的？
如何求 解该方 程组？
y i 0 1 x 1 i 2 x 2 i 3 x 3 i i i 1 , 2 , , n
• 如果x2为随机变量，z1、z2 为它的工具变量， GMM关于参数估计量的矩条件为：
矩估计法最大似然估计法44页PPT
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
▪
谢谢！
44
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
《矩估计的基本步骤》PPT课件_OK
5
例5 设总体 X 服从0-1分布, 且P {X = 1} = p (0<p<1), 设 x1, x2,…, xn为总体样本 X1, X2,…, Xn的样本值, 用最 大似然法的思想求 p 的估计值.
解 总体 X 的概率分布为
P{X x} px (1 p)1x , x 0,1
最大似然估计法的思想源于德国数学家高斯(Gauss) 在1821年提出的误差理论 . 然而，这个方法常归功于英 国统计学家费歇尔(R.A.Fisher) .他在1922年将该方法作为 估计方法提出，并首先研究了这种方法的一些性质 .
Gauss
Fisher
4
最大似然估计法的基本思想
引例：某位同学与一位猎人 一起外出打猎 .一只野兔从 前方窜过 .只听一声枪响， 野兔应声倒下 . 如果要你推测，是谁打中的, 你会如何想呢? 只发一枪便打中, 猎人命中的概率一般大于这位同学 命中的概率. 看来这一枪是猎人射中的可能性很大.
解析
6
L( ) p( xi , ) 4(1 2 )2, i 1
ln L( ) 4 ln 2 ln(1 2 ),
d ln L( ) 4
4
0
1
.
d 1 2
3
22
例10 设(1/2, 1/3, 2/3 )是总体X的一个样本的观测值
x 1 0 x 1
X ~ f (x)
0
则 P{X1 x1, X2 x2, , Xn xn}
n
n
xi
n xi
pi1 (1 p) i1 L( p), xi 0,1.
对于不同的 p , L (p)不同,
现经过一次试验，事件{X1 x1, X2 x2 , , Xn xn }
广义矩估计
1 广义矩估计1.1 基本知识矩方法是一种古老的估计方法。
其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。
这个常数又是分布中未知参数的一个函数。
在严格意义上，一个统计量是观察的n 维随机向量即子样()12,,,n X X X =X 的一个（波雷尔可测）函数，且要求它不包含任何未知参数。
1.2 基本定义：统计量 11n i i m X n νν=∑为子样的ν阶矩（ν阶原点矩）；统计量 ()11ni i B X X n νν=-∑为子样的ν阶中心矩。
1.3 子样矩的均值与方差EX μ()()()2222Var X E X E X μμο=-=-kk EX α()kk E X μμ-约定，我们用到k α或k μ时假定它是存在的。
1.4 基本做法：设：母体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的()12,,,k θθθθ=是待估计的未知参数。
假定母体分布的k 阶矩存在，则母体分布的ν阶矩()()12,,,,1k xdF x k νναθθθθν∞-∞=≤≤⎰是()12,,,k θθθθ=的函数。
对于子样()12,,,n X X X =X ，其ν阶子样矩是11nii m X nνν==∑，1k ν≤≤。
现在用子样矩作为母体矩的估计，即令：()()1211,,,1,2,,1n k ii m X kn ννναθθθν====∑（1）式确定了包含k 个未知参数()12,,,k θθθθ=的k 个方程式。
求解（1）式就可以得到()12,,,k θθθθ=的一组解()12,,,k θθθθ=⋯。
因为m ν是随机变量，故解得的θ也是随机变量。
将12,,,k θθθ⋯分别作为12,,,k θθθ的估计称为矩方法的估计，这种求估计量的方法称为矩方法。
定理 若()F x 存在2ν阶矩，则对子样的ν阶原点矩m ν，有[][]()221Em Var m nνννννααα==-。
《矩估计的基本步骤》PPT课件
x1 , x2 ,, xn 是来自X 的一个样本值, 求 和 2 的最大似然估计量 .
解
X的概率密度为
1 f ( x; , ) e 2π
2
( x )2 2 2
,
X 的似然函数为
L( , )
2 i 1
n
1 e 2π
( xi )2 2 2
最大似然估计法
得到样本值x1 , x2 ,, xn时, 选取使似然函数 L( )
ˆ 作为未知参数 的估计值, 取得最大值的 ˆ ) max L( x1 , x2 ,, xn ; ). 即 L( x1 , x2 ,, xn ;
( 其中 是 可能的取值范围 ) ˆ 与样本值 x1 , x2 ,, xn有关, 记为 这样得到的
f ( xi ; )dxi ,
i 1
n
L( ) L( x1 , x2 ,, xn ; ) f ( xi ; ),
i 1
n
L( )称为样本的似然函数 .
若 L( x1 , x2 ,
ˆ ) max L( x , x , , xn ; 1 2
n
, x n ; )
则样本 X1 , X 2 ,, X n 取到观察值x1 , x2 ,, xn 的概率,
即事件 X1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn 发生的概率为
L( ) L( x1 , x2 ,, xn ; ) p( xi ; ), ,
i 1
n
L( )称为样本似然函数.
只发一枪便打中, 猎人命中的概率一般大于这位同学 命中的概率. 看来这一枪是猎人射中的可能性很大. 思想：一次试验就出现的事件有较大的概率.
Chapter5 广义矩估计
第1章 广义矩估计1.1矩估计1.1.1 总体矩与样本矩设总体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的()12,,,k θθθ=θ 是待估计的未知参数。
假定总体分布的m 阶矩存在，则总体分布的k 阶原点矩和k 阶中心矩为()(),1k k k EX x dF x k m α+∝-∝=≤≤⎰θθ 1()[()]()[()],1k k k E X E x x E x dF x k m μ+∝-∝-=-≤≤⎰θθ 2两种常见的情况是一阶原点矩和二阶中心矩：()E X μ= 32222()[()]()Var X E X E X μμσ=-=- 4一阶原点矩表示变量的期望值，二阶中心矩表示变量的方差。
对于样本12(,,,)n X X X =X ，其k 阶原点矩是：11n kk i i m X n ==∑（1k m ≤≤） 5当k =1时，m 1表示X 的样本均值。
X 的k 阶中心矩是：()11nk k i i B X X n =-∑ （1k m ≤≤） 6当k =2时，B 2表示X 的样本方差。
1.1.2 矩估计方法矩方法（moment method ）是一种古老的估计方法。
其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。
这个常数又是分布中未知参数的一个函数。
总体分布的k 阶矩为()12,,,K θθθ=θ 的函数。
根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩。
因此，可以用样本矩作为总体矩的估计，即令：()12,,,1,2,,k K km k K αθθθ==即：()11,1,2,,n kki i x dF x X k K n +∝-∝= = =∑∑ θ 7上式确定了包含K 个未知参数()12,,,K θθθ=θ 的K 个方程式，求解上式所构成的方程组就可以得到()12,,,K θθθ=θ 的一组解()12ˆˆˆˆ,,,k θθθ=⋯θ。
因为m k 是随机变量，故解得的ˆθ也是随机变量。
伍德里奇广义矩估计
伍德里奇广义矩估计
伍德里奇广义矩估计是一种参数估计方法，用于从样本数据中估计总体参数。
它是对普通最小二乘估计的推广，用于解决存在异方差性或非正态分布的情况。
该方法通过最小化一组广义矩条件，得到参数的估计值。
广义矩条件可以包括样本的均值、方差、偏度、峰度等各种统计量。
通过解决这组方程，可以得到参数的估计。
需要注意的是，伍德里奇广义矩估计仍然需要满足一定的假设前提，例如抽样误差是独立同分布的。
同时，在实际应用中，也需要根据具体问题选择合适的广义矩条件和估计方法。