04弹性力学第四章

和 r r， 两个平衡微分方程中包含三个未知函数 r 、 所以问题是静不定的。因此必须考虑变形条件和物理关系。
上述方程和直角坐标系下的平衡方程有所不同，直角坐 标系中，应力分量仅以偏导数的形式出现，在极坐标系中， 由于微元体垂直于半径的两面面积不等，而且半径愈小差值 愈大，这些反映在方程里带下划线的项中。
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（2）假定只有环向位移，而无径向位移。如图4-3所示。 径向线段
PA 的正应变为：
r 0
o

d
r
P P
B
dr
环向线段 PB 的正应变为：
u ( u dr ) u u r α dr r
径向线段 PA 的转角为：
因为d
很微小，所以取 r 整理以上两式，得：
sin
d d 2 2
cos ，
d 1 ，并用 r 2
代替
，
这就是极坐标的平衡微分方程。
r 1 r r Kr 0 r r r 1 r 2 r K 0 r r r
利用简单的三角公式，上式可改写为： r r cos 2 r sin 2 x 2 2 r r cos 2 r sin 2 y 2 2 r sin 2 r cos 2 xy 2
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x r cos 2 sin2 2 r sin cos 2 2 sin cos 2 r sin cos y r 2 2 ( ) sin cos (cos sin ) r r xy
这就是极坐标中的几何方程。
二、物理方程 （1）平面应力情况：
1 ε r ( r μ ) E 1 ε ( μ r ) E 1 2(1 μ ) γ r r r G E
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ur εr r ur 1 u ε r r 1 ur u u γ r r r r
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2 2 2 sin cos 2 sin2 2sin cos sin2 2 2 cos 2 2 2 2 x r r r r r r r 2 2 2 2 sin cos 2 cos2 2sin cos cos2 2 2 sin 2 y 2 r r r r r r2 r 2 2
y

r

图4－1
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考虑图示单元体的平衡，有三个平衡方程：
F
由 Fr 0 ，有：
r
0, F 0, M 0
由 M 0，可以得出剪应力互等关系：
r r
由 F 0 ，有：
(
r d ( r dr)(r dr)d r rd ( d)dr r 2 r d dr ( r d)dr r dr K r rddr 0 2
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根据三角板 A 的平衡条件 Fx 0 ，可得平衡方程：
x ds r ds cos2 ds sin2 r ds cos sin r ds sin cos 0
o
x r cos sin 2 r sin cos y F 0 同理，由平衡条件 ，可得： xy ( r ) sin cos r (cos 2 sin2 )
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§4-2 极坐标中的几何方程及物理方程
一、几何方程—位移与形变间的微分关系
在极坐标中规定:
o

d
r ---径向正应变 ---环向正应变 r ---剪应变(径向与环向两线段
之间的直角的改变) ur ---径向位移 u ---环向位移
x r cos, y r sin, y sin x cos 2 , 2 x r r y r r r sin cos x r x x r r r cos sin y r y y r r
如图4-4，在弹性体中取微小三 角板 A ，各边上的应力如图所示。 三角板的厚度取为一个单位。令bc 边的长度为 ds ，则 ab 边及 ac边的长 度分别为 ds sin 及ds cos 。
o
r r

பைடு நூலகம்r

B
y yx
r
a
r c
x
A
y
图4-4

r
b
xy
x
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（2）平面应变情况：
μ E μ 换为 将上式中的 E 换为 。 2 ， 1 μ 1 μ
1 2 r ( r ) E 1 2 1 ( r ) E 1 2(1 ) r r E
r
ur
dr
图4-2
用叠加法讨论极坐标中的形变与位移间的微分关系。 （1）假定只有径向位移，而无环向位移。如图4-2所示。
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( r ur )d rd ur 环向线段 PB 的正应变为：ε rd r PA 0 径向线段 的转角为：
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§4-3 极坐标中的应力函数与相容方程
为了得到极坐标中用应力函数表示的应力和相容方程，利 用极坐标和直角坐标的关系： y 2 2 2 r x y , arctan x x r cos , y r sin 得到： r x r y
可以证明，当体力为零时，这些应力分量确能满足平衡微分方程。
由（a）+（b），得：
2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 x y r r r r
于是由直角坐标的相容方程：
2
1 1 2 2 ) 0 得到极坐标中的相容方程： ( 2 2 r r r r
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§4-1 极坐标中的平衡微分方程
在处理弹性力学问题时，选择什么形式的坐标系统，虽不 会影响对问题本质的描绘，但却直接关系到解决问题的难易程 度。如坐标选得合适，可使问题大为简化。例如对于圆形、楔 形、扇形等物体，采用极坐标求解比用直角坐标方便的多。
x 考虑平面上的一个微分体 PACB ， o r P 沿 r方向的正应力称为径向正应力， r r d A 用 r 表示，沿 方向的正应力称为 r Kr 切向正应力，用 表示，剪应力用 r r dr B K r 表示，各应力分量的正负号的规定和 dr r r dr 直角坐标中一样。径向及环向的体力 r C K 分量分别用 r 及 K 表示。如图4-1。 d r d
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§4-4 应力分量的坐标变换式
在一定的应力状态下，如果已知极坐标中的应力分量，就 可以利用简单的关系式求得直角坐标中的应力分量。反之，如 果已知直角坐标中的应力分量，也可以利用简单的关系式求得 极坐标中的应力分量。
、 r 。试求直角坐标中 设已知极坐标中的应力分量 r 、 y、 xy 。 的应力分量 x、
d)dr dr ( r r dr )(r dr )d r r d d r rd ( r d)dr r dr K rddr 0 2 2
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2 2 2 ( 2 2) 0 x y
用极坐标求解平面问题时（体力
不计），就只须从相容方程求解应力
函数 (r , ) ，然后求出应力分量，再 考察应力分量是否满足边界条件，多 连体还要满足位移单值条件。
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（c）
在θ=0时，极坐标的各分量 和直角坐标各分量相同。将上面 各式代入应力分量的表达式（常 体力）：
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得到：
r ( x ) 0
2 1 1 2 ( 2 ) 0 2 2 y r r r
2 2 ( y ) 0 ( 2 ) 0 2 x r 2 1 r ( x y ) 0 ( ) 0 ( ) xy r r
u ( u d) u 1 u ε rd r
u
A
A
B
图4-3
β 环向线段 PB 的转角为： r u u 可见剪应变为： γ r α β r r

u
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如果同时存在径向 和环向位移，则由叠加 法得：
ur ( ur d) ur 1 ur β rd r
可见剪应变为：
ur ( u dr ) u r r PA 径向线段 的正应变为： ur r εr dr r
环向线段 PB 的转角为：
o

d
r
ur
dr
1 ur γ r α β r
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第四章 平面问题的极坐标解答
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5 §4-6 §4-7 §4-8 §4-9 §4-10 §4-11 习题课
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极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程及物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移 圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞 曲梁的纯弯曲 圆盘在匀速转动中的应力及位移 圆孔的孔边应力集中 楔形体在楔顶或楔面受力 半平面体在边界上受法向集中力
2 2
y
用 r 代替 r ，得：
r r

r

B
y yx
r
a
r c
x
A

r
b
xy
x
另取微小三角板
B ，如图4-4，根据平衡条件
F
y
0 ，得到：
y r sin2 cos 2 2 r sin cos
综合以上结果，得出应力分量由极坐标向直角坐标的变 换式为：
（a） （b）
2 2 cos2 sin2 2 sin cos sin cos 2 xy r r r r r cos sin sin cos 2 r r2 2
2 2 2
2 x 2 y 2 y x 2 2 xy x y